第四章 数列 专题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 第四章 数列 专题训练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
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高二数列专题训练（含解析）
一、通项公式
1．（2025高二上·西湖期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
2．（2025高二上·天河期末）已知数列中，则数列通项公式 ．
3．（2025高二上·浙江期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 .
4．（2025高三上·广州期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
5．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知数列满足，，则 ．
二、等差数列
6．（2025高二上·天津市期末）已知为等差数列，为它的前项和，若，则 ．
7．（2025高二上·湖南期末）记数列的前n项和为，且满足，则 .
8．（2025高三上·上海期中）记为数列的前项和，若，，则
9．（2025高二上·诸暨期末）已知数列满足若为最大项，则 .
10．（2025高三上·雷州期末）已知数列的前项和为，当取最小值时， .
11．（2025高三上·岳阳期末）在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 .
12．（2024高二下·珠海期中）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d= ．
三、等比数列
13．（2025高二下·河源期中）已知正项等比数列满足，，则 ．
14．（2025·甘肃模拟）在递增等比数列中，已知，，则 ．
15．（2025·安岳模拟）已知正项等比数列满足，且，则公比为 .
16．（2025·成都模拟）已知数列满足，若，则 .
17．（2025高三上·沧州期中）记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
18．（2025高二上·宁波期末）已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则 ．
19．（2025高二上·上城期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5= .
20．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且，则 .
21．（2025高二上·盐田期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 .
22．（2024高二下·茂名期末）已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为 .
四、前n项和
23．（2025高二上·南山期末）记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ．
24．（2025高二上·天津市期末）已知数列满足．设，则数列的前10项和为 ．
25．（2025高三上·鹿城月考）已知数列满足，则 ．
26．（2025高二上·泸县期末）数列的前项和为，
27．（2025高三上·广东期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 .
28．（2025高二下·仁寿期末）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝ .
29．（2024高二上·玉林期末）数列的前项和为，若，则 .
五、解答题
30．（2025高三上·铜仁期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
31．（2025高二上·浙江期末）已知公差为的等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
32．（2025高二上·拱墅期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.
（1）求及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
33．（2025高二上·天津市期末）已知为等差数列，为等比数列，且，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
34．（2025高二上·舟山期末）数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
经检验，不符合上式，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用与关系式求出的值，再利用与关系式求出，再检验是否符合，从而得出数列的通项公式.
2．【答案】
【解析】【解答】解：因为
所以；；.
将以上个式子累加得：
所以
因为，所以
.
故答案为：.
【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，化简即可求得数列的通项公式.
3．【答案】
【解析】【解答】解：数列满足，则，
因为，所以数列是公比为2的等比数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】将变形为，可得数列是公比为2的等比数列，据此求数列的通项公式即可.
4．【答案】
【解析】【解答】解：已知，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
【分析】利用题意可得，即可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.
5．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，因为，
所以，
则，
即<
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查数列的前n项和，对于本题，首先应判断数列之间的关系，通过求和公式解出结果即可。
6．【答案】4
【解析】【解答】解：因为为等差数列，为它的前项和，且，所以，
所以，由等差数列的性质可得.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的前项和公式与性质，核心是利用前项和公式求出，再结合等差数列的性质得到。
7．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，两式作差得，
即，则，
又，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
因此.
故答案为：
【分析】通过的递推关系，作差得到数列的公比，结合首项确定等比数列，再用等比数列求和公式计算。
8．【答案】243
【解析】【解答】解：数列，满足，
当时，，
当时，，则，即，，
因为，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
则，
当时，.
故答案为：243.
【分析】根据数列中与的关系，结合等比数列的定义求出数列的通项公式，再求出即可.
9．【答案】5或6
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
从而可得到，则最大项是第5项或第6项，即或
故答案为：或.
【分析】化简递推公式可得，结合等比数列的概念求得的通项公式，再借助指数函数性质，求最大项时的项数即可.
10．【答案】3
【解析】【解答】解：数列的前项和，
当时，，
当时，，
又当时，，满足上式，即；
则，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】根据数列的关系求得，代入结合基本不等式求最值即可.
11．【答案】17
【解析】【解答】解：在等差数列中，，解得，
而，则，
数列的公差，则，由，得，
而，则或或或，
所以当时，的最小值为.
