1.3 乘法公式（第2课时）-完全平方公式 课件（共28张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

(共28张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.3乘法公式（第2课时）完全平方公式第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 .
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
思考 计算下列各式:
(1) (m+3)2； (2) (2+3x)2.
知识点 完全平方公式
解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+6m+9；
(2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x)
=4+6x+6x+9x2
=4+12x+9x2.
对比结果和原式你有什么发现
知识点 完全平方公式
(m+3)2=m2+6m+9；
(2+3x)2=4+12x+9x2.
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍.
返回
C
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
知识要点
完全平方公式
例1 利用完全平方公式计算：
解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－ 2 (2x) 3 + 32
= 4x2－12x + 9；
(1) (2x－3)2；
典例精析
(2) (4x＋5y)2；
(2) (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 (4x) 5y＋(5y)2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2.
(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
练一练
完全平方公式的几何验证
2
问题：一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
(1) 四块实验田面积分别为：
， ，
， .
a
a
b
b
a2
ab
b2
ab
(2)两种形式表示实验田的总面积：
a
a
b
b
①从整体看：
边长为 的大正方形，
S大正方形＝ ；
(a+b)
(a+b)2
②从部分看：
四块面积的和S＝ .
a +2ab+b
2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　)
A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2
D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
C
返回
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
和的完全平方公式：
想一想
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
画一画
画一画：我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2 =a2－2ab + b2
a2
ab b(a b)
= a2 2ab + b2
=
(a b)2
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
差的完全平方公式：
a b
思考：怎样计算 1022，1972 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
解：原式 = (200－3)2
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
= 1002－2×100×2 + 22
= 2002－2×200×3 + 32
想一想
3. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(　　)
A．2xy＋y2 B．－2xy＋y2
C．2xy－y2 D．x2
返回
【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C.
C
例2 计算：
(1) (x + 3)2 – x2；
解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9.
还有其他的方法吗？
典例精析
(2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )；
解： 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3]
= (a + b)2 - 32
= a2 + 2ab + b2 - 9.
(3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3).
解： 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6
= 15x + 19.
(4) [( a + b) ( a - b)]2.
解： 原式 = ( a2 - b2 )2
= a4 - 2a2b2 + b4.
4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(　　)
A．2xy B．4xy C．－4xy D．－2xy
B
返回
5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．
返回
－3
返回
6. 若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可)
－2a(答案不唯一)
【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2－12ab＋9b2.
(3)(－4a－3b)2;
(4)(x－1)2－x2.
【解】(－4a－3b)2＝(－4a)2－2·(－4a)·3b＋(3b)2＝
16a2＋24ab＋9b2.
返回
(x－1)2－x2＝x2－2x＋1－x2＝－2x＋1.
8．已知(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9，求a2＋b2，ab的值．
返回
9. 已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是(　　)
A．6 B．－5 C．－3 D．4
返回
D
10．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)
A．3　　 B．4　　
C．5　　　 D．6
11．若x满足(x－2 026)(2 027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　)
A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25
返回
【点拨】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5.
B
完全平方公式
文字描述
几何验证
两个数的和(差)的平方，
等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
多项式乘多项式
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
符号表示
c=a，d=b