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同步探究学案
课题 数学活动 个位数字是5的两位数平方的规律与利用因式分解生成密码 单元 第十七章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历观察、归纳、证明个位为5的两位数平方规律的过程，掌握其一般结论并能灵活应用，提升逻辑推理与代数运算能力． 2．能运用因式分解解决密码生成问题，体会因式分解的实际应用价值，增强数学应用意识与创新思维．
重点 探索并证明个位为5的两位数平方的规律，能运用因式分解进行密码的生成与破解．
难点 从具体运算实例中提炼出一般数学规律并完成严谨的代数证明，理解因式分解在密码生成中的逻辑关联．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：这些个位为5的两位数平方结果有什么共同特点？你能快速算出452的结果吗？ 152=225， 252=625， 352=1225，
新知探究 本节课来研究： 本节我们探究个位数字是5的两位数平方的规律，并且借助因式解解研究密码的生成。 活动1：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： 15×15=225=1×2×100+25, 25×25=625=2×3×100+25, 35×35=1225=3×4×100+25, …… 问题1：你能写出一般的规律吗？ 归纳：个位为5的两位数平方的规律 设两位数为10n+5（n为十位上的数字，即1~9的整数） 则：(10n+5)2=______________ 问题2：你能用所学知识证明你的结论吗？ 活动2：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取=15，=12，则有=12，=17，=13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）已知多项式，当取=10，=5时，用上述方法生成的密码是什么？ （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 2．“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则 ． 3．请根据个位为5的两位数平方的规律计算852和952的值． 选做题： 4．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（ ）个 ①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125； ②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903； ③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715； ④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1． A．1 B．2 C．3 D．4 【综合拓展类练习】 5．【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 2．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ； （2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是 ． 3．已知一个个位为5的两位数的平方是5625，请求出这个两位数？ 选做题： 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积的计算有规律．例如：53×57＝3021；38×32＝1216；84×86＝7224；71×79＝5609． (1)请利用上述算式中的规律计算：63×67＝________； (2)请你用所学知识解释这个规律； (3)小乐进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两位数的积的计算会不会也有规律呢？如果有，请你尝试探索找出规律，并用所学知识解释；如果没有，请说明理由．
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第十七章 因式分解
数学活动 个位数字是5的两位数平方的规律与利用因式分解生成密码
1．经历观察、归纳、证明个位为5的两位数平方规律的过程，掌握其一般结论并能灵活应用，提升逻辑推理与代数运算能力．
2．能运用因式分解解决密码生成问题，体会因式分解的实际应用价值，增强数学应用意识与创新思维．
152=225，
252=625，
352=1225，
这些个位为5的两位数平方结果有什么共同特点？你能快速算出452的结果吗？
今天，我们就一起揭开这个规律的神秘面纱，还会用因式分解来玩一个“密码生成”的小游戏，让我们一起开启今天的数学探索之旅吧！
活动1：个位数字是5的两位数平方的规律
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=225=1×2×100+25,
25×25=625=2×3×100+25,
35×35=1225=3×4×100+25,
……
计算结果均以25为结尾！
结果的前两位都是十位数与十位数加1的乘积！
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
个位为5的两位数平方的规律
设两位数为10n+5（n为十位上的数字，即1~9的整数）
则：
(10n+5)2=n(n+1)×100+25
证明：
展开表达式：
(10n+5)2=(10n)2+2×10n×5+52=100n2+100n+25
提取公因式：
100n2+100n+25=100n(n+1)+25
这正是前面归纳的规律：
十位之前的数为n(n+1)，后两位固定为25.
活动2：利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取=15，=12，则有=12，=17，=13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．
（1）已知多项式，当取=10，=5时，用上述方法生成的密码是什么？
解：分解多项式：16p4-q4=(4p2+q2)(4p2-q2)=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q)
代入 p=10，q=5：4p2+q2=4·(10)2+52=425
2p+q=2·(10)+5=25
2p-q=2·(10)-5=15
排序因式码：15，25，425 密码为1525425.
（2）已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？
解：∵由问题（1）可知16p4-q4=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q)
∴可列方程组，
解得p=5，q=5，
∴将p=5，q=5代入4p2+q2=4·52+52=125，
因此第三个因式码是125.
