数列
2026寒假版
录
CONTENTS
第1讲数列的概念…
1.数列中的相关概念
1
2.数列的通项公式…
3.数列的函数性质.…
.2
4.数列的递推公式.
3
5.由递推公式求通项.
.5
6.数列的前n项和
.7
第2讲等差数列
.9
第1课时等差数列
9
1.等差数列的概念
.…9
2.等差中项
.10
3.等差数列的证明.…
…11
第2课时等差数列的性质…
.14
1.等差数列的性质…。
14
2.等差数列的设项方法和技巧.…
.15
第3课时等差数列的前n项和…
17
1.前项和公式的推导一—倒序相加法17
2.前n项和公式中的基本量的求解
.18
3.前n项和公式与二次函数的关系
.18
第4课时等差数列前项和的性质及应用
.20
1.等差数列的片片段性…
20
2.前n项和与的比值.
20
3.前n项和与等差中项
.21
4.含有绝对值的等差数列求和…
23
5.等差数列的最值问题
24
第3讲等比数列…
26
第1课时等比数列…
…26
1.等比数列的概念和通项公式
26
2.等比中项…
.27
3.灵活设元求解等比数列问题。
.28
4.等差等比数列综合
29
5.等比数列的判定与证明…
.29
6.等比数列的性质…。
31
第2课时等比数列的前n项和…
33
1.等比数列的前n项和的求法一一错位相减法
33
2.等比数列前n项和中的基本量的计算
.35
3.等比数列前n项和的性质…。
.36
4.等比数列前n项和的性质…。
37
5.等比数列奇数项或偶数项之和
..38
6.等比数列最值问题.
40
7.等比数列前n项和的综合应用
41
第1讲数列的概念
1.教列中的相关概念
1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号α1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的
第2项，用a2表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用am表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的一般形式可以写成a1,a2,ag,…,an,…,简记为{an}.
3.按项的个数：有穷数列项数有限的数列，无穷数列项数无限的数列。
4.数列{a}是从正整数集N(或它的有限子集{1,2，，n})到实数集R的函数，其自变量是序号
n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
5.如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子
叫做这个数列的通项公式.
6.通项公式就是数列的函数解式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变
量为离散的数的函数，
创题分析】
例在数列{a}中，a,=2,a4,=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a226:(3)2026是否为数列{an}中的项？
爵1)设a=m+bk≠0)，则有k+6=2,
117k+b=66,
解得k=4,b=-2..am=4n-2,n∈N
(2)a2026=4×2026-2=8102
(3)令2026=4n-2,解得n=507∈N*,.2026是数列{an}中的项
练1已知数列{am}的通项公式为an
练2已知数列{an}的通项公式为am=3n2-
nt6,neN.
28m.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(1)求a1o:
解：a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6
解：a4=1065=号
-60.
(②)品是不是这个数列的项？
(2)-49是否为该数列的项？如果是，是哪一
解：令”计6-品得n-10,放器是这个数列的项
项？68是否为该数列的项呢？
m.
解：令3m2-28m=-40,解得n=7或n=号（舍去）.
(3)这个数列中有多少项是整数？
所以n=7,即一49是该数列的第7项.
解：易知a=1+只若a是器数，则n=12,3,6
令3m2-28n=68解得n=兰或n=-2
故这个数列中共有4项是整数
(4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求
因为兰EN,-2EN,所以68不是该数列的项
出该项；若没有，说明理由
(3)数列{an}中有多少个负数项？
解：令九+6=n,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2
解：an=n(3m-28),令an<0,结合n∈N,解得n=1,
2,3,4,5,6,7,8,9,即数列{a}中有9个负数项
(舍去)·
故该数列中有等于项数的项，该项为α3=3.
2.数列的通项公式数列
2026寒假版
录
CONTENTS
第1讲数列的概念…
1.数列中的相关概念
1
2.数列的通项公式…
.2
3.数列的函数性质.…
3
4.数列的递推公式.
.4
5.由递推公式求通项.
