【2026中考人教数学一轮复习（讲本）】40 第六章 第二节 切线的性质与判定 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第六章　圆
第二节　切线的性质与判定
分层精讲本
2026湖北数学
节前复习导图
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线与圆的
位置关系
相离
相切
相交
切线的
性质
三角形的
内切圆
定义
圆心O
性质
角关系
切线的判定
切线长定理
切线的性质与判定
考点精讲
一.点与圆的位置关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)
1. 圆外 d r，如点A
2. 圆上 d r，如点B
3. 圆内 d r，如点C
＞
=
＜
二.直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)　
位置关系 相离 相切 相交
d与r的关系 d r d r d r
交点的个数 没有公共点 有且只有一 个公共点　 有两个公共点
示意图
＞
=
＜
三.切线的性质：圆的切线 于过切点的半径(或直径)
四.切线的判定
1. 判定定理：过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2. 判定方法
(1)直线与圆有公共点：“有公共点，连半径，证垂直”：若已知直线经过
圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；
(2)直线与圆公共点未知：“公共点未知，作垂直，证半径”：若已知条件
中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线
段的长等于半径的长
垂直
※五.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长 ，
这一点与圆心的连线 两条切线的夹角，如图①，PA，PB为⊙O
的切线，A，B为切点，那么PA= ，
∠APO= = 　∠APB
图①
相等
平分
PB
∠BPO

六.三角形的内切圆
1. 定义：与三角形各边都相切的圆
2. 圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条 的交点)
3. 性质：三角形的内心到三角形的 的距离相等
角平分线
三条边
【知识拓展】
任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆
角关系：如图②，③，∠BOC=90°＋∠BAC
图②
图③
核心考点突破
与切线性质有关的证明与计算
类型一　与角度有关的问题
例1　如图，线段AB与☉O相切于点B，连接AO交☉O于点C，延长AO
交☉O于点D，E是 上一点且B，E在CD两侧，连接CE，BE，
BD，若∠ABD＝126°，求∠BEC的度数.
解：如解图，连接OB，
∵AB与☉O相切于点B，OB为☉O的半径，
∴∠ABO＝90°，
∵∠ABD＝126°，
∴∠OBD＝∠ABD－∠ABO＝126°－90°＝36°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝36°，
∵ ＝ ，
∴∠BEC＝∠ODB＝36°.
解图
方法总结
求角度的方法：
观察所求角与已知角存在怎样的关系，常用到的知识有圆周角定理及其
推论、切线的性质.
例2　如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，过点O作
OD⊥AB，交过点C的切线于点D. 求证：∠D＝2∠ABC.
证明：如解图，连接OC，
∵OD⊥AB，∴∠DOA＝90°，
∴∠AOC＋∠COD＝90°，
∵CD是☉O的切线，OC为☉O的半径，
∴∠OCD＝90°，∴∠D＋∠COD＝90°，
∴∠D＝∠AOC，
∵ ＝ ，∴∠AOC＝2∠ABC，
∴∠D＝2∠ABC.
解图
方法总结
证明角度数量关系的方法：
1. 在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；
2. 利用半径相等转化到等腰三角形中，再利用等边对等角来证明；
3. 借助圆周角定理及角的转化来证明角度倍数关系.
类型二　与线段有关的问题
(省卷：2025.21)
例3　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上一点，且AB
＝AD，以AD为直径作☉O，过点D作☉O的切线交AC于点F. 求证：
DF＝CF.
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，
∵DF为☉O的切线，OD为☉O的半径，
∴AD⊥DF，即∠ADF＝90°，∴∠ADB＋∠FDC＝90°，
∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，
∴∠FDC＝∠C，∴DF＝CF.
方法总结
证明两线段相等的方法：
1. 若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形
中，利用等腰三角形或等边三角形等角对等边来证明；
2. 若所证两线段不共线但在有等边(或公共边)的两个三角形中，则可以考
虑利用全等三角形来证明.
例4　如图，A，B，C三点在☉O上，直径BD平分∠ABC，E是BC上
一点，DE＝BE，过点D作☉O的切线，交BC的延长线于点F，若AD
＝4，DE＝5，求DF的长.
解：如解图，连接DC，
∵BD是☉O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
又∵BD平分∠ABC，AD＝4，
∴DC＝AD＝4，
∵DE＝5，
∴CE＝ ＝3，
解图
∵DE＝BE＝5，
∴BC＝CE＋BE＝8，
∴BD＝ ＝4 ，
∵DF是☉O的切线，BD为直径，
∴∠BDF＝∠BCD＝∠DCF＝90°，
∴∠F＋∠DBF＝∠BDC＋∠DBF，∴∠F＝∠BDC，
∴△DCF∽△BCD，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴DF＝2 .
