第一章 整式的乘除【章末复习】 课件（共40张PPT）--2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）
章末复习
第一章 整式的乘除
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整式的乘法
整式的除法
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式
多项式乘以多项式 (平方差公式，完全平方公式)
同底数幂的除法(零指数幂，负整数指数幂，科学记数法)
单项式除以单项式
多项式除以单项式
整式的乘除
一、幂的运算
(一)同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
am·an＝am＋n (m，n都是正整数).
注：(1) 底数必须相同；
(2) 适用于两个或两个以上的同底数幂相乘；
(3) 逆运用常考am＋n= am·an.
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1．[2025苏州]下列运算正确的是(　　)
A．a·a3＝a3　 B．a6÷a2＝a3　
C．(ab)2＝a2b2 D．(a3)2＝a5
C
(二)幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即
(am)n＝amn(m，n都是正整数).
(三)积的乘方
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
(ab)n＝anbn(n是正整数).
一、幂的运算
(四)同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减.即
am÷an＝am-n (a≠0，m，n都是正整数，m＞n).
注：(1)底数必须相同；
(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除；
(3)逆运用常考am-n= am÷an.
一、幂的运算
1.零指数幂
任何不等于0的数的零次幂都等于1. a0＝1 （a≠0）
2.负整数指数幂.
（a≠0，p是正整数）.
a-p=1ap
?
(四)零指数幂、负整数指数幂
任何不等于0的数的 -p(p 是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的倒数.
a×10-n（其中1≤|a|＜10，n是整数）
一般地，一个绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为
(2) n等于从左起第一个非零数前零的个数.
注意: (1) 1≤|a|＜10 ；
(五)科学记数法
2．[2025威海]据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为(　　)
A．4×10－10秒 B．4×10－11秒
C．4×10－12秒 D．40×10－12秒
A
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二、整式的乘法
（2）单项式乘以单项式
①系数相乘；
②同底数幂分别相乘；
③只在一个单项式中现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
即：单×单＝(系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂)
注意：①注意符号；
②运算顺序 ；
③防止遗漏.
二、整式的乘法.
（二）单项式乘以多项式
根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
m(a+b+c)= ma+mb+mc (m，a，b，c都是单项式).
二、整式的乘法.
3．已知3m＝2，3n＝4，则3m＋n＝________.
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（三）多项式乘以多项式
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式).
二、整式的乘法.
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(一)平方差公式
特点：左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(a+b)(a-b)=a2-b2.
注意：公式中的a和b，既可以是数、单项式或多项式.
三、整式的乘法公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a -b)2= a2 - 2ab+b2
(二)完全平方公式
注：公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式.
三、整式的乘法公式
利用完全平方公式变形求值的方法
若已知a+b，a-b，ab，a2+b2中的任意两个，则可利用完全平方公式求出其余两个.常见变形如下:
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab=12[(a+b)2+(a-b)2]；
(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，4ab=(a+b)2-(a-b) 2；
(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2)=(a2+b2)-(a-b)2.
?
四、整式的除法.
（一）单项式除以单项式：
①系数相除
②同底数幂分别相除
③对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
a + b+c.（a ， b，c，m都是整式）
=
(am +bm+cm) ÷m
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
（二）多项式除单项式法
注意：两项相除时，先定符号.
四、整式的除法.
4. 已知2x－5y－4＝0，则4x÷32y的值为________．
16
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5．计算：
(1)a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2；
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【解】a3·a4·a＋(a2)4＋(－2a4)2＝a8＋a8＋4a8＝6a8.
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C
7．若(x－3)(x－5)＝x2＋mx＋15，则m的值为(　　)
A．5　 B．2　 C．－8　 D．－2
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C
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C
9．已知a2－3a＋1＝0，则代数式(a＋1)(2a－8)的值为________．
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－10
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11．已知代数式(ax－3)(2x＋4)－x2－b化简后不含x2项和常数项，求ab的值．
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12．[2025内江]下列计算正确的是(　　)
A．x2·x4＝x8 B．(x－y)2＝x2－y2
C．x＋2x2＝3x2 D．(x＋2)(x－2)＝x2－4
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D
13．已知m＋n＝5，mn＝3，则m2－mn＋n2的值为(　　)
A．16 B．22 C．28 D．36
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A
14．计算：
(1)(2x－y)2－(x－y)(x＋2y)；
?
?
(2)(a－2)(a＋2)(a2＋4)(a4＋16)；
【解】原式＝4x2－4xy＋y2－x2－2xy＋xy＋2y2＝3x2－5xy＋3y2.
原式＝(a2－4)(a2＋4)(a4＋16)＝
(a4－16)(a4＋16)＝a8－256.
(3)(x＋2y－z)(x－2y－z)－(x＋y－z)2.
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【解】原式＝[(x－z)＋2y][(x－z)－2y]－[(x－z)＋y]2
＝(x－z)2－4y2－(x－z)2－2(x－z)y－y2
＝－5y2－2xy＋2yz.
【解】原式＝[(x－z)＋2y][(x－z)－2y]－[(x－z)＋y]2
＝(x－z)2－4y2－(x－z)2－2(x－z)y－y2
＝－5y2－2xy＋2yz.
15．观察下列各式：
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；
(x5－1)÷(x－1)＝x4＋x3＋x2＋x＋1；…
根据上面的规律计算：1＋2＋22＋…＋262＋263＝________．
264－1
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【点拨】根据题意可得1＋x＋x2＋x3＋…＋xn＝
(xn＋1－1)÷(x－1)，所以1＋2＋22＋…＋262＋263＝
(263＋1－1)÷(2－1)＝264－1.
16. 如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了(a＋b)n(n为正整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律．
(1)(a＋b)9的展开式中所有项的系数和是________；
【点拨】由题意得，a＋b共2项，所有项的系数和为1＋1＝2＝21；(a＋b)2的展开式中共3项，所有项的系数和为1＋2＋1＝4＝22；(a＋b)3的展开式中共4项，所有项的系数和为1＋3＋3＋1＝8＝23；…；(a＋b)n的展开式中共(n＋1)项，所有项的系数和为2n，所以(a＋b)9的展开式中共10项，所有项的系数和为29＝512.
512
(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期________．
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【点拨】814＝(1＋7)14＝714＋a·713×1＋b·712×12＋…＋m·7×113＋114(其中a，b，…，m是一列常数)，因为714＋a·713×1＋b·712×12＋…＋m·7×113刚好能被7整除，所以814＝(1＋7)14＝714＋a·713×1＋b·712×12＋…＋m·7×113＋114除以7的余数刚好为1，所以再过814天是星期四．
四
17．先化简，再求值：(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2－(2m)3÷8m，其中m满足m2＋m－6＝0.
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【解】(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2－(2m)3÷8m＝4m2－1－(m2－2m＋1)－m2＝4m2－1－m2＋2m－1－m2＝2m2＋2m－2.因为m2＋m－6＝0，所以m2＋m＝6.
所以原式＝2(m2＋m)－2＝2×6－2＝10.
18．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图①，可得到等式：(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
(1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a＋b＋c的大正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
【解】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋
c2＋2ab＋2bc＋2ac.
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝10，ab＋bc＋ac＝30，求a2＋b2＋c2的值．
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【解】因为a＋b＋c＝10，ab＋bc＋ac＝30，所以a2＋
b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝100－60＝40.