湖南省株洲市炎陵县2025-2026学年上学期九年级数学期末练习试卷（含答案）

湖南省株洲市炎陵县2025-2026学年上学期九年级数学期末练习试卷
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1．若反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在这个函数图象的是（　　）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程配方后，原方程变形为（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．已知线段，点是的黄金分割点，则
B．已知，，，，则，，，是成比例线段
C．方程有两个实数解
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
4．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图是成都某市一周内日最高气温的折线统计图，关于这天的日最高气温的说法正确的是（　　)
A．极差是 B．众数是
C．中位数是 D．平均数是
6．抛物线的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或9 C．9 D．7
8． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且ODBD．经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（　　）
A．25 B．26 C． D．
10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11．已知反比例函数是常数，的图象有一支在第二象限，那么的取值范围是　 　．
12．已知实数， 满足等式，，则的值是　 　．
13．工厂生产了 10000 只灯泡，为了解这 10000 只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了 100 只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：h)，数据整理如下：
使用寿命(h) x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800
灯泡数量(只) 10 20 24 34 12
根据以上数据，估计这 10000 只灯泡中使用寿命不小于 1600 h的灯泡的数量为　 　只.
14．将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为　 　
15．如图，是的中位线，顺次连接四边形各边中点得到四边形．现将一个飞镖随机投掷到内，则飞镖落在四边形内（图中阴影部分）的概率为　 　．
16．如图，这是用卡钳测量一个集气瓶的内径的截面图．若，，，则该集气瓶的内径的长为　 　．
17．如图，是的外接圆，，于点，延长交于点．
（1）的度数为　 　；
（2）若，，则的长是　 　．
18． 数学小组探究这样一道题：已知， 求∠α-∠β的度数.该组的同学经过思考后，画出如图所示的5×3的小正方形网格，把∠α和∠β放在网格中，使∠BAC=∠α，∠DAC=∠β，由此可知，∠α-∠β=　 　°.
三、解答题（本大题共8题，共66分）
19． 计算：
（1）
（2）
（3）
20． 已知x ，x 分别是一元二次方程 0的两个实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数 k，使得等式 成立 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
21．为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n=　 　，m=　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 　 　度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
22．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
23．如图，四边形是菱形，G是延长线上一点，连接，分别交，于点E，F，连接．
（1）求证：．
（2）当时，判断与有何数量关系．并证明你的结论．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
25．如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E．连接AC、OC、BC．
（1）证明：；
（2）若，，求弦CD的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接，交于点F，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】7000
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】9
17．【答案】；
18．【答案】45
19．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式.
20．【答案】（1）解：∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴b2-4ac≥0，即(-2)2-4(k+2)≥0，
解得k≤-1；
∴k的取值范围为k≤-1；
（2）解：存在，理由如下：
∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
经检验，都是该分式方程的根，
又∵k≤-1，
∴k的值为-，
即当k的值为-时， 等式 成立.
21．【答案】（1）150，36；
（2）解：D等级学生有：（人），
补全的频数分布直方图，如图所示：
（3）144
（4）解：（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
22．【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，，
在和中，
∴
（2）结论：
证明：∵四边形是菱形，∴，，
在和中，
∴；
∴，，
∵四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
24．【答案】（1）解：x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3
（2）解：4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5
（3）解：设花园的面积为S（m2），根据题意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
25．【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：由题意得，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）解：抛物线与y轴交于点，设直线的函数表达式为：，代入，两点得，
解得，
直线的函数表达式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
，
，
；
（3）解：如图1，
当时，作，交于，
∴，
，
把代入得，，
，
，
当时，，
，
∴．
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