1.1 幂的乘除 拔尖训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.1 幂的乘除 拔尖训练
【拔尖点1】同底数幂的乘法
1．已知10α＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式：____________.
2．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个，29个，5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x＋2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x＋y的值为(　　)
A．128 B．64 C．32 D．16
3．阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a·a·a·…·a·a，记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫作以2为底的8的对数，记为log28(即log28＝3)．
(1)计算：log39＝________；log381＝________；log3729＝________．
(2)写出log39，log381，log3729之间的关系式：______________________．
(3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM＋logaN＝__________(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
(4)根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝3，求loga4和loga8的值(a＞0且a≠1)．
【拔尖点2】幂的乘方与积的乘方
4．已知，那么值为（　　）
A．1　 B．2　 C．－1　 D．3
5．已知a＝222，b＝311，c＝129，甲、乙、丙的判断如下：甲：a>b；乙：ab>c；丙：bA．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙
6．(1)计算：×＝ ；
(2)若3x＋1·2x＋1＝62x＋4，则x＝ ．
7．小明是一名刻苦学习、善于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：x2＝－1，这个方程利用现有知识无法求解，如果存在一个数i，使i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变成x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝(i2)3＝(－1)3＝－1，i7＝i6·i＝－i，i8＝(i4)2＝1，….
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n＋1＝________，i4n＋2＝________，i4n＋3＝________，i4n＋4＝________(n为自然数)．
8．已知x5m＝10，求代数式(－2x5m)5－(x4)5m＋10的值．
9．幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如：若am·an＝am＋n，则am＋n＝am·an(m，n为正整数)．请运用所学知识解答下列问题：
(1)计算：33×＝________；
(2)已知am＝2，an＝5(m，n为正整数)，则a2m＋n＝________；
(3)已知m个(x－y)相乘的结果为a2，n个(x－y)相乘的结果为a3，若(3m＋2n)个(x－y)相乘的结果为64，求a4的值．
10．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的运算之一，用式子表示为：(am)n＝amn(m，n为正整数)．幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：amn＝(am)n＝(an)m(m，n为正整数)，逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．
如x6＝(x2)3＝(x3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析，例如，判断3299的末位数字，我们可以采用如下方法：
解：3299的末位数字等于299的末位数字．
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，16n(n为正整数)的末位数字均为6，
所以299＝24×24×23＝(24)24×8＝1624×8的末位数字是6×8的末位数字，即为8.所以3299的末位数字为8.
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出338的末位数字；
(2)判断202 026＋992 026的末位数字．
【拔尖点3】同底数幂的除法
11．如果a＝(－99)0，b＝(－0.1)－1，c＝(－)－2，那么a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c　 B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
12．计算x5m＋3n＋1÷(xn)2·(－xm)2的结果是(　　)
A．－x7m＋n＋1 B．x7m＋n＋1 C．x7m－n＋1 D．x3m＋n＋1
13．若am＝20，bn＝20，ab＝20，求的值．
14．如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n.
例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2.
(1)[－3，81]＝________；若[2，y]＝6，则y＝________；
(2)已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a－b＝c，求m的值；
(3)若[4，28]＝x，[7，28]＝y.
①求的值；
②令t＝，求t的值．
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参考答案
【拔尖点1】同底数幂的乘法
1．已知10α＝3，10β＝5，10γ＝7，试把105写成底数是10的幂的形式：____________.
【答案】10α＋β＋γ
2．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个，29个，5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x＋2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x＋y的值为(　　)
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【解析】由题意可知，调整后三只袋中的球数：甲袋：(29－2x＋2y)个，乙袋：29＋2x－(2x＋2y)＝(29－2y)个，丙袋：5＋(2x＋2y)－2y＝(5＋2x)个．因为一共有29＋29＋5＝63(个)球，且调整后三只袋中球的个数相同，所以调整后每只袋中的球数为63÷3＝21(个)，所以5＋2x＝21，29－2y＝21，所以2x＝16，2y＝8，所以2x＋y＝2x·2y＝16×8＝128，故选A.
3．阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘：a·a·a·…·a·a，记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫作以2为底的8的对数，记为log28(即log28＝3)．
(1)计算：log39＝________；log381＝________；log3729＝________．
【答案】2 4 6
【解析】因为32＝9，34＝81，36＝729，所以log39＝2，log381＝4，log3729＝6.
(2)写出log39，log381，log3729之间的关系式：______________________．
【答案】log39＋log381＝log3729
(3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM＋logaN＝__________(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
【答案】logaMN
(4)根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝3，求loga4和loga8的值(a＞0且a≠1)．
因为loga2＝3，所以loga4＝loga2＋loga2＝3＋3＝6.
所以loga8＝loga2＋loga4＝3＋6＝9.
