综合与实践 最短路径问题 教案 人教版（2024）数学八年级上册

人教版八年级数学上册
《最短路径问题》 教案
一、 教 材 分 析
数学来源于生活，并服务于生活，解决生产、生活和经营中为省时省力而希望寻求最短路径的问题，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别，利用初中数学中路径最短问题解决现实生活问题
学 情 分 析
重点；利用轴对称解决简单的最短路径问题;
难点; 教学过程中注重“转化”思想和建模意识的培养
教 学 目 标
利用两点之间最短距离和轴对称知识解决简单的最短路径问题和转化能力的应用
四、 教法与学法
学习任何知识的最佳途径是由自己去发现------------波利亚
从实际问题入手，引导学生由浅入深的探索，使学生发现解决问题的最佳途径，自己得出结论.我鼓励学生采用自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程.
教 学 过 程
创设情景，导入新课
数学来源于生活、服务于生活，但事实上我们在生活中很难感觉到数学。
只不过在数学和现实生活中间存在着一个“转化”的问题。今天我们就从一个具体的例子展示：现实生活中的实例和数学是如何转化的
情境1：一牧马人要从A点跨过河l到对岸的马场B处，应该从何处跨过河l才能使全程最短呢？
追问1：你的理论依据是什么？
追问2：你能将此实际问题转化为怎样的数学问题？
【学生活动】：学生思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳：
情境2：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？
追问：此问题与情景1的区别在哪里？情景1解决问题的方法又给我们什么启示？
【学生活动】：学生思考，画图分析，并尝试回答，相互补充，师生共同归纳：
（二）合作交流，探究新知
追问1：如何将这个实际问题转化为数学问题，建立数学模型？它与情境1的区别在哪儿？
追问2：你能否将此问题转化为情景1的问题？你又是如何转化的？
追问3：解决此问题利用什么数学思想，最关键的步骤是什么？
作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B’;
（2）连接AB’，与直线l相交于点C.
则点C即为所求.
（三）逻辑证明，检验发现
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在直线l上任取一点C'（与点C不重合），连接AC'，BC'，B'C'.
由轴对称的性质知，BC=B’C，BC'=B'C'.
∴AC+BC=AC+B'C =AB',
AC'+BC'=AC'+B'C'.
在△AB'C'中， AB'∴AC+BC< AC'+BC'.
即AC+BC最短.
追问1　证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？
这里的“C′”的作用是什么？
追问2　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？运用什么思想
拓展与提升（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
作图
1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A′ ，
2.连接A′B交河对岸与点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。
（四）巩固新知，学以致用
迁移应用
1、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是对角线BD上一动点，要使FE+FA的值最小，请确定F点的位置。
数学问题生活化
2、如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球
金牌抢夺
情境2中：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地。可以L上找到一点使所走的路径最短？ 你能否在L上找到一点到A、B两点路径之差最大？
（五）课堂小结
生活中的问题 数学问题建立模型
（六）板 书 设 计
作图区： 练习 ：
作业：
1、如图，已知正方形ABCD，M是BC的中点，P是对角线BD上一动点，要使PM+PC的值最小，请确定P点的位置。
2、如图，已知菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，P是对角线AC上一动点，要使PM+PN的值最小，请确定P点的位置。
3、如图，点P在∠AOB内部，问如何在射线OA、OB上分别找点C、D，使得PC+CD+PD之和最小？
4、如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
B
A
l
C
B
A
l
B
·
l
A
·
·
B′
A
B′
C
B
B
·
l
A
·
B′
C
C′
最短路径问题
“异岸”问题：
两点之间，线段最短；
“同岸”作法：
（1）作点B关于直线l的对称点B’;
（2）连接AB’，与直线l相交于点C.
则点C即为所求.