1.1.3 积的乘方同步练习（含解析）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.1 幂的乘除
第3课时 积的乘方
一、选择题
1．计算(x3)2的结果是( )
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
2．计算(2×106)3的结果为( )
A．6×109 B．8×109 C．2×1018 D．8×1018
3．下列各图中，能直观解释“(3a)2＝9a2”的是( )
4．如果(ambn)3＝a9b12，那么m，n的值分别为( )
A．9，4 B．3，4 C．4，3 D．9，6
5．已知a＝2，b＝－，则a10·b10的值为( )
A．－1 B．1 C．210 D．()10
6．下列计算正确的是(　　)
A．(xy2)2＝xy4　　B．(3xy)3＝9x3y C．(－2a2)2＝－4a4　　D．(－3ab2)2＝9a2b4
7．若a＝66，b＝96，则546可以表示为(　　)
A．a＋b　B．a－b　　C．ab　　D.
8．数N＝215×510的位数是(　　)
A．10 B．11 C．12　 D．13
9．已知5a＝2b＝10，则代数式的值为(　　)
A.　　 B.　　 C．1　　 D．2
二、填空题
10．填空：
(1)(a2b3)4＝(________)4·(________)4＝___________；
(2)(3m2)2＝(________)2·(________)2＝__________．
11．(1)若an＝10，bn＝2，则(ab)n＝_________；
(2)(－0.125)9×810＝________．
12．若xn＝3，yn＝2，则(x2y3)n＝_________．
13．已知a＝78，b＝87，用含a，b的式子表示5656是__________．
14．已知(a－3)2＋|3b－1|＝0，则a2 027·b2 026的值为______．
三、解答题
15．计算：
(1)(5ab)2; (2)(－xy2)2；
(3)(－4xmyn)3；
(4)x2·(xy2)3；
(5)(x2y)4＋(x4y2)2.
16．已知a2n＝，bn＝3，求(ab)4n的值．
17．(1)当n为正整数时，(ab)n等于什么？
(2)计算：
①(1)2 024×(－)2 025；
②(－0.125)2 025×22 026×42 024.
18．(1)若22·16n＝(22)9，解关于x的方程nx＋4＝2；
(2)已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值．
19．(1)已知3×27×39＝3x＋8，求x的值；
(2)若x＋2y－4＝0，求22y·2x－2的值．
20．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)，如果am＝b，则(a，b)＝m.我们叫(a，b)为“雅对”．例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3，3)＋(3，5)＝(3，15)成立．证明如下：
设(3，3)＝m，(3，5)＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m·3n＝3m＋n＝3×5＝15，则(3，15)＝m＋n，即(3，3)＋(3，5)＝(3，15).
(1)根据上述规定，填空：(5，125)＝______；(______，16)＝4；
(2)计算：(5，2)＋(5，7)＝__________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：(2n，3n)＝(2，3)，对于任意正整数n都成立．
21．观察下列等式：
13＋23＝(1＋2)2＝9，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝36，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝100.
(1)续写等式：13＋23＋33＋43＋53＝________；(写出最后结果)
(2)我们已经知道1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13＋23＋33＋…＋(n－1)3＋n3＝________________；
(3)利用(2)中得到的结论计算：33＋63＋93＋…＋573＋603.
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参考答案
一、选择题
1．计算(x3)2的结果是( )
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
【答案】B
2．计算(2×106)3的结果为( )
A．6×109 B．8×109 C．2×1018 D．8×1018
【答案】D
3．下列各图中，能直观解释“(3a)2＝9a2”的是( )
【答案】C
4．如果(ambn)3＝a9b12，那么m，n的值分别为( )
A．9，4 B．3，4 C．4，3 D．9，6
【答案】B
5．已知a＝2，b＝－，则a10·b10的值为( )
A．－1 B．1 C．210 D．()10
【答案】B
6．下列计算正确的是(　　)
A．(xy2)2＝xy4　　B．(3xy)3＝9x3y C．(－2a2)2＝－4a4　　D．(－3ab2)2＝9a2b4
【答案】D
7．若a＝66，b＝96，则546可以表示为(　　)
A．a＋b　B．a－b　　C．ab　　D.
【答案】C
8．数N＝215×510的位数是(　　)
A．10 B．11 C．12　 D．13
【答案】C
【解析】N＝215×510＝25×210×510＝25×(2×5)10＝32×1010＝3.2×1011，所以数N的位数是12.