解图
方法总结
求线段长的方法：
1. 通过作辅助线构造直角三角形，无特殊角度时常利用勾股定理，有特
殊角度或锐角三角函数值时，常利用锐角三角函数求长度；
2. 根据圆中等角代换得到相似三角形，再利用相似三角形的性质列比例
式求线段长度.
例5　如图，AB为☉O的直径，D为☉O上一点，BE是☉O的切线，BE
＝BD，DE与AB交于点C，连接AD，若OC＝3，BE＝6，求 cos
∠CDA的值.
解：∵BE是☉O的切线，AB为☉O的直径，
∴∠EBC＝90°，∴∠BEC＋∠ECB＝90°，
∵BE＝BD，∴∠BEC＝∠BDC，
∵∠ECB＝∠DCA，∴∠BDC＋∠ACD＝90°，
∵AB为☉O的直径，∴∠BDA＝90°，
∴∠BDC＋∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，∠CDA＝∠ECB，
设☉O的半径为r，则OA＝OB＝r，
∵OC＝3，∴AD＝AC＝AO＋OC＝3＋r，
∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，∴36＋(3＋r)2＝(2r)2，
解得r＝5(负值已舍去)，
∴BC＝OB－OC＝5－3＝2，
∴在Rt△EBC中，EC＝ ＝ ＝2 ，
∴ cos ∠ECB＝ ＝ ＝ ，∴ cos ∠CDA＝ cos ∠ECB＝ .
方法总结
求三角函数值的方法：
求未知角的三角函数值，实质是将角放置在直角三角形中求线段长的比
值，可构造直角三角形或通过等角转换来求解.
湖北真题、模拟题精选及新考法
命题点
与切线有关的证明与计算(省卷：2025.21；2024.21)
1. (2025孝感模拟)如图，OA交☉O于点B，AC切☉O于点C，D点在
☉O上，连接OC，BD，CD. 若∠D＝25°，则∠A为(　B　)
A. 25° B. 40°
C. 50° D. 65°
【解析】∵∠D＝25°， ＝ ，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切☉O于点C，∴OC⊥AC，∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－50°＝40°.
B
2. (2024模拟演练)如图，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C
在劣弧 上(不与A，B重合)，∠APB＝70°，则∠ACB的度数
为(　A　)
A. 125° B. 110°
C. 100° D. 70°
A
【解析】如解图，连接OA，OB，在优弧 上取
点D，连接AD，BD，∵PA，PB分别与☉O相切
于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO
＝∠PBO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝
360°－∠PAO－∠PBO－∠P＝110°，∴∠ADB
＝ ∠AOB＝55°，∵四边形ACBD为☉O的内接四
边形，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝125°.
解图
3. (九上例题改编)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝
8，☉O是△ABC的内切圆，则☉O的半径为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10，∴☉O的半径为 ＝2.
B
4. 如图，AB为☉O的切线，切点为C，OA⊥OB，若AC＝9，BC＝
16，则☉O的半径为 .
12　
【解析】如解图，连接OC，则OC⊥AB，OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，
∵∠OCB＝90°，∴∠B＋∠BOC＝90°，
∴∠A＝∠BOC，∴△AOC∽△OBC，∴ ＝ ，
∵AC＝9，BC＝16，∴OC2＝AC·BC＝9×16＝144，
∴OC＝12，∴☉O的半径为12.
解图
5. (2024省卷21题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC
上，以CE为直径的☉O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝
BC.
(1)求证：AB是☉O的切线；
(1)证明：如解图，连接OD，
在△OBD和△OBC中，
∴△OBD≌△OBC(SSS)，
∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
∴OD⊥AB，
∵OD为☉O的半径，∴AB是☉O的切线；
解图
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的☉O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC.
(2)若AD＝ ，AE＝1，求 的长.
(2)解：∵∠ODB＝90°，∴∠ODA＝90°，
设☉O的半径为x，则OA＝x＋1，
在Rt△AOD中，AD＝ ，AO2＝OD2＋AD2，
∴(x＋1)2＝x2＋ ，解得x＝1，∴OD＝OC＝1，OA＝2，
∴ cos ∠AOD＝ ＝ ，∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°－∠AOD＝120°，
∵△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC＝ ∠DOC＝60°，
∴ 的长为 ＝ .
