【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】37 第五章 第四节 正方形 课件（共36张PPT）

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2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第五章　四边形
第四节　正方形
分层精讲本
2026湖北数学
节前复习导图
S=????????
?
性质
判定
面积
平行四边形与特殊
平行四边形之间的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
定义
正方形
边
角
对角线
对称性
考点精讲
一.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
二.性质(正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质)
1. 边四条边都 ?
对边 ?
2. 角：四个角都是 ?
3. 对角线对角线 ?
对角线 ?一组对角
相等
平行且相等
直角(或90°)
互相垂直平分且相等
平分
4. 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ?条对称轴
4
三.判定
1. 有一组邻边 且有一个角是 ?的平行四边形是正
方形
2. 有一个角是 ?的菱形是正方形
3. 有一组邻边 ?的矩形是正方形
4. 对角线相等的 ?是正方形
5. 对角线互相 ?的矩形是正方形
6. 对角线 ?的四边形是正方形
四.面积：S= (a表示正方形的边长)
相等
直角(或90°)
直角(或90°)
相等
菱形
垂直
互相垂直平分且相等
a2
五.平行四边形与特殊四边形之间的关系
1. 从边、角的角度看：
2. 从对角线的角度看：
核心考点突破
例1　　　　　　　 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一点，连接AE交BD于点F.
一题多设问
(1)∠ABO＝ °，∠BCO＝ °，
AC的长为?　6???? 　，BO的长为?　3???? 　；
(2)若E为BC的中点，则AE的长为 ?；
(3)若AD＝DF，则∠DAF＝ °，
∠BAE＝ °；
(4)若AE平分∠BAC，则BE的长为 ，OF的长为 ?.
?
45　
45　
6???? 　
?
3???? 　
?
3???? 　
?
67.5　
22.5　
6???? －6　
?
6－3????
?
例2　　　　　　　 如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE.
(1)如图①，过点D作AE的垂线，交BC于点F，求证：
△ADE≌△DCF；
图①
一题多设问
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠C＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵DF⊥AE，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE，
在△ADE和△DCF中，&∠????????????＝∠????????????&????????＝???????? &∠????????????＝∠???? ，
∴△ADE≌△DCF(ASA)；
?
在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE.
(2)如图②，连接BD交AE于点G，连接CG. 若∠AGC＝140°，求
∠DEG的度数；
图②
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABG＝∠CBG＝∠GDE＝45°，
∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG，
∴∠AGB＝∠CGB，
∵∠AGC＝140°，∴∠AGB＝???????? ∠AGC＝70°，
∴∠AGD＝180°－∠AGB＝110°，
∵∠GDE＝45°，
∴∠DEG＝∠AGD－∠GDE＝110°－45°＝65°；
?
在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE.
(3)如图②，连接BD交AE于点G，连接CG，若AB＝4，BG＝3???? ，
求EG的长；
?
图②
解：∵AB＝4，四边形ABCD为正方形，
∴AD＝4，BD＝4???? ，AB∥CD，
∵BG＝3???? ，∴DG＝BD－BG＝???? ，
∵AB∥CD，∴△DEG∽△BAG，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????????????? ，
?
即???????????? ＝???????????? ＝???????????????? ，
∴DE＝???????? ，???????????????? ＝???????? ，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理，
得AE＝????????????＋???????????? ＝????????＋(????????)???? ＝???????????????? ，
∴EG＝???????? AE＝???????????? ；
?
图②
在正方形ABCD中，E是边CD上一点，连接AE.
(4)如图③，E为CD的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，点D落在点F
处，AF的延长线交BC于点G，交DC的延长线于点H，若AB＝4，求
DH的长.
图③
解：如解图，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∠B＝∠ECG＝∠D＝90°，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝2，
解图
由折叠可得EF＝DE＝2，AF＝AD＝4，∠D＝∠EFA＝∠EFG＝
90°，
∴EF＝EC，∠ECG＝∠EFG＝90°，
在Rt△EFG和Rt△ECG中，
&????????＝????????&????????＝???????? ，
∴Rt△EFG≌Rt△ECG(HL)，
∴CG＝FG，
设CG＝a，则GF＝a，AG＝AF＋GF＝4＋a，BG＝BC－CG＝4－a，
?
解图
在Rt△AGB中，AG2＝AB2＋BG2，
即(4＋a)2＝42＋(4－a)2，
解得a＝1，∴CG＝1，
∵∠HCG＝∠D＝90°，∠CHG＝∠DHA，
∴△HCG∽△HDA，
∴???????????????? ＝???????????????? ，即????????????+???????? ＝???????? ，
?
解得CH＝???????? ，
∴DH＝DC＋CH＝4＋???????? ＝???????????? .
?
解图
(1)模型特点：AE⊥BF；
(2)结论：△ABF≌△DAE，AE＝BF；
模型分析
1.正方形十字模型
(3)构图方法：分别过点E，G作AB，AD的垂线，
得△NGF≌△MEA.
2. 矩形十字模型
(1)模型特点：BD⊥EC；
(2)结论：△ABD∽△DEC；
(3)构图方法：分别过点G，F作CD，AD的垂线，得△GMH∽△FNE.