.5
6.数列的前n项和
.7
第2讲等差数列
.8
第1课时等差数列
.8
1.等差数列的概念
.8
2.等差中项
9
3.等差数列的证明.…
.10
第2课时等差数列的性质…
..13
1.等差数列的性质…。
.13
2.等差数列的设项方法和技巧.…
.14
第3课时等差数列的前n项和…
15
1.前项和公式的推导一—倒序相加法.15
2.前n项和公式中的基本量的求解
…16
3.前n项和公式与二次函数的关系
.16
第4课时等差数列前项和的性质及应用
…18
1.等差数列的片片段性…
.18
2.前n项和与的比值.
19
3.前n项和与等差中项
.19
4.含有绝对值的等差数列求和…
…21
5.等差数列的最值问题
22
第3讲等比数列…
24
第1课时等比数列…
…24
1.等比数列的概念和通项公式
24
2.等比中项…
25
3.灵活设元求解等比数列问题。
26
4.等差等比数列综合
27
5.等比数列的判定与证明…
…27
6.等比数列的性质…。
.29
第2课时等比数列的前n项和…
30
1.等比数列的前n项和的求法一一错位相减法
.30
2.等比数列前n项和中的基本量的计算
..32
3.等比数列前n项和的性质…。
.33
4.等比数列前n项和的性质…。
.34
5.等比数列奇数项或偶数项之和
.35
6.等比数列最值问题.
.36
7.等比数列前n项和的综合应用
.37
第1讲数列的概念
1.教列中的相关概念
1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号α1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的
第2项，用a2表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用am表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的一般形式可以写成a1,a2,ag,…,an,…,简记为{an}.
3.按项的个数：有穷数列项数有限的数列，无穷数列项数无限的数列。
4.数列{a}是从正整数集N(或它的有限子集{1,2，，n})到实数集R的函数，其自变量是序号
n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
5.如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子
叫做这个数列的通项公式.
6.通项公式就是数列的函数解式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变
量为离散的数的函数，
创题分析】
例在数列{a}中，a,=2,a4,=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a226:(3)2026是否为数列{an}中的项？
爵(1四)设a=km+b(6≠0)，则有k+6=2,
117k+b=66,
解得k=4,b=-2..am=4n-2,n∈N
(2)a2026=4×2026-2=8102
(3)令2026=4n-2,解得n=507∈N*,.2026是数列{an}中的项
练1已知数列{am}的通项公式为an
练2已知数列{an}的通项公式为am=3n2
nt6,neN.
28m.
m
(1)写出数列的第4项和第6项；
(1)求a1o:
(2)一49是否为该数列的项？如果是，是哪一
(②)品是不是这个数列的项？
项？68是否为该数列的项呢？
(3)这个数列中有多少项是整数？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
(4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求
出该项；若没有，说明理由。第2讲等差数列
第1课时等差数列
1.等差数列的概念
等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.即an+1一an=d,
d为常数.
你能根据等差数列的定义an-an-1=d(n≥2).
法一（归纳法）由题意知，an=an-1十d,故有a2=a1+d,a3=a2十d=a+2d,a4=a+d=a1+3d,
.…,归纳可得an=a1+(m-1)d(n≥2).当n=1时，上式也成立，故an=a1+(n-1)d.
法二（累加法）a2-a1=d,ag-a2=d,a4-ag=d,,an-an-1=d,左右两边分别相加可得，an-a1
=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
法三（迭代法）因为{an}是等差数列，所以an=am-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=
an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
创题分析】
例在等差数列{an}中.
(1)已知a1=2,d=3,n=10,则an=29
解a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)已知a1=3,am=21,d=2,则n=10
解由am=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)已知a5=-1,as=2,求a1与d:
a十d=1解得0=-5，
3as=-1,as=2,o+7d=2,
d=1.
(4)己知a1+a6=12,a4=7,求ag
解设数列{an}的公差为d,由已知得
a十a1+5d=12,解得
a1=1,
d=2.
,.an=1+(n-1)×2=2n
a1+3d=7,
-1,∴.ag=2×9-1=17
练1在等差数列{an}中，
+（(n-1)d,得am=2+(n-1)×4=4n-2,所以as=4×
①已知a4=10,a14=70,求an;
15-2=58
②已知a=0,a-2a4=-1,求公差d:
练2设{an}是等差数列，且a1=3,a2+a5=
③已知{an}的前3项依次为2,6,10，求a15
36,则{an}的通项公式为am=6m-3·
解：①由题意得/a+3d=10,
解：a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36
a+13d=70,
→d=6→am=3+(m-1)·6=6m-3.
