山东省烟台市2025-2026学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

山东省烟台市2025-2026学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦已知某和弦可表示为函数，则在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
2.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 点是图象的一个对称中心
D. 直线是图象的一条对称轴
4.已知函数，函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.定义在上的不恒为零的偶函数满足，且则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有个不同的根，，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.函数的部分图象如图所示，把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点中心对称
C. 在上单调递增
D. 在上的最大值是
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.当时，函数与的图象恰有三个交点、、，且是直角三角形，则( )
A. 的面积
B.
C. 两函数的图象必在处有交点
D.
11.对于偶函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数在处的切线斜率为
B. 函数恒成立
C. 若，则
D. 若对于恒成立，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，且，则的最大值为 ．
13.点、都在同一个指数函数的图像上，则 ．
14.已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，其中且．
若，求关于的不等式的解集；
求关于的不等式的解集．
16.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
已知函数的一个零点为，求函数的其余零点．
17.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数，当时，．
求函数的解析式；
判断函数的单调性；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，为锐角三角形的三个内角．
求证：．
求的最小值．
19.本小题分
设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数该函数具有以下性质：
的定义域为，值域为；
任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分；
；
若整数，满足，则．
解方程；
已知实数满足，求的值；
证明：对于任意的正整数，均有．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，在上单调递减，
，解得，
不等式的解集为；
当时，在上单调递减，
，解得，
当时，在上单调递增，
，解得，
当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集．
16.解：根据题意，幂函数在是幂函数，则上单调递增，在上单调递减，
将函数图象向右平移个长度单位可得的图象，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即函数的值域为；
，
因为函数的一个零点为，所以，解得．
所以，
令，得或，解得，，．
所以函数的其余零点为，．
17.解：当时，，
，
又是上的奇函数，
且，
当时，，
综上：．
当时，单调递减，
因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减，
，有，
又当时，单调递减，
，有，
是上的减函数．
由得，
是奇函数，，
又是上的减函数，，
即对任意的恒成立，
当时，恒成立，满足条件；
当时，应满足，即，
综上：的取值范围是．
18.证明：，
因为，，
所以，
又因为为锐角，，
于是，
同理，
将以上三个式子相加，
可得，
故成立；
解：令，，，
因为，，，均为锐角，
所以，
所以，
所以，
则，
即，
因为，，均为锐角，所以，，均为正值，
所以，，均为正值，且，
则，则，
因为
，
令，
则，
令，则，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
当且仅当，即等号成立，
所以，
所以的最小值为．
19.解：令，则，
所以，
又由高斯函数的定义有，
解得：，则或，
当时，则；当时，则；
设，设，，，，中有个为，个，，
根据题意知：，则有，
解得：，，
所以，，即，
故；
证明：由的形式，可构造不等式，
当时，有；
设，
则有，
从而，
而，则，
所以，
又当，时，经检验原式成立，
故对一切的自然数，原式成立．
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