故答案为：17
【分析】先求出等差数列的通项公式，再根据条件得到与的关系式，结合正整数的取值，计算的最小值。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
13．【答案】32
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：32
【分析】先利用等比数列定义及其通项公式列方程组，可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
14．【答案】9
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，由，可得，
因为，所以、可看作方程的两个根，解得或，
则或，
又因为数列递增，所以，，则，即，化简得，
解得，则.
故答案为：9.
【分析】设等比数列公比为，由题意，利用等比数列性质通项公式求出，再根据数列递增确定和，再求即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q(q>0)，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为q(q>0)，由等比数列的通项公式列方程组，进而解方程组即可求得公比q的值.
16．【答案】
【解析】【解答】解：由，且，故数列为首项为的等比数列，
设其公比为，则，即，
故.
故答案为：.
【分析】由题意结合递推公式和等比数列的定义，从而判断出数列是等比数列，进而得到数列的首项，再结合等比数列的通项公式得出公比的值，再根据等比数列前n项和公式得出数列前4项的和.
17．【答案】
【解析】【解答】解：由，
可得，
解得，
所以，，
则．
故答案为：．
【分析】根据等比数列的通项公式和已知条件，从而可得的值，再代入等比数列前n项和公式，从而得出的值.
18．【答案】9或18
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，即，
解得或；
当时，可得，又，所以；
此时；
当时，可得，又，所以；
此时；
综上可得，或18.
故答案为：9或18
【分析】先通过等比数列前3项和求出公比，再结合求出等差数列的，最后利用等差数列前3项和与的关系（）计算结果。
19．【答案】
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
20．【答案】21
【解析】【解答】解：因为为等比数列，其前项和为，
所以为等比数列，故为等比数列，
所以，
则.
故答案为：21.
【分析】根据已知条件和等比数列片段和的性质以及等比中项公式，从而得出的值.
21．【答案】，
【解析】【解答】解：由题意，.
又，所以，，，
数列是公比为的等比数列.
又，
，.
故答案为：，.
【分析】对给定的方程进行因式分解，得出数列的公比，判断数列类型为等比数列，再结合前项和求出首项，进而得到通项公式.
22．【答案】99
【解析】【解答】解： 数列是首项为，公比为的等比数列 ，
则，即，
数列的前n项和，显然数列是递增数列，
而，
使得成立的的最大值为99.
故答案为：99.
【分析】由题意，求数列的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和，再借助数列单调性求解即可.
23．【答案】
【解析】【解答】解：由，可得①，
当时，②，
①-②可得：，
整理可得，即，，，
则数列是公差为，首项为等差数列，故
故答案为：
【分析】化简可得，根据数列中的关系求得，结合等差数列定义求数列的通项即可.
24．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴，
∴数列的前10项和为：
.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列通项、数列分组求和与裂项相消法，核心是先确定的通项，再分奇偶项表示，最后分组求和。
25．【答案】
【解析】【解答】解：由数列满足，
则
.
故答案为：.
【分析】先用分组得到，再利用等比数列的求和公式，即可求解.
26．【答案】2600
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
， ，
， ，
…………………….，
.
故答案为：2600
【分析】由递推公式，叠加即得.
27．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，则，
所以，则，，所以，所以，
所以其前2025项的和，，解得，所以，
故答案为：.
【分析】推导递推规律：从已知，推出，找到奇数项、偶数项的递推关联.累加求通项：对奇数项的递推式累加，得到与的关系，同理得表达式，再推出偶数项与的关系.分组求和：将前项和按“首项 + 偶数项与后一个奇数项组和”分组，利用等比数列求和公式计算，结合已知和求出，进而得.
28．【答案】n2+2n+1﹣2
【解析】【解答】解：由，，
可得，
，即，解得，
即数列奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用递推关系求出数列的项，可得数列的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，再利用等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
29．【答案】
【解析】【解答】解：所以
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查常见的数列求和方式——裂项相消法.
30．【答案】（1）解：易知
故求数列的通项公式分别为
.
（2）解：由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
.
【解析】【分析】（1）将点代入直线方程可得通项公式，代入等比数列通项公式得q，可得通项公式；
（2）求出的通项， 分组求和法可得答案.
（1）易知
故求数列的通项公式分别为
.
（2）由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
.
