参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B. 2. D. 3. D. 4. A 5. A. 6. B. 7. B 8. A.
二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AB．
10. AD.
11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. .
13. .
14.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤.
15. （1）在等差数列中，由，得，则，
解得，而，因此数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）依题意，，
则，
所以
.
16. （1）因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2.
所以，解得，
所以的方程为.
（2）由题知，且直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立方程，消得，
，
所以，，
设到的距离为，则，
，
所以，解得，
所以直线的方程为或.
17. （1）连接，因为，，可得点E是的中点，
又因为M是的中点，所以，
又面，面，
所以面.
（2）因为正方形，所以，且平面，
以为原点，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得， ..
因为，所以，
则，
设平面的法向量为，
则，令，
可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的正弦值为，所以，
可得，所以或．
18. （1）因为，所以，
即，
所以数列为等差数列，故，.
（2）由（1）可得，
由，可得，
当时，，
当时，，
综上，
19. （1）设，椭圆的半焦距为，则，，
，当且仅当，即点为椭圆短轴端点时取等号，
而当时，面积取得最大值，则，，
因此，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）由消去并整理得，
由，得，设，
则，显然同号，则，
由，得，
由，得，则，设，
于是，解得，
由点在点之间，得，则，
所以的取值范围.
（ii）由（i）知，
由，得，
由，得，点，
而点在椭圆上，因此，解得，满足题意，
所以.2025—2026学年度上学期2024级
1月月考数学试卷
命题人： 审题人：
考试时间：2026年1月15日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. 已知等差数列中，，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 和 前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆的左 右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A. 的周长为
B. 存在点，使得
C. 若，则的面积为
D. 使得为等腰三角形的点共有4个
10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为
11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与直线平行，则_____.
13. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____．
14. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是________．
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2.
（1）求方程；
（2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程.
17. 在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足．
（1）当时，求证平面
（2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求证: ，并求数列的通项公式；
（2）求数列前项和；
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．
（i）求取值范围；
（ii）若为椭圆上一点，且，求的值．
