第四章 三角形【章末复习】 课件（共47张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

(共47张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）章末复习第四章三角形授课教师：Home .班级：.时间：.一. 三角形的有关性质
1. 不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成
的图形叫做三角形. 以点 A，B，C 为顶点的三角形
记为 ，读作“三角形 ABC”.
顺次相接
△ABC
2. 三角形三个内角的和等于______°.
180
考点1 三角形及其内角和
（第1题）
1. [2025烟台] 如图是一款儿童小推车的示
意图，若， ， ，
则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分
按边分
三边各不相等的三角形
等腰三角形
5. 三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边；
三角形任意两边之差小于第三边.
3. 三角形的分类
4. 直角三角形的两个锐角互余.
等边三角形
（第2题）
2. 如图，当 时，该三角形的
形状是( )
B
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
6.三角形的三条角平分线交于一点；
三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二. 全等三角形
1. 全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3. 三角形的稳定性的依据：
SSS
2. 全等三角形的判定
ASA
SSS
SAS
AAS
3. 将两张三角形纸片按如图所示的方式摆放，
量得 ，则 ____.
例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11.
又因为第三边长为奇数,所以第三条线段应取 7 cm 或 9 cm.
知识点一 三角形的三边关系
1.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 4 ，则该三角形的周长是　　．
24
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
针对训练
例2 如图，CD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，
知识点二 三角形的内角和
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.
因为 CD 是∠ACB 的平分线，
所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
因为 DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°.
所以∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2. 在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠B－∠A =∠C－∠B，则∠B = °.
60
针对训练
解析：因为点 D 是 AC 的中点，所以 AD＝ AC，
例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，
则 S△ADF－S△BEF＝________．
知识点三 三角形的角平分线、中线、高
2
因为 S△ABC＝12，
所以 S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为 EC＝2BE，S△ABC＝12，
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
方法总结
所以 S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)
＝S△ADF－S△BEF，
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，
若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 °，∠FBC 的度数是 °.
4. 如图，在△ABC 中，两条角平分线
BD 和 CE 交于点 O，若∠BOC = 132°，
则∠A 的度数是 °.
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20
40
84
针对训练
例4 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
试说明：△ABC≌△DCB．
因为 ∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
解：
在△ABC 和△DCB 中，
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角及其夹边分别相等的两个三角形
全等”进行判定．
知识点四 全等三角形的判定与性质
例5 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F，
试说明：∠DEC = ∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲说明∠DEC = ∠FEC
由平行线的性质转化为说明∠DEC = ∠DCE
只需说明△DEG≌△DCG.
A
B
C
D
F
E
G
解：因为 CE⊥AD， 所以∠AGE =∠AGC = 90°.
在△AGE 和△AGC 中，
因为∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
所以△AGE≌△AGC(ASA).
所以 GE = GC.
在△DGE 和△DGC 中，
因为 EG = CG，
∠EGD = ∠CGD = 90°，
DG = DG，
所以△DGE ≌△DGC(SAS).
所以∠DEG =∠DCG.
因为 EF∥BC，
所以∠FEC =∠ECD.
所以∠DEC =∠FEC.
因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAG =∠CAG.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
5. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( )
A. AB = DE，AC = DF，BC = EF
B. ∠A =∠D，∠B =∠E，AC = DF
C. AB = DE，AC = DF， ∠A =∠D
D. AB = DE，BC = EF， ∠C =∠F
D
针对训练
方程思想
例6 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1 =∠2，∠3 =∠C，求∠1 的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1 = x，根据题意可得∠2 = x.
因为∠ADB = 180° -∠1 -∠2 = 180° - 2x，
∠3 +∠ADB = 180°，∠4 =∠2，
所以∠3 = 2x， ∠4 = x.
又因为∠3 =∠C，所以∠C = 2x.
在△ABC中，x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°. 所以∠1 = 36°.
知识点五 本章中的思想方法
在角的求值问题中，常常利用余角、补角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
方法总结
分类讨论思想
例7 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ，则三角形的周长是　　　　　．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，
所以要分两种情况讨论：
26 或 22
第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26；
第二种 10 为底，则 6 为腰，此时周长为 22.
