1.3 乘法公式（第1课时）-平方差公式 课件（共26张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

(共26张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.3乘法公式（第1课时）平方差公式第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
计算下列各题：
(1)(x+2)(x-2)
(2)(1+3a)(1-3a)
(3)(x+5y)(x-5y)
(4)(2y-z)(2y+z)
知识点 平方差公式
=x2-2x+2x-4
=1-3a+3a-9a2
=x2-5xy+5xy-25y2
=4y2+2yz-2yz-z2
观察四个算式有什么特点？
都是“两数和×两数差”
=x2-4;
=1-9a2;
=x2-25y2;
=4y2-z2.
文字语言：
两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差.
符号语言： (a＋b)( a－b)＝a －b .
平方差公式：
证一证：代数验证
(a + b)(a b)＝ ＝ .
a2 b2
a2 ab + ab b2
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B
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x－2y)(2y＋x)
B．(x－2y)(－2y＋x)
C．(x＋y)(y－x)
D．(2x－3y)(3y＋2x)
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)
＝52－(6x)2
＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　)
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
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知1－讲
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2
(3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2
(4)指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4
(5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)2－c2
知1－讲
续表
变化形式 应用举例
(6)连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
(7)增因式变化 (－a－b)(－a＋b)(a－b)(a＋b)＝[(－a)2－b2](a2－b2)＝(a2－b2)
3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
返回
【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝
x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4.
B
知识点 平方差公式
例2 利用平方差公式计算：
解：
(1) (-x-y)(-x+y)
= (-x)2-y2
= x2-y2；
(2) (ab+8)(ab-8)
= (ab)2-82
= a2b2-64.
4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________；
(2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________；
(3)(2a＋b)________＝b2－4a2.
25m2－9n2　
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9x2－y2
(b－2a)
5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____．
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6
将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
平方差公式的几何验证
2
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
还有其他的几何方法解释吗？
a
b
a+b
a-b
a
a-b
b
a
a
b
b
a-b
算一算！
合作探究
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
典例精析
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－ a2b2 + a2b2
= a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2+6x
= 6x－25.
典例精析
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(2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)．
【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1.
7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　)
A．4ab＋4bc B．4ac
C．2ac D．4ab－4bc
【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A.
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A
8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　)
A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34
9. 若(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，则a＋b＝________.
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【点拨】因为(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，所以(2a＋2b)2－1＝15，所以4(a＋b)2＝16.所以(a＋b)2＝4.所以
a＋b＝2或a＋b＝－2.
2或－2
平方差公式
文字描述
几何验证
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
(a + b)(a－b) = a2－b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=-b