安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4（含答案）

安徽省滁州市2025-2026学年高三（上）期末模拟数学试卷4
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象为( )
A. B.
C. D.
6.我国古代数学家赵爽在周髀算经中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后灭称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在边长为的菱形中，将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系的坐标原点，，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则( )
A. B. 直线与平面平行
C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为
10.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体，若中间层旋转角为锐角，记表面积增加量为，则下列说法正确的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知点，直线：，为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A. 点的轨迹方程是
B. 直线：是“最远距离直线”
C. 满足的点有且仅有个
D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆上一点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为 ．
13.现有一块长为，宽和高均为的长方体木料，如图所示工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图所示的几何体已知，，二面角的大小为，则图所示的几何体的体积为 ．
14.已知函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为
求；
若，且，求外接圆的面积．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和；
若，，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，两两垂直，四边形是梯形，，，为棱的中点．
设过点，，的平面与棱交于点，求证：；
在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，椭圆的离心率为且经过点是其左、右焦点，直线：与相切于点．
求椭圆的标准方程；
记，到直线的距离分别为，，请问是否为定值？如果为定值，求出此定值；如果不为定值，请说明理由；
已知直线与轴交于点，与交于点在轴上方，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，记，求证：存在，使得时，．
19.本小题分
已知函数，
用定义证明：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【解】，，
由，得，
，，
，；
由知，，
由余弦定理，得，
，，，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，，
外接圆的面积为．
16.【解】由，
当时，，解得；
当时，，
可得，
整理得，
设，即，
可得数列是以为公比的等比数列，
即，
可得，可得，
故数列是首项为、公比为的等比数列，
所以，
因此；
由，
可得是两个等比数列的差，
所以
；
由知，，，
由，知，
易知单调递减，
所以，
而单调递增，所以，
，，
只需，
即．
故的取值范围是．
17. 证明：取中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，则，，
又，，
故，，
故AB为平行四边形，所以，，，四点共面，
则面即为过点，，的平面，
又过点，，的平面与棱交于点，
则点与点重合，故；
建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，
设，
，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
，即，
令，则，
同理可得平面的一个法向量为，
，
整理得，解得或，均满足，
当时，，
此时点到平面的距离为；
当时，，
此时点到平面的距离为，
所以点到平面的距离或．
18.【解】由题可得，解得，
所以椭圆方程为；
是定值，
由题，设，联立，
化简得，
则，即，
又，，，
所以，，
则，
所以是定值；
证明：由可得，则，
所以，则，，，
所以
，
若，则，
所以，
假设，
因为，得，代入得，矛盾，
所以，则，
所以，即，
故存在，使得时，．
19.【解】，
设，，且，
，
，
则，，
，
，
，
，即，
函数在区间上为减函数，
同理可证，函数在区间上为增函数，
故函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；
为上的偶函数．
证明：，
，
为上的偶函数．
，，
对一切实数恒成立，
则，
不妨令，，则，
当且仅当时，即时取等号，
，
即实数的取值范围．