6. (2025省卷21题)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O
作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F. 过点F作☉O的
切线，交CA的延长线于点G.
(1)求证：FD＝FG；
(1)证明：∵DF经过圆心O，GF是☉O的切线，
∴DF⊥GF，
∵DF⊥AB，∴AB∥GF，
∵∠BAC＝45°，∴∠G＝∠BAC＝45°，
∴∠FDG＝90°－∠G＝45°，
∴△DFG是等腰直角三角形，∴FD＝FG；
过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F. 过点F作
☉O的切线，交CA的延长线于点G.
(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.
(2)解：∵DF⊥AB，DF过圆心O，AB＝12，
∴AE＝BE＝ AB＝6，
由(1)得，∠ADE＝∠BAC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝6，
由(1)得，FD＝FG＝10，
解图
∴EF＝DF－DE＝10－6＝4，
如解图，连接OA，
设OE＝x，则OA＝OF＝OE＋EF＝x＋4，
∵在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
∴(x＋4)2＝62＋x2，解得x＝ ，
∴OA＝x＋4＝ ＋4＝ ，
∴☉O的半径为 .
解图
7. (2025孝感模拟)如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作☉O的切线CE，交OF于点E.
(1)求证：EC＝ED；
(1)证明：如解图，连接OC，则OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，
∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，
∵CE与☉O相切于点C，OC为半径，∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠EDC＝∠ADO＝90°－∠A，∠ECD＝90°－∠OCA，
∴∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED；
解图
过点O作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作☉O的切线CE，交OF于点E.
(2)若OA＝8，EF＝6，求AD的长.
(2)解：∵AB为☉O的直径，∴∠DCF＝∠ACB＝90°，
∵∠F＋∠EDC＝90°，∠ECF＋∠ECD＝90°，
且由(1)知∠EDC＝∠ECD，∴∠F＝∠ECF，
∵EF＝6，∴ED＝EC＝EF＝6，
∵∠OCE＝∠AOD＝90°，OC＝OA＝8，
∴OE＝ ＝ ＝10，∴OD＝OE－ED＝10－6＝4，
∴AD＝ ＝ ＝4 ，∴AD的长是4 .
8. 如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，过点O作AC的平行线交☉O于点D，交BC于点E，点F在BA的延长线上，连接DF，且∠F＝∠B.
(1)求证：DF是☉O的切线；
(1)证明：∵△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，∴∠C＝90°，
∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝90°，即∠EOB＋∠B＝90°，
∵∠F＝∠B，∠FOD＝∠EOB，∴∠F＋∠FOD＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
∵OD是☉O的半径，∴DF是☉O的切线；
过点O作AC的平行线交☉O于点D，交BC于点E，点F在BA的延长线上，连接DF，且∠F＝∠B.
(2)若BE＝2， sin ∠BAC＝ ，求AF的长.
(2)解：∵DE∥AC，O是AB的中点，BE＝2，
∴E是BC的中点，∴BC＝2BE＝4，
∵ sin ∠BAC＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝5，
∴OA＝OD＝ ，AC＝ ＝ ＝3，∴ sin B＝ ＝ ，
∵∠B＝∠F，OF＝OA＋AF＝ ＋AF，
∴ sin F＝ ＝ ＝ ，∴AF＝ .
9. (2024武汉)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC
与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点.
(1)求证：AB与半圆O相切；
(1)证明：如解图，连接OA，OD，过点O作
ON⊥AB于点N，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC，
∵ON⊥AB，∴ON＝OD，
∵OD是半圆O的半径，∴ON是半圆O的半径，
∴AB是半圆O的切线，即AB与半圆O相切；
解图
O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于
E，F两点.
(2)连接OA. 若CD＝4，CF＝2，求 sin ∠OAC的值.
(2)解：由(1)可知，AO⊥BC，OD⊥AC，
∴∠AOC＝∠ODC＝90°，
∴∠OAC＋∠OCA＝∠COD＋∠OCA＝90°，
∴∠OAC＝∠COD，
∴ sin ∠OAC＝ sin ∠COD＝ ，
∵OF＝OD，CF＝2，
∴OC＝OF＋FC＝OD＋2，
∵在Rt△ODC中，CD＝4，OC2＝CD2＋OD2，
∴(OD＋2)2＝42＋OD2，解得OD＝3，
∴OC＝OD＋2＝5，
∴ sin ∠OAC＝ ＝ .
Thanks!
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