考点2 三角形的三边关系
4. 四根木棒的长度分别为，，， ，现从
中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则这样的
取法共有( )
C
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
5.[2025宿迁] 等腰三角形的两边长分别为和 ，则该
等腰三角形的周长为____ .
10
6.将长度为（， 是自然数）的一根铅丝折成各边的
长均为整数的三角形，三边的长分别记为，， ，且满足
.
（1）就，6的情况，分别写出所有满足题意的 .
【解】当时，有， ；
当时，有，， .
（2）有人根据（1）中的情况，猜想到若铅丝的长度为
为自然数，且时，的个数一定为 ，这个
猜想正确吗？请你对 时的情况进行验证.
这个猜想不正确.
验证：当时，，且 ，
，所以，所以 ，9，10，11，
故可得 共12个，即
，，，， ，
，，，，， ，
.
因为 ，所以这个猜想不正确.
考点3 三角形的高、中线和角平分线
（第7题）
7. 如图，，，分别是 的
高、角平分线、中线，则下列各式中错
误的是( )
C
A. B.
C. D.
8.如图，在中， ，于点， 平
分, ，则 的度数为____.
（第8题）
考点4 全等三角形的性质与判定
9. 如图， ，且
,,是上两点， ，
,，，，则 的
长为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设与交于点，于点 .
因为，， ，所以
.又因
为，所以 .又因为
，所以.所以 ，
.所以 .所以
.
（第10题）
10. 如图，点,分别在线段,上,
与相交于点，已知 ，现添
加以下的哪个条件仍不能判定
( )
D
A. B.
C. D.
（第10题）
【点拨】选项A，当 ，
， 时，
，故此选项不符合
题意；选项B，当， ，
时， ，故
此选项不符合题意；选项C，由， ，得
，即 ,所以易得
，故此选项不符合题
意；选项D，当， ，
时，不能判定与 全等，
故此选项符合题意.故选D.
（第10题）
（第11题）
11. 如图，点，， 三点在同一直线上，
且,, .若
，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
（第11题）
【点拨】在和中，
所以 ，所以
， .因为
，
，所以 .
因为 ，所以 ，所以
.
12. 如图，在四边形
中， ，
，
， 的两边分别交
，于点，.探究图中线段 ，
， 之间的数量关系.
【解】如图，延长到点，使，连接 .
因为 , ,
所以 .
又因为, ,
所以 .
所以, .
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
又因为,所以 .
所以.所以 .
思想1 数形结合思想
13.如图，在中，是 上的一点，
，点是的中点，设 ，
，的面积分别为 ，
，，且 ，则
___.
2
【点拨】由是的中点且，可得 ；
同理，即，可得 ，所以
.
思想2 方程思想
14.已知等腰三角形的周长是 .
（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；
【解】设底边长为，则腰长为 ，
根据题意，得，解得 ,
所以腰长 .
（2）已知其中一边长为 ，求其他两边长.
因为长为 的边可能是腰，也可能是底边，所以要分两种
情况计算.
当长为的边为腰时，则底边长为 .
因为 ，两边之和等于第三边，所以腰长为
时不能组成三角形，舍去.
当长为的边为底边时，则腰长为 .
因为，， 可以组成三角形，
所以三角形其他两边长都为 .
对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定腰或底
边时，应注意分情况讨论，先确定已知边长是腰还是底边，
再结合三角形的三边关系对结果进行验证.
. .
. .
思想3 分类讨论思想
15.如图，中， ，
，.点从点 出发沿
路径向终点运动；点 从点
出发沿路径向终点 运动.点
和 分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度
同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在
某时刻，分别过和作于，于.问：点 运动
多少时间时，与 全等？
【解】
设运动时间为秒.由题意易得当
与 全等时，
斜边 .
有三种情况：①点在上，点在 上，
此时， ，
所以.所以 ；
②点，都在上，易知此时点，
重合，, ,
所以.所以 ;
③点在上，点在上.因为点 运
动到点需要 （秒），
点运动到点，需要 （秒）.
,所以点在上时，点与点
重合.
故此时， .
所以 .
所以 .
综上，点 运动1秒或3.5秒或12秒时，
与 全等.