第二章 相交线与平行线【章末复习】 课件（共48张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

(共48张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）章末复习第二章相交线与平行线授课教师：Home .班级：.时间：.一、对顶角
两个角有_________，并且两边互为___________，具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角.
对顶角的性质：____________.
A
O
C
B
D
1
3
2
4
公共顶点
反向延长线
对顶角相等
返回
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，那么下列结论错误的是(　　)
A．∠AOC与∠BOD是对顶角
B．∠AOC与∠COE互为余角
C．∠BOD与∠COE互为余角
D．∠COE与∠AOD互为补角
D
2．由∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，得到∠2＝∠3的依据是(　　)
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
A
返回
3．有一个角的补角为117°，则这个角的余角是________．
返回
27°
二、垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______ 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫作______.
1. 垂线的定义
2. 经过直线上或直线外一点，_________一条直线与已知
直线垂直.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到
直线的距离.
3. 直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短.
有且只有
垂线段
长度
直角
垂线
垂足
同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
同位角 ∠1 与 ∠2
内错角 ∠3 与 ∠2
同旁内角 ∠4 与 ∠2
三、同位角、内错角、同旁内角
三线八角
a
b
c
1
2
4
3
四、平行线
1. 在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线.
3. 平行于同一条直线的两条直线______.
2. 经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.
4. 平行线的判定与性质：
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
不相交
有且只有
平行
例1 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点，
∠AOE = 65°，求∠DOF 的度数.
B
A
C
D
F
E
O
解：因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°.
考点一 利用对顶角、垂线的性质求角度
因为∠AOE = 65°，所以∠COE = 25°.
又因为∠COE =∠DOF (对顶角相等)，
所以∠DOF = 25°.
1. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF，∠DOE = 50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF 的度数．
解：因为 AB⊥OE (已知)，
针对训练
所以 ∠EOB = 90°(垂直的定义).
因为 ∠DOE = 50° (已知)，
所以 ∠DOB = 40°(互余的定义).
所以 ∠AOC = ∠DOB = 40° (对顶角相等).
E
F
A
B
D
C
O
又因为 OB 平分∠DOF，
E
F
A
B
D
C
O
所以 ∠BOF = ∠DOB = 40° (角平分线的定义).
所以 ∠EOF = ∠EOB + ∠BOF
= 90° + 40° = 130°.
所以 ∠COF = ∠COD -∠DOF
= 180° - 80° = 100°.
例2 如图，AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD = 4.8 cm，AC = 6 cm，BC = 8 cm，则
点 C 到 AB 的距离是____cm，
点 A 到 BC 的距离是____cm，
点 B 到 AC 的距离是____cm.
4.8
6
8
考点二 点到直线的距离
2. 如图所示，修一条路将 B 村庄与 A 村庄及公路 MN 连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
解：连接 AB，作 BC⊥MN，C 是垂足，
线段 AB 和 BC 就是符合题意的线路图．
因为从 A 到 B，线段 AB 最短，
从 B 到 MN，垂线段 BC 最短，所以 AB＋BC 最短．
针对训练
C
与点到直线的距离最短有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线.
作图的依据是“垂线段最短”．
方法总结
例3 (1) 如图所示，∠1 = 72°，∠2 = 72°，∠3 = 60°，求∠4 的度数.
解：因为 ∠1 = ∠2 = 72°，
考点三 平行线的性质和判定
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
所以 ∠3 + ∠4 = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
因为 ∠3 = 60°，所以 ∠4 = 120°.
证明：因为 ∠DAC = ∠ACB (已知)，
(2) 已知∠DAC = ∠ACB，∠D + ∠DFE = 180°，求证：EF∥BC.
所以 AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
因为 ∠D + ∠DFE = 180° (已知)，
所以 AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行).
所以 EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行).
3. 如图，已知 AB∥CD，∠1 = 30°，∠2 = 90°，则∠3 = °.
60
针对训练
4. 如图，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°，则∠D = ( )
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15°
D
针对训练
解：设∠1 的度数为 x°，则∠2 的度数为 x°，∠3 的度数为 8x°.
例4 如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1 = ∠2，
∠3∶∠1 = 8∶1，求∠4 的度数.
）
）
）
）
1
2
3
4
O
考点四 相交线中的方程思想
根据题意可得 x° + x° + 8x° = 180°，
解得 x = 18，即∠1 = ∠2 = 18°.
而∠4 = ∠1 + ∠2（对顶角相等），所以 ∠4 = 36°.
5.如图所示，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC∶
∠AOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.
A
B
C
D
O
针对训练
解：设∠AOC 的度数为 2x°，
则∠AOD 的度数为 3x°.
根据题意可得 2x° + 3x° = 180°，
解得 x = 36，即∠AOC = 72°.
而∠BOD = ∠AOC (对顶角相等)，所以 ∠BOD = 72°.