31．【答案】（1）解：是等差数列，
，
又，
，是方程的两根，
则，
得或，
又，
，
，，
，，
.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，
得
，
.
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而解方程得出的值，再利用等差数列的通项公式，从而得出公差的值和首项的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
（1）是等差数列，，
又，，是方程的两根，
解，得或，
又，，，，
，，.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
.
32．【答案】（1）解：由，，
可得，即，
因为数列的各项均不为零，所以，所以为等差数列，且公差大于0，
中，令，得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，
故当时，，当时，，
设的前项和为，
当时，，
当时，，
综上，.
【解析】【分析】（1）由，，变形得到，则数列为等差数列，利用求出，再根据，其中，，得到，求出公差即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和.
（1），，
故，即，
的各项均不为零，故，
所以为等差数列，且公差大于0，
中，令得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得或0（舍去），
故；
（2），
故当时，，当时，，
设的前项和为，
当时，，
当时，，
综上，.
33．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）解：由（1）可得：
【解析】【分析】（1）通项公式：等差数列：利用已知项列关于首项、公差的方程，求解后得通项；
等比数列：利用已知项求公比，再结合等比数列通项公式得结果。
（2）前项和：将拆分为等差数列与等比数列的和，分别用对应求和公式计算后相加。
（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）结合（1）可得：
34．【答案】（1）解：令
又①
②
由①②得到
即：，
经检验，也成立，故数列的通项公式
（2）解：
因为是单调递增数列，且
若恒成立，则，解得或，
实数的取值范围为或．
【解析】【分析】（1）代入知求的关系式，作差即可求解，
（2）根据项的特征，符合裂项相消法，将其裂项，叠加得，再由单调性可得，进而根据求解即可.
（1）令
又①
②
由①②得到
即：，
经检验，也成立，故数列的通项公式
（2）
因为是单调递增数列，且
若恒成立，则，解得或，
实数的取值范围为或．
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高二数列专题训练（含解析）
一、通项公式
1．（2025高二上·西湖期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
2．（2025高二上·天河期末）已知数列中，则数列通项公式 ．
3．（2025高二上·浙江期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 .
4．（2025高三上·广州期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
5．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知数列满足，，则 ．
二、等差数列
6．（2025高二上·天津市期末）已知为等差数列，为它的前项和，若，则 ．
7．（2025高二上·湖南期末）记数列的前n项和为，且满足，则 .
8．（2025高三上·上海期中）记为数列的前项和，若，，则
9．（2025高二上·诸暨期末）已知数列满足若为最大项，则 .
10．（2025高三上·雷州期末）已知数列的前项和为，当取最小值时， .
11．（2025高三上·岳阳期末）在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 .
12．（2024高二下·珠海期中）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d= ．
三、等比数列
13．（2025高二下·河源期中）已知正项等比数列满足，，则 ．
14．（2025·甘肃模拟）在递增等比数列中，已知，，则 ．
15．（2025·安岳模拟）已知正项等比数列满足，且，则公比为 .
16．（2025·成都模拟）已知数列满足，若，则 .
17．（2025高三上·沧州期中）记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
18．（2025高二上·宁波期末）已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则 ．
19．（2025高二上·上城期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5= .
20．（2025高二下·白云月考）已知等比数列的前项和为，且，则 .
21．（2025高二上·盐田期末）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 .
22．（2024高二下·茂名期末）已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为 .
四、前n项和
23．（2025高二上·南山期末）记为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是 ．
24．（2025高二上·天津市期末）已知数列满足．设，则数列的前10项和为 ．
25．（2025高三上·鹿城月考）已知数列满足，则 ．
26．（2025高二上·泸县期末）数列的前项和为，
27．（2025高三上·广东期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 .
28．（2025高二下·仁寿期末）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝ .
29．（2024高二上·玉林期末）数列的前项和为，若，则 .
五、解答题
30．（2025高三上·铜仁期末）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
31．（2025高二上·浙江期末）已知公差为的等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
32．（2025高二上·拱墅期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.
（1）求及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
33．（2025高二上·天津市期末）已知为等差数列，为等比数列，且，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
34．（2025高二上·舟山期末）数列满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
经检验，不符合上式，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用与关系式求出的值，再利用与关系式求出，再检验是否符合，从而得出数列的通项公式.
2．【答案】
【解析】【解答】解：因为
所以；；.
