广东省东莞市东华高级中学2025-2026学年上学期高一1月月考数学试卷（含答案）

东华高级中学2025-2026学年上学期高一1月月考数学试卷
本试卷共19题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项是正确的。
1．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
2.函数零点所在的大致区间为，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（ ）
A． B．2
C．1 D．
4.设函数，则在上的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数（其中），若f（x）的图象如右图所示，则函数的图象大致为（ ）
6．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：%），经过小时后，剩余电量（单位：%）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量50%衰减到25%用时4小时，设初始电量为50%，若用户希望剩余电量不低于10%，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ）（参考数据：，）
A．7 B．8 C．9 D．10
7. 已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 函数与的图像关于直线对称，则
C. 函数（且）的图象恒过定点
D. 若，则的最小值为4
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于原点对称
D. 若，则
11.已知函数，若关于的方程有4个不等的实数根，分别记为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数有8个零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12. 已知一个面积为的扇形的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为
13.若正实数，满足，则的最小值是
14.设函数定义在上，，，且当时，。
若，则，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知全集，不等式的解集是，，。
（1）计算；
（2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围。
16.（15分）求下列各式的值：
（1）。
（2）设，求的值。
（3）已知，求的值。
17.（15分）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点。
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）记点的横坐标为，若，求的值。
18.（17分）已知函数满足，函数。
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）试判断是否存在实数，使得函数，满足对于任意的，，当时，都有，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由。
19.（17分）函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心。
（1）求、；
（2）当时，设的最大值为，求的值域；
（3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线。试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由。
2025-2026学年第一学期学习效率检测（三）
高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D D A C C C BC ACD ABD
12.
13.9
14. ，
15. 解：（1）由，且，则，…………………………2分
由，等价于，则， …………………………………………4分
所以. ………………………………………………………………5分
（2）由题意可得，且，为方程的两个解，
则，，化简可得，， …………………………………………7分
所以不等式等价于，
化简可得，解得，所以，………………………………………9分
因为，且，所以，则，…………………10分
因为“”是“”的充分条件，所以是的子集， …………………………………………11分
则， …………………………………………………………………………12分
解得或 .
所以，的取值范围是……………………………………………………………………13分
16. 解：（1）
.………………………………………………………………………………
（2）由3x=4y=36，可得x=log336，y=log436， 7分
则1x=log363，1y=log364， 8分
所以2x+1y=2log363+log364=log369+log364=log3636=1 10分
（3），
，，
∴a+a-1=3， 12分
，，
∴a2+a-2=7， 14分
∴a2+a-2+3a+a-1=7+33=103 15分
17.解：（1） 由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，
可得cosα=32，所以m=sinα=1-cos2α=1-322=12 4分
（2）由3sin(π-α)+5cos(2π-α)2sin3π2-α-3cosα-π2=3sinα+5cosα-2cosα-3sinα=3×12+5×32-2×32-3×12=-2 8分
（3）因为α为锐角，且cosα=32，可得α=π6， 9分
将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，
则点B的横坐标为f(θ)且f(θ)=-13，所以f(θ)=cosθ+π6=-13， 10分
故sinθ+π6=±1-cos2θ+π6=±223， 11分
则sinθ-π3-cosθ+π3=sinθ+π6-π2-cosθ+π6+π2=-cosθ+π6+sinθ+π6 14分
=1±223 15分
18.解：（1） ，，
，
∴3f(x)=3x2-6x+3，∴f(x)=x2-2x+1 5分
（2）g(x)=f(x)x=x+1x-2 6分
g(log2x)-mlog2x=(1-m)log2x+1log2x-2≥0， 7分
令，，，
∴(1-m)t+1t-2≥0，∴(1-m)t2-2t+1≥0，∴m≤1-2t+1t2=1t-12， 9分
∵t∈[1,3]，∴1t∈13,1，∴ymin=0，∴m≤0。 10分
（3）函数为分段函数，
由函数定义域知，当n<0时，函数h(x)在x=0处无定义，则n≥0， 11分
令函数φ(x)=h(x) 2x={x2 4x+1,x≤n1x x 2,x>n 12分
对于任意的，，当时，都有，
不妨设，则，即，因此函数在上单调递减，......14分
则{n≥0n≤2n2 4n+1≥1n n 2，解得1≤n≤2， 16分
所以，存在实数n满足条件，n∈[1,2] 17分
19.解：（1）函数f(x)的最小正周期为π，则2πω=π，∴ω=2， 2分
∵π3,0为该函数的一个对称中心，则fπ3=0，即sin2π3+φ=0， 3分
又|φ|<π2，∴φ=π3， 4分
，
（2）由（1）知f(x)=sin2x+π3， 5分
的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
，可分下列两种情况讨论：
①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，则的最大值为1，
当fθ+π6=f(θ)，即f(0)=fπ6=32时，此时F(θ)取最小值为1-32 7分
②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，
则且，，即，。
在两端点处取得最大值与最小值，则，
此时2θ=π2+kπ即θ=π4+kπ2,k∈Z时，F(θ)取最大值为1。 9分
即F(θ)的值域为1-32,1。 10分
（3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，
得到g(x)=sinx， 11分
当时，，，可以作为三边长，
将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数。
先证明：，
由题意可知，，，，
，
，
故g(m)+g(m+n)>g(n)， 14分
同理，
又g(m)+g(n)=sinm+sinn>sinmcosn+sinncosm=g(m+n) 16分
综上g(m)，g(n)，g(m+n)能作为 ABC三边长。 17分