15.3.1 等腰三角形 教学设计 初中数学人教版（2024）八年级上册

《15.3.1 等腰三角形》教学设计
（一）教学设计理念
教学设计理念是指导教学设计的核心思想，对于等腰三角形第一课时，其教学设计理念主要应体现在以下几个方面：
首先，强调学生的主体性。在教学设计中，应以学生为中心，充分考虑学生的认知特点和兴趣爱好，通过引导学生主动参与、积极探究，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。在等腰三角形的教学中，可以设计一些互动性强、启发性高的教学活动，如小组讨论、实验操作等，让学生在合作与交流中深入理解等腰三角形的性质。
其次，注重知识的系统性和连贯性。教学设计应遵循数学知识的内在逻辑，确保知识点的衔接和过渡自然。在等腰三角形性质的教学中，应从回忆等腰三角形的概念，结合轴对称图形入手，通过动手实验，观察讨论，猜想，验证，引出等腰三角形的性质。同时，还要关注与其他知识点的联系，如三角形全等，线段垂直平分线，等腰三角形的判定等，形成完整的知识体系。
再次，强调实际应用性。数学教学应紧密联系实际生活，让学生感受到数学的实用性和趣味性。在等腰三角形性质的教学中，可以引入一些生活中的实例，让学生体会到等腰三角形在现实生活中的应用。
最后，关注情感态度与价值观的培养。教学设计应注重培养学生的情感态度与价值观，让他们在学习过程中形成正确的价值观和良好的学习习惯。在等腰三角形性质的教学中，可以通过小组合作、探究学习等方式，培养学生的合作精神和探究精神；同时，还要关注学生的情感体验，让他们在轻松愉快的学习氛围中成长。
综上所述，人教版初中数学等腰三角形性质的教学设计理念应以学生为中心，注重知识的系统性和连贯性，强调实际应用性，并关注情感态度与价值观的培养。这样的教学设计理念有助于提高学生的数学素养和综合能力，促进他们的全面发展。
（二）教学背景分析
1.课程标准分析
理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60° 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
2.教学内容分析
等腰三角形，是在学习了三角形全等的判定、轴对称图形和线段垂直平分线的基础上进行的，主要学习 “等腰三角形的等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”两个性质。本节内容是对前面知识的深化和应用，性质定理不仅是证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据，而且也是后继学习等腰三角形判定、等边三角形性质及判定的基础。本节内容在教材中具有非常重要的地位，起着承上启下的作用。
3.学生学情分析
对于等腰三角形性质这一节内容，八年级的学生已经具备了一定的几何基础，前面学习了三角形，三角形全等的判定，轴对称图形，线段垂直平分线，这为学习等腰三角形的性质打下了基础。
在知识点掌握方面，学生需要理解等腰三角形的性质，等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对顶角”）
等腰三角形的性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
在此基础上，探索并证明等腰三角形的性质，这些性质是进一步学习等腰三角形判定和等边三角形性质判定的基础。
在学习动机方面，八年级的学生通常对几何图形有一定的好奇心和兴趣，尤其是那些具有特殊性质的图形。因此，教师可以通过生动有趣的实例和实际问题，激发学生的学习兴趣，使他们更加主动地参与到学习中来。
在学习能力方面，八年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，能够理解和运用一些基本的几何定理和性质。然而，对于等腰三角形性质中的一些较复杂的问题，如证明题和综合性问题，学生可能还需要进一步的培养和锻炼。
因此，在教学过程中，教师应注意因材施教，根据学生的实际情况调整教学策略和方法。可以通过设置不同层次的练习题，让学生逐步掌握等腰三角形的性质，并在实践中加深对知识点的理解和应用。同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，为今后的学习打下坚实的基础。
（三）教学目标
1. 经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，培养学生的几何直观能力。
2.在“操作-探究-猜想-验证-结论”的过程中，让学生积累活动经验，感受数学思考过程的条理性，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3.能运用等腰三角形的性质解决等腰三角形内角以及边的证明和计算问题。
4.在数学活动中让学生获得成功体验，培养学生与他人合作交流的意识，发展学生勇于探索的精神。
（四）教学重、难点
重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”性质的发现、论证及应用。
难点：等腰三角形性质的证明。
（五）教学过程
情景导入
回忆等腰三角形的定义及基础知识，从等腰三角形的定义的由来。欧几里得在《几何原本》中系统阐述了三角形分类，明确提出等腰三角形的性质（？），这些内容成为后续研究的基础。由此引入及今天的研究内容等腰三角形的性质。
【设计意图】回顾等腰三角形的定义和基础知识，为后面学习等腰三角形的性质做准备，加强新旧知识之间的联系，从等腰三角形的由来想让同学们了解数学史，通过追溯欧几里得在《几何原本》中对等腰三角形的定义和性质阐述，学生能更清晰地理解等腰三角形“两腰相等”“两底角相等”等核心概念的源头，明白这些知识并非凭空产生，而是经过严谨推导和系统整理的，从而在本质上把握其内涵。将数学知识与历史背景结合，能让抽象的几何概念变得更具故事性和人文色彩，避免学习过程的枯燥感，激发学生对数学发展历程的好奇，进而主动探索更多数学知识。
动手实践探索