（3）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码．
【知识技能类练习】必做题：
1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ）
A．111525 B．151025 C．101525 D．1215
C
【知识技能类练习】必做题：
2．“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则 ．
2
【知识技能类练习】必做题：
3．请根据个位为5的两位数平方的规律计算852和952的值．
解：根据个位为5的两位数平方规律：(10n+5)2=100n(n+1)+25
∴852 =100×8×(8+1)+25=100×8×9+25=7200+25=7225
952 =100×9×(9+1)+25=100×9×10+25=9000+25=9025
【知识技能类练习】选做题：
4．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（ ）个
①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125；②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903；③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715；④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【综合拓展类练习】
5．【观察思考】
观察下列各式．
；
；
；
…
【规律发现】
请根据你发现的规律解答下列各题：
（1）①________；
②________；（其中为正整数）
【规律应用】
（2）分解因式：____________________________________；
【综合拓展类练习】
（3）计算：．
解：（3）令，
原式
数学活动
利用因式分解生成密码
个位数字是5的两位数平方的规律
【知识技能类作业】必做题：
1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
B
【知识技能类作业】必做题：
2．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418．
（1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ；
（2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是 ．
1014148
106
【知识技能类作业】必做题：
3．已知一个个位为5的两位数的平方是5625，请求出这个两位数？
解：设这个两位数的十位数字为n，则该数为10n+5，根据规律得
(10n+5)2=100n(n+1)+25=5625
即：100n(n+1)+25=5625
化简得，n(n+1)=56
∵7×8=56，∴n=7，
∴这个两位数是10n+5=10×7+5=75．
【知识技能类作业】选做题：
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A． B． C． D．
C
【综合拓展类作业】
5．在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积的计算有规律．例如：53×57＝3021；38×32＝1216；84×86＝7224；71×79＝5609．
(1)请利用上述算式中的规律计算：63×67＝________；
(2)请你用所学知识解释这个规律；
(3)小乐进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两位数的积的计算会不会也有规律呢？如果有，请你尝试探索找出规律，并用所学知识解释；如果没有，请说明理由．
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【综合拓展类作业】
解：（2）将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，
∴两个两位数分别表示为（10a+b）、（10a+d）
∴他们乘积=（10a+b）（10a+d）=100a2+10a（b+d）+bd，
∵b+d=10，
∴原式=100a2+100a+bd
=100a（a+1）+bd；
（3）规律：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．
【综合拓展类作业】
理由：设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，且p+q=10，
∴两个两位数分别表示为（10p+m）、（10q+m）
∴他们乘积=（10p+m）（10q+m）
=100pq+10pm+10qm+m2
=100pq+10m（p+q）+m2
=100pq+100m+m2
=100（pq+m）+m2，
即：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第七课时《数学活动 个位数字是5的两位数平方的规律与利用因式分解生成密码》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第17章因式分解的拓展活动课，既是对整式乘法与因式分解核心知识的综合应用，也为后续学习二次根式、一元二次方程等内容奠定基础．活动1从个位为5的两位数平方规律切入，引导学生经历“观察—归纳—证明”的思维过程，深化对整式运算的理解；活动2以因式分解生成密码为载体，让学生体会数学的实用性与创新性，感受数学与现实生活的紧密联系．这两个数学活动不仅能提升学生的逻辑推理与运算能力，更能激发学生对代数知识的探索兴趣，培养其用数学解决实际问题的意识．
学习者分析 学生已掌握整式乘法、因式分解的基本方法，具备一定的观察、归纳和简单推理能力，但对知识的综合应用和数学建模能力仍有待提升．他们对规律探索和实际应用类活动兴趣较高，但在从具体实例中提炼一般规律、严谨证明结论，以及将因式分解与实际问题结合时，可能会遇到思维障碍．部分学生还存在运算不熟练、逻辑表达不清晰的问题，需要在活动中通过引导和合作逐步突破这些难点．
教学目标 1．经历观察、归纳、证明个位为5的两位数平方规律的过程，掌握其一般结论并能灵活应用，提升逻辑推理与代数运算能力． 2．能运用因式分解解决密码生成问题，体会因式分解的实际应用价值，增强数学应用意识与创新思维．
教学重点 探索并证明个位为5的两位数平方的规律，能运用因式分解进行密码的生成与破解．
教学难点 从具体运算实例中提炼出一般数学规律并完成严谨的代数证明，理解因式分解在密码生成中的逻辑关联．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历观察、归纳、证明个位为5的两位数平方规律的过程，掌握其一般结论并能灵活应用，提升逻辑推理与代数运算能力． 2．能运用因式分解解决密码生成问题，体会因式分解的实际应用价值，增强数学应用意识与创新思维．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：这些个位为5的两位数平方结果有什么共同特点？你能快速算出452的结果吗？ 152=225， 252=625， 352=1225， 导言：今天这节课，我们就一起揭开这个规律的神秘面纱，还会用因式分解来玩一个“密码生成”的小游戏，让我们一起开启今天的数学探索之旅吧！学生活动2： 独立观察算式，尝试计算452，小组内交流自己发现的初步规律．活动意图说明： 通过熟悉的平方运算引发认知冲突，激发学生的好奇心与探索欲，为后续规律的归纳与证明做好铺垫，同时自然衔接本节课的第一个活动主题．