将以上个式子累加得：
所以
因为，所以
.
故答案为：.
【分析】先将的表达式化简，再依次写出，，，的式子，将这些式子累加，化简即可求得数列的通项公式.
3．【答案】
【解析】【解答】解：数列满足，则，
因为，所以数列是公比为2的等比数列，
则，即.
故答案为：.
【分析】将变形为，可得数列是公比为2的等比数列，据此求数列的通项公式即可.
4．【答案】
【解析】【解答】解：已知，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
【分析】利用题意可得，即可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.
5．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，因为，
所以，
则，
即<
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查数列的前n项和，对于本题，首先应判断数列之间的关系，通过求和公式解出结果即可。
6．【答案】4
【解析】【解答】解：因为为等差数列，为它的前项和，且，所以，
所以，由等差数列的性质可得.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列的前项和公式与性质，核心是利用前项和公式求出，再结合等差数列的性质得到。
7．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，两式作差得，
即，则，
又，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
因此.
故答案为：
【分析】通过的递推关系，作差得到数列的公比，结合首项确定等比数列，再用等比数列求和公式计算。
8．【答案】243
【解析】【解答】解：数列，满足，
当时，，
当时，，则，即，，
因为，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
则，
当时，.
故答案为：243.
【分析】根据数列中与的关系，结合等比数列的定义求出数列的通项公式，再求出即可.
9．【答案】5或6
【解析】【解答】解：由，可得，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，即，
从而可得到，则最大项是第5项或第6项，即或
故答案为：或.
【分析】化简递推公式可得，结合等比数列的概念求得的通项公式，再借助指数函数性质，求最大项时的项数即可.
10．【答案】3
【解析】【解答】解：数列的前项和，
当时，，
当时，，
又当时，，满足上式，即；
则，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】根据数列的关系求得，代入结合基本不等式求最值即可.
11．【答案】17
【解析】【解答】解：在等差数列中，，解得，
而，则，
数列的公差，则，由，得，
而，则或或或，
所以当时，的最小值为.
故答案为：17
【分析】先求出等差数列的通项公式，再根据条件得到与的关系式，结合正整数的取值，计算的最小值。
12．【答案】2
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
13．【答案】32
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，可知；
因此可得，两式相除可得，
解得或；
可得或（舍）；
因此.
故答案为：32
【分析】先利用等比数列定义及其通项公式列方程组，可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
14．【答案】9
【解析】【解答】解：设等比数列公比为，由，可得，
因为，所以、可看作方程的两个根，解得或，
则或，
又因为数列递增，所以，，则，即，化简得，
解得，则.
故答案为：9.
【分析】设等比数列公比为，由题意，利用等比数列性质通项公式求出，再根据数列递增确定和，再求即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q(q>0)，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为q(q>0)，由等比数列的通项公式列方程组，进而解方程组即可求得公比q的值.
16．【答案】
【解析】【解答】解：由，且，故数列为首项为的等比数列，
设其公比为，则，即，
故.
故答案为：.
【分析】由题意结合递推公式和等比数列的定义，从而判断出数列是等比数列，进而得到数列的首项，再结合等比数列的通项公式得出公比的值，再根据等比数列前n项和公式得出数列前4项的和.
17．【答案】
【解析】【解答】解：由，
可得，
解得，
所以，，
则．
故答案为：．
【分析】根据等比数列的通项公式和已知条件，从而可得的值，再代入等比数列前n项和公式，从而得出的值.
18．【答案】9或18
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，即，
解得或；
当时，可得，又，所以；
此时；
当时，可得，又，所以；
此时；
综上可得，或18.
故答案为：9或18
【分析】先通过等比数列前3项和求出公比，再结合求出等差数列的，最后利用等差数列前3项和与的关系（）计算结果。
19．【答案】
【解析】【解答】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
20．【答案】21
【解析】【解答】解：因为为等比数列，其前项和为，
所以为等比数列，故为等比数列，
所以，
则.
故答案为：21.
【分析】根据已知条件和等比数列片段和的性质以及等比中项公式，从而得出的值.
21．【答案】，
【解析】【解答】解：由题意，.
又，所以，，，
数列是公比为的等比数列.
又，
，.
故答案为：，.
