4.1.3三角形的中线、角平分线、高 课件（共45张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

(共45张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）4.1.3三角形的中线、角平分线、高第四章三角形授课教师：Home .班级：.时间：.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
F
AF BC
1. 下列图形中，的边 上的高线画
法正确的是( )
B
A. B. C. D.
活动1：每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.
如图所示.
合作探究
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.
议一议
（2）只能折出
其中一条高，画出如图：
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
E
钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
三角形的三条高所在的直线交于一点.
三角形的中线
点击视频观看→
观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？
2
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.
B
A
C
BE = EC
E
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
知识要点
活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系
三条中线，
相交于一点
合作探究
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
归纳总结：
重心
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差.
7
B
A
C
D
典例精析
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
三角形的角平分线
3
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↑
点击几何画板操作
观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，是边上两点，且，
平分 ，则下列说法中不正确的是
( )
C
A. 是的中线 B. 是 的角平分线
C. D. 是 的高
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
知识要点
（第3题）
3. 如图，在中， ， 是
的角平分线，点，， 在同一条
直线上，， ，则 的度
数为( )
C
A. B. C. D.
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系？
合作探究
B
A
C
（1）用量角器画最简便，用圆规也能.
（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
D
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
归纳总结
（第4题）
4.如图，已知点是 的重心，连接
，并延长交于点.若 的面
积为20，则 的面积为____.
10
【点拨】
因为是的重心，所以 是
的中线.所以 的面积等于
面积的一半.又因为 的面积
为20,所以 的面积为10.
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
典例精析
5.如图，已知是的中线，， ，且
的周长为12，则 的周长是____.
10
（第5题）
6.如图，在中， ，
，，垂足为，是 的
平分线，且交于点，交于点 .
（1）求，， 的度数；
【解】因为,,
所以, .因为
,所以
,解得
.所以 , .
（2）求 的度数.
因为是 的平分线，所以
.易知 ,所
以 .所以
.
7. 已知下列说法：①三角形的三条高交于一点；②三角形的
三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一
条高；④三角形的三条角平分线交于一点，其中正确的说法
的个数是( )
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
（第8题）
8. 如图，在中，， ，
垂足分别为，，与交于点 ，连接
并延长交于点.若， ，
，则 ( )
B
A. B.
C. D.
（第8题）
【点拨】因为，，与
交于点，所以 （三角形三条高所
在的直线交于一点）.所以
又因为，， ，所以
.所以
.故选B.
（第9题）
9. 如图，在中，为边 的中点，
连接，取的中点，连接 ，
，为的中点，连接.若 的
面积为，则 的面积为( )
A
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
（第10题）
10. 如图，点为的重心， ,若
,则 面积的最大值是( )
C
A. 2 B. 8 C. 4 D. 6
（第10题）
【点拨】因为点为的重心，所以 ,
是的中线，所以, ,
所以, ,即
,所以,
所以,所以 ,
所以.因为, 所以当时， 面
积有最大值.因为,所以 面积的最大值为
.故选C.
11.如图，,都是的高，过点作交 的
延长线于点,,,若 ,
,则 _ __.
（第11题）
【点拨】
如图，连接 .因为
,所以
,所以
,所以 .
,所以.因为 ，所以
.因为 ,所以
12.在中，，平分 .
（1）如图①，过点作 射线于点，则 与
有何大小关系？请说明理由；
【解】
.理由：在中，因为
射线，所以 ，所以 .因为
平分，所以 .所以
.又因为在 中，
，所以 .
（2）如图②，过点作于点，则， ，
又有怎样的数量关系，请直接写出结论；
.
（3）如图③，过点作于点，则 与
， 又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
.
13. 如图①,有一块三角形菜地，若从顶点
修一条笔直的小路交于点 ,小路正好将菜地分成面积相等
的两部分.
（1）画出 点的位置并说明理由.
【解】如图①,取的中点,点 即为所
求.理由：连接.因为为 的中点，
所以,所以与 等底
同高，所以 .
（2）假设在菜地中有一点,如图②所示，上是否存在点 ,
使折线将 分为面积相等的两部分.若存在，
请画出点 的位置，并说明理由.
存在.如图②,取的中点,连接, ,
,过点作,交于点,点 即
为所求.
理由如下：连接交于点 ,
由（1）知， .
因为,所以点到的距离与点到 的距离相等，
所以, 所以 ,
所以 .
三角形中
几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.