北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高一直升班上学期期末数学试题（含答案）

北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高一直升班上学期期末数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴
B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心
C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴
D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心
5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况用茎叶图表示如下：
甲 乙
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是
A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
6.已知，是的内角，“为锐角三角形“是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率单位：可表示为，其中为起始光功率单位：，为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离单位：已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半若当距离由变到时，光功率由变到，则( )
A. B. C. D.
8.若实数满足，则( )
A. B. C. D.
9.设，为锐角，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知用表示中的最大值，设若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合．终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则 ．
12.设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值 ， ．
13.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是 ．
14.已知函数，则的最大值为 ．
15.设，函数给出下列四个结论：
在区间上单调递减；
当时，存在最大值；
当时，直线与曲线恰有个交点；
存在正数及点和，使．
其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某校级高一年级共有学生人，其中男生人，女生人基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对级高一年级全体学生进行了问卷调查现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这份问卷中此题的答题情况．
选“同意”的人数 选“不同意”的人数
男生
女生
Ⅰ写出，的值；
Ⅱ根据上表的数据估计级高一年级学生该题选择“同意”的人数；
Ⅲ从被抽取的男生问卷中随机选取份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ设，若函数在区间上单调递增，求的最大值．
18.本小题分
为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出名男生和名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：
男生 女生
选择 不选择 选择 不选择
排球
篮球
足球
乒乓球
假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率．
假设全校共有名高一学生，直接判断下列结论的正误．
结论：根据样本数据估计全校有名高一学生有选择足球课的意愿；
结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为．
若从该校全体高一男生中随机抽取人，全体高一女生中随机抽取人，求这人中选择排球课的人数恰为的概率；
记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为写出与的大小关系．结论不要求证明
19.本小题分
已知函数，其中．
若，求的对称中心；
若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在且上恰好有个零点，求的最小值；
已知函数，在第问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求实数的值；
当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知集合，，其中定义若，则称与正交．
若，写出中与正交的所有元素；
令若，求证：为偶数；
若，且中任意两个元素均正交，则中最多可以有多少个元素？并说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一，填也对 答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ由题意可得 ；
；
Ⅱ估计级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 ；
Ⅲ如果访谈学生中选择“同意”则记为，如果选择“不同意”则记为，
列举如下：
共有种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意”的有种，
“访谈学生中至少有一人选择同意”为事件，
则．
17.解：Ⅰ函数
，
故该函数的最小正周期为．
Ⅱ，函数在区间上单调递增，
则，，求得，
故的最大值为．
18.解：由题意可知，选择足球课的频率为，
则全校高一学生有选择足球课的意愿的人数为，故结论正确；
设不选择排球的男生集合为，不选择篮球的男生集合为，
则集合和中的人数分别为，，都不选择的人数为，
根据且，
可得，
所以都不选择的人数至少为人，故结论错误．
由题意可知，男生选择排球课的概率为，女生选择排球课的概率为，
假设表示人中选择排球课的人数，则选择排球课的人数恰为的概率
．
由题意知，，
设男生选择和不选择这四个活动课的平均值分别为，
则
根据方差定义可得
所以．
19.解：函数，
若，则与是相邻的最小值点和最大值点，
的最小正周期为，由，解得，得，
令，解得，此时，
所以的对称中心为．
，
，
，所以或
解得或，又，得，
所以，函数最小正周期，
令，即，解得或，
若在上恰好有个零点，则，
要使最小，则恰好为的零点，
的最小值为．
由知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则，
当，，，则，
当，，，则，
由可得，又，解得，
所以实数的取值范围为．

20.解：定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，
即，解得：，
此时，定义域为，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以；
当时，，
不等式，即，
可化为：，
即对任意恒成立，
记，只需，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，解得：，
即实数的取值范围为；
当时，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
则可化为，
又因为在上单调递增，所以，
换底得：，
即，
令，则，
问题转化为在上有两不同实数根，
即有两不同实数根，
令，
分别作出图象如图所示：
故在上有两根，只需，解得：，
即实数的取值范围为．
21.解：（）由题可知中所有与正交的元素为
必出现两个，所以共种可能．
证明：对于，存在，，使得．
令
当时，，当时，．
那么．
所以为偶数．
不妨设，则与正交．
假设且它们互相正交．
设，，相应位置数字都相同的共有个，除去这列外．
，相应位置数字都相同的共有个，
，相应位置数字都相同的共有个，
则．
所以，同理．
可得．
由于，
可得矛盾．
所以除外任意三个元素都不互相正交．
综上， 中最多可以有个元素．

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