请同学们拿起老师让大家提前准备好的长方形纸，首先对折，再折出一个三角形，用剪刀沿折痕剪开（使用剪刀时请注意安全），下面我们把这个三角形展开，标上字母A、B、C，得到的新三角形有什么特点？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
3.在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一 折.你的猜想仍然成立吗？
2.小组合作，探究新知
通过实际动手操作，同学们会发现△ABC是等腰三角形，找出重合的线段和角，鼓励大家对此提出猜想。继续观察剪出的等腰三角形，从其它重合的线段和角出发，引导学生不断思考，得出等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合的猜想
猜想1.等腰三角形两个底角相等
猜想2.△ABC中间的折痕是顶角的平分线，底边上的中线也是底边上的高。
并引导学生利用证明三角形全等证明猜想。
如图，△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD.
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
∴ △BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
由此验证猜想1成立。得到
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对顶角”）.
几何语言： ∵AB=AC
∴∠B=∠C.
【设计意图】培养学生动手操作、观察分析、合情推理和演绎推理的能力。
鼓励学生在三角形全等的基础上继续演绎推理
∵△BAD ≌△CAD (SSS)
∴ ∠BAD=∠CAD
∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
AD⊥BC
由此得到等腰三角形底边上的中线AD平分顶角∠BAC,并且垂直于底边BC.
鼓励学生利用类似的方法证明，等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
如图，△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的平分线AD.
∵ AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴ △BAD ≌△CAD (SAS).
∠B=∠C ,
BD=CD.
∠BDA=∠CDA
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
AD⊥BC
由此得到 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
哪位同学能尝试着证明等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边？
如图，△ABC中，AB=AC，作底边BC上高AD.
通过类似的证明可得到等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边。
由此猜想2成立。可得
等腰三角形的性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
1.AD⊥BC 2.BD=CD 3.AD平分∠BAC
几何语言：在△ABC中，
∵AB=AC， 以上三个条件中任何一个
∴可得另外两个
同学们我们已经知道等腰三角形是轴对称图形了，那它的对称轴能换一种说法描述吗？
底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。
【设计意图】：让学生将动手实践得出的猜想，再加以理论验证，归纳成数学结论，使学生亲身参与数学研究的过程，并在此过程中学习转化思想在几何中的运用，体会数学研究的乐趣. 对菱形性质探索与归纳，使学生对等腰三角形加深了认识，培养了学生的动手能力、推理能力，突出了教学的重点，也突破了教学难点。
运用性质，解决问题
经典例题
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：
∵ AB=AC， BD=BC=AD，
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD(等边对等角）.
设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有∠A+ ∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°. 解得x=36°.
所以，在△ABC 中，∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°.
牛刀小试
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE
分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝(　　)
A．80°
B．40°
C．50°
D．60°
经典例题
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝(180°－∠A) ＝(180°－50°)＝65°.
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
【设计意图】：突出重点，及时巩固新知，深化学生对性质的理解和掌握，更好的学以致用。
4.课堂小结
通过本节课的学习你有什么收获？还有什么疑问？(生生互动)
等腰三角形的性质
等腰三角形与线段垂直平分线的关系
转化思想
【设计意图】使学生能够养成主动梳理知识的习惯，在梳理与反思中，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．引导学生自主总结，畅谈所得，培养归纳总结能力及口头表达能力．通过总结所学的知识，进一步体会解决问题的办法，在总结中提升自己.
板书设计
等腰三角形的性质：
等腰三角形性质的推理证明：
等腰三角形性质的几何语言：
体现了转化思想