解得0=-8，
所以am=a1+(n-1)d=6m-14
d=6,
练3在等差数列{an}中，a1=2,as十as=10,
2由题意得/a+2d=0,
a=1,
则a7=8。
解得
a+6d-2(a+3d)=-1,
a1=2,
3由题意得，d=6-2=4,把a1=2,d=4代入an=a
(a+a,=(a+2d+(a+4d=109
解：第2讲等差数列
第1课时等差数列
1.等差数列的概念
等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.即an+1一an=d,
d为常数.
你能根据等差数列的定义an-an-1=d(n≥2).
法一（归纳法）由题意知，an=an-1十d,故有a2=a1+d,a3=a2十d=a+2d,a4=a+d=a1+3d,
.…,归纳可得an=a1+(m-1)d(n≥2).当n=1时，上式也成立，故an=a1+(n-1)d.
法二（累加法）a2-a1=d,ag-a2=d,a4-ag=d,,an-an-1=d,左右两边分别相加可得，an-a1
=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
法三（迭代法）因为{an}是等差数列，所以an=am-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=
an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
创题分析】
例在等差数列{an}中.
(1)已知a1=2,d=3,n=10,则an=29;
解a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)已知a1=3,am=21,d=2,则n=10
解由am=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)已知a5=-1,as=2,求a1与d:
a十d=1,解得0=-5，
3a,=-1,as=2,a+7d=2,
d=1.
(4)己知a1+a6=12,a4=7,求ag.
解设数列{an}的公差为d,由已知得，
a+a1+5d=12,解得
a1=1,
a1+3d=7,
d=2.
,.an=1+(n-1)×2=2m
-1,.ag=2×9-1=17
练1在等差数列{an}中，
练2设{an}是等差数列，且a1=3,a2+a5=
①已知a4=10,a14=70,求an:
36,则{an}的通项公式为
②已知ag=0,a7-2a4=-1,求公差d:
③已知{an}的前3项依次为2,6,10，求a15
练3在等差数列{an}中，a1=2,ag十a5=10,
则a,=
练4等差数列{an}中，a1十a5=10,a4=7,则
数列{am}的公差为
练6在等差数列{an}中，a1+a3=8,且a=
a2ag.
(1)求数列{an}的首项和公差；
(2)设b,=a-1a+2,若bn+bm1=
18
bm+3,求正整数m的值.
练5己知等差数列{an}中，a15=33,a1=
217,试判断153是不是这个数列的项？如果是，是
第几项？
2.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项，
且2A=a+b.
提醒：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A
=a十b,(3)等差数列{a,}中，an是an和a+的等差中项，注意序号间的关系
2
等差中项的应用策略
(1)求两个数D,y的等差中项A,即根据等差中项的定义得A=工十y。
2；
(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若α，b,c成等差数列，则有
a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
例题分析】
例设x是a与b的等差中项，x2是a2与-b的等差中项，则a,b的关系是
解由等差中项的定义知，x=十b,r=26
2
21
2=(,中a-2b-3w=0,
2
∴.(a-3b)(a+b)=0,∴.a=36或a=-b.
练1已知a+3是2a-1和2a+1的等差中
练2已知a>0.6>0,并且日，号·古成等
项，则3a-5和4a+6的等差中项为
差数列，则a+9b的最小值为
9第3讲等比数列
第1课时等此数列
1.等比数列的概念和通项公式
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
2.递推公式形式的定义：a=gn∈N且n>1)(或a=q,n∈N)
an-1
类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示：设一个等比数列的首项是a1,公比是g,则由等比数列的定义可知am=q(n∈N且n≥2).
am-1
法一a.=a×a=×…×a×92×a1=g×g×…×g×q×a1=4q1,当n=1时，上式也成立.
an-1
an-2
a
法二a2=a1q,a=a29=(a19)q=a192,a4=a9=(a19)9=a1q,，…
由此可得an=a1q”-1(n≥2)，当n=1时，上式也成立
创题分析
例在等比数列{an}中：(1)a1=1,a4=8,求am;(2)an=625,n=4,q=5,求a1;(3)a2+a5=18,a3
+a6=9,an=1,求n.
解(1)因为a4=a1q,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1q”-1=2m-1
=5,故a1=5.