【分析】对给定的方程进行因式分解，得出数列的公比，判断数列类型为等比数列，再结合前项和求出首项，进而得到通项公式.
22．【答案】99
【解析】【解答】解： 数列是首项为，公比为的等比数列 ，
则，即，
数列的前n项和，显然数列是递增数列，
而，
使得成立的的最大值为99.
故答案为：99.
【分析】由题意，求数列的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和，再借助数列单调性求解即可.
23．【答案】
【解析】【解答】解：由，可得①，
当时，②，
①-②可得：，
整理可得，即，，，
则数列是公差为，首项为等差数列，故
故答案为：
【分析】化简可得，根据数列中的关系求得，结合等差数列定义求数列的通项即可.
24．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴，
∴数列的前10项和为：
.
故答案为：.
【分析】本题考查等差数列通项、数列分组求和与裂项相消法，核心是先确定的通项，再分奇偶项表示，最后分组求和。
25．【答案】
【解析】【解答】解：由数列满足，
则
.
故答案为：.
【分析】先用分组得到，再利用等比数列的求和公式，即可求解.
26．【答案】2600
【解析】【解答】解： ，
，
， ，
， ，
， ，
…………………….，
.
故答案为：2600
【分析】由递推公式，叠加即得.
27．【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，则，
所以，则，，所以，所以，
所以其前2025项的和，，解得，所以，
故答案为：.
【分析】推导递推规律：从已知，推出，找到奇数项、偶数项的递推关联.累加求通项：对奇数项的递推式累加，得到与的关系，同理得表达式，再推出偶数项与的关系.分组求和：将前项和按“首项 + 偶数项与后一个奇数项组和”分组，利用等比数列求和公式计算，结合已知和求出，进而得.
28．【答案】n2+2n+1﹣2
【解析】【解答】解：由，，
可得，
，即，解得，
即数列奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用递推关系求出数列的项，可得数列的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，再利用等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
29．【答案】
【解析】【解答】解：所以
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查常见的数列求和方式——裂项相消法.
30．【答案】（1）解：易知
故求数列的通项公式分别为
.
（2）解：由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
.
【解析】【分析】（1）将点代入直线方程可得通项公式，代入等比数列通项公式得q，可得通项公式；
（2）求出的通项， 分组求和法可得答案.
（1）易知
故求数列的通项公式分别为
.
（2）由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
.
31．【答案】（1）解：是等差数列，
，
又，
，是方程的两根，
则，
得或，
又，
，
，，
，，
.
（2）解：由（1）得，
所以，
则，
两式相减，
得
，
.
【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而解方程得出的值，再利用等差数列的通项公式，从而得出公差的值和首项的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前项和.
（1）是等差数列，，
又，，是方程的两根，
解，得或，
又，，，，
，，.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得
，
.
32．【答案】（1）解：由，，
可得，即，
因为数列的各项均不为零，所以，所以为等差数列，且公差大于0，
中，令，得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，
故当时，，当时，，
设的前项和为，
当时，，
当时，，
综上，.
【解析】【分析】（1）由，，变形得到，则数列为等差数列，利用求出，再根据，其中，，得到，求出公差即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和.
（1），，
故，即，
的各项均不为零，故，
所以为等差数列，且公差大于0，
中，令得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得或0（舍去），
故；
（2），
故当时，，当时，，
设的前项和为，
当时，，
当时，，
综上，.
33．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）解：由（1）可得：
【解析】【分析】（1）通项公式：等差数列：利用已知项列关于首项、公差的方程，求解后得通项；
等比数列：利用已知项求公比，再结合等比数列通项公式得结果。
（2）前项和：将拆分为等差数列与等比数列的和，分别用对应求和公式计算后相加。
（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）结合（1）可得：
34．【答案】（1）解：令
又①
②
由①②得到
即：，
经检验，也成立，故数列的通项公式
（2）解：
因为是单调递增数列，且
若恒成立，则，解得或，
实数的取值范围为或．
【解析】【分析】（1）代入知求的关系式，作差即可求解，
（2）根据项的特征，符合裂项相消法，将其裂项，叠加得，再由单调性可得，进而根据求解即可.
（1）令
又①
②
由①②得到
即：，
经检验，也成立，故数列的通项公式
（2）
因为是单调递增数列，且
若恒成立，则，解得或，
实数的取值范围为或．
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