9．已知5a＝2b＝10，则代数式的值为(　　)
A.　　 B.　　 C．1　　 D．2
【答案】C
二、填空题
10．填空：
(1)(a2b3)4＝(________)4·(________)4＝___________；
(2)(3m2)2＝(________)2·(________)2＝__________．
【答案】a2 b3 a8b12
3 m2 9m4
11．(1)若an＝10，bn＝2，则(ab)n＝_________；
(2)(－0.125)9×810＝________．
【答案】20 －8
12．若xn＝3，yn＝2，则(x2y3)n＝_________．
【答案】72
13．已知a＝78，b＝87，用含a，b的式子表示5656是__________．
【答案】a7b8
14．已知(a－3)2＋|3b－1|＝0，则a2 027·b2 026的值为______．
【答案】3
三、解答题
15．计算：
(1)(5ab)2; (2)(－xy2)2；
解：原式＝25a2b2 解：原式＝x2y4
(3)(－4xmyn)3；
解：原式＝－64x3my3n
(4)x2·(xy2)3；
解：原式＝x2·x3y6＝x5y6
(5)(x2y)4＋(x4y2)2.
解：原式＝x8y4＋x8y4＝2x8y4
16．已知a2n＝，bn＝3，求(ab)4n的值．
解：当a2n＝，bn＝3时，(ab)4n＝a4n·b4n＝(a2n)2·(bn)4＝()2·34＝×81＝
17．(1)当n为正整数时，(ab)n等于什么？
(2)计算：
①(1)2 024×(－)2 025；
②(－0.125)2 025×22 026×42 024.
解：(1)(ab)n＝anbn
(2)①(1)2 024×(－)2 025＝[×(－)]2 024×(－)＝1×(－)＝－
②(－0.125)2 025×22 026×42 024＝－0.125×22×(－0.125×2×4)2 024＝－0.5×(－1)2 024＝－0.5
18．(1)若22·16n＝(22)9，解关于x的方程nx＋4＝2；
解：22·16n＝(22)9变形为22·24n＝218，即22＋4n＝218，所以2＋4n＝18，解得n＝4.此时方程为4x＋4＝2，解得x＝－
(2)已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值．
解：因为2x＋3·3x＋3＝6x＋3，36x－2＝62x－4，所以x＋3＝2x－4，解得x＝7
19．(1)已知3×27×39＝3x＋8，求x的值；
解：3×27×39＝3×33×39＝313，因为3×27×39＝3x＋8，所以x＋8＝13，所以x＝5
(2)若x＋2y－4＝0，求22y·2x－2的值．
解：22y·2x－2＝2x＋2y－2.因为x＋2y－4＝0，所以x＋2y－2＝2，因此22y·2x－2＝22＝4
20．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)，如果am＝b，则(a，b)＝m.我们叫(a，b)为“雅对”．例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3，3)＋(3，5)＝(3，15)成立．证明如下：
设(3，3)＝m，(3，5)＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m·3n＝3m＋n＝3×5＝15，则(3，15)＝m＋n，即(3，3)＋(3，5)＝(3，15).
(1)根据上述规定，填空：(5，125)＝______；(______，16)＝4；
【答案】3 2
(2)计算：(5，2)＋(5，7)＝__________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：(2n，3n)＝(2，3)，对于任意正整数n都成立．
解：(2)(5，14)；理由如下：设(5，2)＝m，(5，7)＝n，则5m＝2，5n＝7，所以5m·5n＝5m＋n＝2×7＝14，因为(5，14)＝m＋n，所以(5，2)＋(5，7)＝(5，14)　
(3)设(2n，3n)＝a，(2，3)＝b，所以(2n)a＝3n，2b＝3，所以(2n)a＝(2b)n，即2an＝2bn，所以an＝bn，所以a＝b，即(2n，3n)＝(2，3)，对于任意正整数n都成立
21．观察下列等式：
13＋23＝(1＋2)2＝9，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝36，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝100.
(1)续写等式：13＋23＋33＋43＋53＝________；(写出最后结果)
【答案】225
(2)我们已经知道1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13＋23＋33＋…＋(n－1)3＋n3＝________________；
【答案】n2(n＋1)2
(3)利用(2)中得到的结论计算：33＋63＋93＋…＋573＋603.
解：原式＝(3×1)3＋(3×2)3＋(3×3)3＋…＋(3×19)3＋(3×20)3
＝27×13＋27×23＋27×33＋…＋27×193＋27×203
＝27×(13＋23＋33＋…＋193＋203)
＝27××202×212＝1 190 700.
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