【拔尖点2】幂的乘方与积的乘方
4．已知，那么值为（　　）
A．1　 B．2　 C．－1　 D．3
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，，即，，
∴，即，
∴，
∴，故选：A．
5．已知a＝222，b＝311，c＝129，甲、乙、丙的判断如下：甲：a>b；乙：ab>c；丙：bA．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙
【答案】D
【解析】将a＝222变形为a＝411，根据411>311，即可判断甲正确；根据ab＝411×311＝(3×4)11＝1211>129，即可判断乙正确；根据b＝311＝32×39＝9×39，c＝129＝(3×4)9＝49×39>9×39，即可判断丙正确．
6．(1)计算：×＝ ；
(2)若3x＋1·2x＋1＝62x＋4，则x＝ ．
【答案】1 －3
7．小明是一名刻苦学习、善于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法：x2＝－1，这个方程利用现有知识无法求解，如果存在一个数i，使i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变成x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝(i2)3＝(－1)3＝－1，i7＝i6·i＝－i，i8＝(i4)2＝1，….
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n＋1＝________，i4n＋2＝________，i4n＋3＝________，i4n＋4＝________(n为自然数)．
【答案】i －1 －i 1
8．已知x5m＝10，求代数式(－2x5m)5－(x4)5m＋10的值．
解：因为x5m＝10，
所以(－2x5m)5－(x4)5m＋10
＝(－2×10)5－(x5m)4＋10
＝－3.2×106－×104＋10
＝－3.2×106－10＋10＝－3.2×106.
9．幂的运算性质在一定的条件下具有可逆性，如：若am·an＝am＋n，则am＋n＝am·an(m，n为正整数)．请运用所学知识解答下列问题：
(1)计算：33×＝________；
【答案】3
(2)已知am＝2，an＝5(m，n为正整数)，则a2m＋n＝________；
【答案】20
(3)已知m个(x－y)相乘的结果为a2，n个(x－y)相乘的结果为a3，若(3m＋2n)个(x－y)相乘的结果为64，求a4的值．
解：由已知可知(x－y)m＝a2，(x－y)n＝a3，所以(x－y)3m＋2n＝(x－y)3m×(x－y)2n＝(a2)3×(a3)2＝a6×a6＝a12＝(a4)3，所以(a4)3＝64＝43，所以a4＝4.
10．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的运算之一，用式子表示为：(am)n＝amn(m，n为正整数)．幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：amn＝(am)n＝(an)m(m，n为正整数)，逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．
如x6＝(x2)3＝(x3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析，例如，判断3299的末位数字，我们可以采用如下方法：
解：3299的末位数字等于299的末位数字．
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，16n(n为正整数)的末位数字均为6，
所以299＝24×24×23＝(24)24×8＝1624×8的末位数字是6×8的末位数字，即为8.所以3299的末位数字为8.
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出338的末位数字；
解：因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，81n(n为正整数)的末位数字均为1，所以338＝34×9×32＝(34)9×9＝819×9 的末位数字是1×9的末位数字，即为9.
(2)判断202 026＋992 026的末位数字．
解：因为992 026＝(9×11)2 026＝92 026×112 026，而112 026的末位数字是1，所以992 026的末位数字等于92 026的末位数字．因为91＝9，92＝81，81n(n为正整数)的末位数字均为1，所以92 026＝(92)1 013＝811 013的末位数字为1.
因为202 026的末位数字为0，所以202 026＋992 026的末位数字为0＋1＝1.
【拔尖点3】同底数幂的除法
11．如果a＝(－99)0，b＝(－0.1)－1，c＝(－)－2，那么a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c　 B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【答案】B
12．计算x5m＋3n＋1÷(xn)2·(－xm)2的结果是(　　)
A．－x7m＋n＋1 B．x7m＋n＋1 C．x7m－n＋1 D．x3m＋n＋1
【答案】B
13．若am＝20，bn＝20，ab＝20，求的值．
解：因为ab＝20，所以(ab)n＝20n，即anbn＝20n.
又因为bn＝20，所以an·20＝20n.所以an＝20n－1.
又因为am＝20，所以am＋n＝am·an＝20×20n－1＝20n，
amn＝(am)n＝20n.所以am＋n＝amn.所以m＋n＝mn.
所以＝＝1.
14．如果xn＝y，那么我们规定[x，y]＝n.
例如：因为32＝9，所以[3，9]＝2.
(1)[－3，81]＝________；若[2，y]＝6，则y＝________；
【答案】4 64
(2)已知[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，若a－b＝c，求m的值；
解：因为[3，60]＝a，[3，4]＝b，[3，m]＝c，
所以3a＝60，3b＝4，3c＝m.所以3a－b＝3a÷3b＝60÷4＝15.
因为a－b＝c，所以3c＝15.所以m＝15.
(3)若[4，28]＝x，[7，28]＝y.
①求的值；
解：因为[4，28]＝x，[7，28]＝y，
所以4x＝7y＝28.
＝＝＝＝.
②令t＝，求t的值．
解：因为28x＋y＝28x×28y＝(7y)x×(4x)y＝7xy×4xy＝(7×4)xy＝28xy，
所以x＋y＝xy.所以t＝＝＝.
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