环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： 15×15=225=1×2×100+25, 25×25=625=2×3×100+25, 35×35=1225=3×4×100+25, …… 预设：计算结果均以25为结尾！ 结果的前两位都是十位数与十位数加1的乘积！ 问题1：你能写出一般的规律吗？ 归纳：个位为5的两位数平方的规律 设两位数为10n+5（n为十位上的数字，即1~9的整数） 则：(10n+5)2=n(n+1)×100+25 问题2：你能用所学知识证明你的结论吗？ 证明： 展开表达式： (10n+5)2=(10n)2+2×10n×5+52=100n2+100n+25 提取公因式： 100n2+100n+25=100n(n+1)+25 这正是前面归纳的规律： 十位之前的数为n(n+1)，后两位固定为25. 活动2：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取=15，=12，则有=12，=17，=13，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）已知多项式，当取=10，=5时，用上述方法生成的密码是什么？ 解：分解多项式： 16p4-q4=(4p2+q2)(4p2-q2)=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q) 代入 p=10，q=5：4p2+q2=4·(10)2+52=425 2p+q=2·(10)+5=25 2p-q=2·(10)-5=15 排序因式码：15，25，425 密码为1525425. （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 解：∵由问题（1）可知16p4-q4=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q) ∴可列方程组， 解得p=5，q=5， ∴将p=5，q=5代入4p2+q2=4·52+52=125， 因此第三个因式码是125. （3）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码． 学生活动3： 小组合作完成从具体到一般的归纳，推导并证明，并利用因式分解设计、生成、破解多项式密码．最后班内交流并听老师的点评与讲解活动意图说明： 让学生经历“特殊—一般—特殊”的认知过程，培养归纳猜想与严谨证明的数学思维，巩固整式乘法与因式分解的相关知识．通过实际应用场景，深化对因式分解的理解，提升知识迁移能力与创新意识，让学生感受数学的实用性与趣味性．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动个位数字是5的两位数平方的规律与利用因式分解生成密码一、个位数字是5的两位数平方的规律 二、利用因式分解生成密码教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取，， 则有，，，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是（ ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 答案：C 2．“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则 ． 答案：2 3．请根据个位为5的两位数平方的规律计算852和952的值． 解：根据个位为5的两位数平方规律：(10n+5)2=100n(n+1)+25 ∴852 =100×8×(8+1)+25=100×8×9+25=7200+25=7225 952 =100×9×(9+1)+25=100×9×10+25=9000+25=9025 选做题： 4．现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（ ）个 ①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125； ②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903； ③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715； ④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 【综合拓展类练习】 5．【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 解：（1）①由规律得， 故答案为：． ②由规律得， 故答案为：． （2）逆用规律得， 故答案为：． （3）令， 原式
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 答案：B 2．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ； （2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是 ． 答案：1014148 106 3．已知一个个位为5的两位数的平方是5625，请求出这个两位数？ 解：设这个两位数的十位数字为n，则该数为10n+5，根据规律得 (10n+5)2=100n(n+1)+25=5625 即：100n(n+1)+25=5625 化简得， n(n+1)=56 ∵7×8=56， ∴n=7， ∴这个两位数是10n+5=10×7+5=75． 选做题： 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积的计算有规律．例如：53×57＝3021；38×32＝1216；84×86＝7224；71×79＝5609． (1)请利用上述算式中的规律计算：63×67＝________； (2)请你用所学知识解释这个规律； (3)小乐进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10的两位数的积的计算会不会也有规律呢？如果有，请你尝试探索找出规律，并用所学知识解释；如果没有，请说明理由． 解：（1）由规律得，63×67=100×6×（6+1）+3×7=4200+21=4221， （2）将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d， ∴两个两位数分别表示为（10a+b）、（10a+d） ∴他们乘积=（10a+b）（10a+d）=100a2+10a（b+d）+bd， ∵b+d=10， ∴原式=100a2+100a+bd =100a（a+1）+bd； （3）规律：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和． 理由：设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，且p+q=10， ∴两个两位数分别表示为（10p+m）、（10q+m） ∴他们乘积=（10p+m）（10q+m） =100pq+10pm+10qm+m2 =100pq+10m（p+q）+m2 =100pq+100m+m2 =100（pq+m）+m2， 即：个位数字相同，十位数字和为10的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和．
教学反思 本节课通过两个数学活动，有效调动了学生的参与积极性，多数学生能掌握个位为5的两位数平方规律，并能运用因式分解解决密码问题．但在活动1的证明环节，部分学生对代数推导的严谨性把握不足，后续需加强针对性训练；活动2中，少数学生在自定义多项式时存在因式分解不彻底的问题，反映出知识应用的熟练度有待提升．未来教学中，应增加分层练习，设置更多贴近生活的应用场景，进一步提升学生的数学核心素养．
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