(3)因为a+a=a19+a1g=18,①
Ta3+a6=a1q+a1r=9,②，由③}
由是得g=号从而a=2.又a=1,所以32x(号=1，
即26-"=2°，故n=6.
等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量
中，1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解
练1在数列{an}中，am+1=2an,且a1=1,则
以a.=ag=128x(号=(G
a4=8.
(2)a1=
gm-1
625=5,解得a1=5,
解：因为an+1=2an,a1=1,所以{an}为公比为2的等比数
54-1
列，所以a4=a23=8,故选C.
(3)因为a+a=a9+aq=18,3
(a3+a6=a1q2+a1g=9,④
练2在等比数列{an}中
(1)a5=8,a7=2,an>0,求an;
由号常g=专所以。=2又4=1所以2义
(2)am=625,n=4,q=5,求a1;
(号)=1，即20m=20,解得n=6.
(3)a2+a5=18,ag+a6=9,am=1,求n.
练3在等比数列{an}中：
解：设数列{an}的公比为g.
(1)若它的前三项分别为5，-15,45，求a5:
()因为a=ag所以a4=8,1
a=a19,
(aq5=2.2
(2)若a4=2,a7=8,求an·
由号得矿=}，因为a>0.所以g=号，a=128,所
解(1)因为a5=a1q,而a1=5,
9==3
26第3讲等比数列
第1课时等比数列
1.等比数列的概念和通项公式
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
2.递推公式形式的定义：a=gm∈N且n>1)(或a1=g,n∈N）
an-1
类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示：设一个等比数列的首项是a1,公比是g,则由等比数列的定义可知a=q(n∈N且n≥2).
an-1
法一an=am×a-××a×2×a1=g×q×…×g×g×a1=ag-l,当n=1时，上式也成立.
an-1
an-2
a
法二a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q,a4=a39=(a192)9=a1q3，…
由此可得an=a1g”-1(n≥2)，当n=1时，上式也成立.
创题分析
例在等比数列{an}中：(1)a1=1,a4=8,求am;(2)an=625,n=4,q=5,求a1;(3)a2+a5=18,a3
+a6=9,an=1,求n.
解(1)因为a4=a1q,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1q”-1=2m-1
ea=六-0=5，ka=5
(3)因为a+a=a19+ag=18,①
a3+a6=a1q+a1q=9,②，由②
由是得g=号从两a=32.又a=1,所以32×（号=1，
即26-n=20,故n=6.
等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量
中，1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刀而解
练1在数列{an}中，an+1=2an,且a1=1,则
练3在等比数列{an}中：
a4=
(1)若它的前三项分别为5，-15,45，求a5:
(2)若a4=2,a7=8,求an
练2在等比数列{an}中
(1)a5=8,a=2,am>0,求an
(2)am=625,n=4,q=5,求a1
练4在等比数列{an}中.
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,am=1,求n.
(1)己知an=128,a1=4,q=2,求n;
(2)已知a1=2,a3=8,求公比g和通项公式.
24
练5在等比数列{an}中，a2十a4=1,a6十as
练8若正项数列{am}满足a1=2,a品+1
=9,则a2=(A)
3an+1an-4a2=0,则数列{an}的通项公式an等于
A.4B.3
1
c.
D.4
练6设数列{an}是各项均为正数的等比数
列，ag=8,a4十a5=48,则数列{an}的通项公式为
练9已知各项都为正数的数列{an}满足a1=
1,a2-(2an+1-1)am-2an+1=0.
(1)求a2,ag;
(2)求{a}的通项公式.
练7在等比数列{an}中.
(1)己知a3=4,a=16,且q>0,求an;
(2)若{an}为递增数列，且a号=a10,2(an+
an+2)=5an+1,求通项公式am.
2.此中项中
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=
ab
创题分析
例如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么b=
ac=
解因为b是-1，一9的等比中项，所以b2=9,b=士3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0,故b
-3,而b又是a,c的等比中项，故b2=aC,即aC=9.
练1若数列1，a,b,c,9是等比数列，则实数
b=
练4等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与
a+6的等比中项，那么k=
练2在等比数列{an}中，a1=-16,a4=8,则
a,等于
练5已知a是1,2的等差中项，b是-1，-16
的等比中项，则ab=
练3已知等比数列{an}中的前三项为a,2a
+2,3a+3,则实数a=
25