湖北真题、模拟题精选及新考法
命题点
正方形的性质与判定(省卷：2025.10)
1. (2025鄂州模拟)在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O的坐标
是(0，0)，顶点B的坐标是(0，3)，则顶点D的坐标是(　C　)
A. (3，0)
B. (－3，0)
C. (3，0)或(－3，0)
D. (0，3)或(0，－3)
C
2. (八下练习改编)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，
连接DE，BD，则tan∠BDE的值为(　C　)
A. ????????
B. ????????????????
C. ????????
D. ????????
C
3. (八下习题改编)如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取
AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为(　B　)
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA＝7，∵AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝
CF＝DG＝3.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，
∴EH＝FE＝GF＝HG，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，
∴EH＝FE＝GF＝HG＝????????＋???????? ＝5，
∴四边形EFGH的面积是25.
?
4. (2025省卷10题)如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G. 若DE＝2???? ，则CG的长是(　B　)
?
A. ????
B. 2
C. ???? ＋1
D. 2???? －1
B. 2
B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
AC⊥BD，由折叠可得∠BFE＝∠BCE＝90°，∠FEB＝∠CEB，EF
＝EC，∴∠DFE＝90°，EF∥AC，∴∠CGE＝∠FEB，∴∠CGE
＝∠CEB，∴CG＝CE＝EF，在Rt△DFE中，∠FDE＝45°，DE＝
2???? ，∴EF＝DE· sin 45°＝2，∴CG＝2.
?
5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为AD中点，连接BE，分别以
点B和点E为圆心，大于???????? BE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两
点，作直线MN交AB于点F，则BF的长为(　C　)
?
A. ????????
B. 3
C. ????????????
D. 4
B. 3
D. 4
C
【解析】如解图，连接EF，根据作图痕迹可知MN为BE
的垂直平分线，∴EF＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝6，E为AD中点，
∴AE＝3，设BF＝x，则EF＝x，AF＝6－x，
在Rt△AEF中，EF2＝AE2＋AF2，即x2＝32＋(6－x)2，
解得x＝???????????? ，∴BF＝EF＝???????????? .
?
解图
6. (2025天门模拟)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角
形ADE，EA＝ED＝???????? .
?
(1)△ADE的面积为 ?；
【解析】(1)如解图，过点E作EM⊥AD于点M，
∵EA＝ED＝???????? ，AD＝3，∴AM＝DM＝???????? AD＝
???????? ，∴EM＝????????????????????????? ＝2，
∴S△ADE＝???????? AD·EM＝???????? ×3×2＝3.
?
解图
3　
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长
为 ?.
???????? 　
?
【解析】如解图，过点E作AD的垂线交AD于点M，交AG于点N，交BC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴EP⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，∴PM＝AB＝3，AB∥EP，∴EP＝5，∠ABF
＝∠NEF，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，
在△ABF与△NEF中，&∠????????????＝∠????????????&????????＝???????? &∠????????????＝∠???????????? ，
∴△ABF≌△NEF(ASA)，∴EN＝AB＝3，∴MN＝1，
∵PM∥CD，∴AN＝NG，∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝????????????＋???????????? ＝???????? .
?
解图
7. 　　　　　　 (2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD. 直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示???????????????? 的值是 ?.
?
????????+????(?????????)???? 　
?
一题多解法
解法一：【解析】如解图①，分别过点A和点D作直线EF的垂线AG与DH，垂足分别为G和H，易得△AGE∽△DHF，∴???????????????? ＝???????????????? ，易知BE＝DF，∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????????????? ＝???????? ，易知Rt△AGM与Rt△DHM都是等腰
直角三角形，∴???????????????? ＝???????????????????????? ＝???????? ，设大正方形的边长为1，
MQ＝x，AM＝QD＝y，∴???????????????? ＝????????＋???? ＝???????? ，
即k·y＝x＋y①，
?
解图
在Rt△AMD中，由勾股定理，得y2＋(x＋y)2＝1②，将①平方，得k2·y2＝(x＋y)2，代入②，得y2＝????????????+???? ，再由①，得x＝(k－1)y，
∴S2＝x2＝(k－1)2·y2＝(?????????)????????????+???? ，
∵S1＝1，∴???????????????? ＝????????+????(?????????)???? .
?
解图
7. 　　　　　　 (2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD. 直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示???????????????? 的值是 ?.
?
????????+????(?????????)???? 　
?
一题多解法
解法二：【解析】如解图②，过B点作EM的平行线BS，与AN的延长线交于S点.设AE＝1，BE＝k，小正方形边长为x，AM＝DQ＝CP＝BN＝y，易知△BNS是等腰直角三角形，∴NS＝y，
∵BS∥EM，∴???????????????? ＝???????????????? ，即????????＋???? ＝???????? ，∴(x＋y)2＝k2y2，x＝y(k－1)，在Rt△ANB中，由勾股定理，得BN2＋AN2＝AB2，
即y2＋(x＋y)2＝(k＋1)2，解得y2＝(????+????)????????????+???? ，
∴S2＝x2＝(k－1)2y2＝(?????????)????(????+????)????????????+???? ，
∵S1＝(k＋1)2，∴???????????????? ＝????????+????(?????????)???? .
?
解图
新考法
8. (2025浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影
部分)，点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证
明过程；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)；
某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E
在对角线BD上.
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA＝???????? (180°－∠ADE)＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
?
Thanks!
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