4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝125°，则∠EOC＝(　　)
A．55°
B．45°
C．35°
D．25°
C
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5．下列图形中，能用线段AD的长表示点A到线段BC的距离的是(　　)
返回
D
6．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是(　　)
A．3
B．2.5
C．2.4　
D．2
返回
【答案】C
7．如图，下列结论正确的是(　　)
A．∠4和∠5是同旁内角
B．∠3和∠2是对顶角
C．∠3和∠5是内错角
D．∠1和∠5是同位角
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【点拨】A.∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误；B.∠3和(∠1＋∠2)是对顶角，故本选项错误；C.∠3和∠5是内错角，故本选项正确；D.∠5和(∠1＋∠2)是同位角，故本选项错误．
【答案】C
8. (1)如图，请你找出汉字“土”中所有的同位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：∠1与∠5，∠2与∠6；内错角：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠6.
(2)写出你姓氏中所有的同位角、内错角、同旁内角．
略．
返回
9．在同一平面内，将直尺、直角三角尺(∠A＝30°)和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30°　
B．45°　
C．60°　
D．75°
返回
【点拨】因为AB∥CD，所以易知∠CDB＝60°.因为CD⊥DE，所以∠CDE＝90°.所以∠1＝180°－∠CDB－∠CDE＝30°.故选A.
【答案】A
10. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为(　　)
A．22°
B．32°
C．35°
D．122°
返回
B
11．如图，把一张长方形的纸条沿着AF所在的直线折叠，若∠C′AF＝35°，则∠DFD′的度数为________．
70°
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【点拨】由折叠的性质可知∠FAC＝∠C′AF＝35°，所以∠C′AC＝35°＋35°＝70°.
易知AC′∥BD′，所以∠FGC＝∠C′AC＝70°.
易知AC∥DF，所以∠DFD′＝∠FGC＝70°.
12．[2025武汉期中]如图，已知AB∥CD，点E为CD上一点，作∠BEF，连接AF，若∠ABE与∠BEF的平分线交于点G.下列结论：
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①②④
【点拨】①因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠BEC.
因为BG平分∠ABE，所以∠ABE＝2∠ABG，
所以∠BEC＝2∠ABG.故①正确；
②如图①，过F作FH∥CD，
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FH，
所以∠BAF＋∠AFH＝180°，∠DEF＝∠EFH，
所以∠AFH＝180°－∠BAF＝100°.
因为∠AFH＝∠AFE－∠EFH，
所以∠AFE－∠DEF＝100°.故②正确；
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13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°.
(1)求∠BAD的度数；
【解】因为AD∥BC，所以∠B＋∠BAD＝180°.
又因为∠B＝80°，所以∠BAD＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.试说明：AE∥DC.
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【解】因为AE平分∠BAD，∠BAD＝100°，
所以∠DAE＝50°.
因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠DAE＝50°.
因为∠BCD＝50°，所以∠AEB＝∠BCD.所以AE∥DC.
14．已知EF∥BC，BE∥CF，现将直角三角尺OAB(∠ABO＝45°)和直角三角尺OCD(∠OCD＝30°)按如图所示放置，直角顶点O重合，点A，D在EF上，若∠1＋∠2＝73°，∠3∶∠4＝5∶3，则∠DAB的度数为________．
115°
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【点拨】因为BE∥CF，所以∠CBE＋∠BCF＝180°，即∠1＋∠ABO＋∠3＋∠4＋∠OCD＋∠2＝180°.因为∠1＋∠2＝73°，∠ABO＝45°，∠OCD＝30°，所以∠3＋∠4＝32°.因为∠3∶∠4＝5∶3，所以设∠3＝5x°，则∠4＝3x°.所以5x°＋3x°＝32°，解得x＝4.所以∠3＝20°.所以∠ABC＝∠ABO＋∠3＝65°.因为EF∥BC，所以∠ABC＋∠DAB＝180°.所以∠DAB＝115°.
15．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向以每秒1°的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
(1)若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30秒时，PB′与QC′的位置关系为__________；
PB′⊥QC′
(2)若射线QC先旋转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′∥C′Q
【解】设当射线PB旋转的时间为t秒时，PB′∥C′Q.分情况讨论：①第一次平行(即0＜t≤45)时，如图①，
由题知∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°＋t°.
因为AB∥CD，PB′∥C′Q，
所以∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45＋t，解得t＝15；
②第二次平行(即45＜t≤90)时，如图②，由题知∠APB′＝4t°－180°，∠CQC′＝t°＋45°，因为AB∥CD，PB′∥C′Q，所以∠APB′＝∠PED＝180°－∠CQC′，即4t－180＝180－(45＋t)，解得t＝63；
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③第三次平行时(即90＜t≤135)，如图③，
则∠BPB′＝4t°－360°，∠CQC′＝t°＋45°.
因为AB∥CD，PB′∥C′Q，
所以易得∠BPB′＝∠CQC′，
即4t－360＝t＋45，解得t＝135.
综上所述，当射线PB旋转的时间
为15秒或63秒或135秒时，PB′∥C′Q.