苏科版八年级数学上册 期末复习题--- 全等三角形的判定（含答案）

期末复习题--- 全等三角形的判定
题型1 尺规作图——作三角形
1．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
已知： ，线段a．
求作：，使．
2．已知：，和线段a，如图所示．求作：，使．（不写作法，保留作图痕迹）
3．如图，已知，点D在边上．
(1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)根据你的作图方法，说明的理由．
题型2 用SAS间接证明三角形全等
4．（1）如图，是的平分线，．
求证：；
（2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长．
5．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．10 B．6 C．12 D．9
6．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ．
题型3 全等的性质和SAS综合
7．如图，与相交于点C，，，．点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为 ．
8．如图，已知，且．
(1)请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论．
(2)在（1）的条件下，若，请确定的值范围．
9．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，．
(1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”）
(2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程．
题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等
10．已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．如图，交于点，，点在线段上，，．
(1)求证∶；
(2)若，，求的度数．
12．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A． B． C． D．
题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合
13．【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程；
【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由．
14．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）．
15．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
（2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
（3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______．
题型6 用SSS间接证明三角形全等
16．角平分线的作法（尺规作图）
①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点；
②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③过点作射线，射线即为所求．
作角平分线的作法依据的是 ．
17．人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：
已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线．
请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在和中，
，
（____________），
，
（____________）．
18．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：．
证明：∵（________），
∴________________（________），
即________________．
在和中，，
∴（________）．
题型7 全等的性质和SSS综合
19．如图，已知相交于点，且．求证：．
20．如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，．
(1)求证：；
(2)猜想，的位置关系，并说明理由．
21．（1）将下面证明中每一步的理由写在括号内．
已知：如图，．求证：．
证明：如图，连接．
在和中，
（ ）
（ ）
（ ）
题型8 用HL证全等
22．在和中，，有如下几个条件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ．
题型9 全等的性质和HL综合
25．如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：．
26．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A、B间的距离，同学们给出了以下建议：
(1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A、B的点O，连接、，并分别延长至点C，延长至点D，使，最后测出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由；
(2)乙同学的方案如下：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量出的长即为A、B间的距离，请你说明该方案可行的理由．
27．如图，在的内部，点、在上，连接、，过点作，，垂足分别是、．且、恰好是和的中点，．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)
28．已知：．
(1)如图1，试说明：；
(2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形．
29．如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？图中与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．李乐通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等，请你判断李乐的说法是否正确．
30．已知：和，、分别为、中点，且，．
(1)当时，求证：．
(2)当时，求证：．
题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)
31．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形：
(1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点；
(2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边；
32．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)在图①中，画出中边上的高；
(2)在图②中，画一个格点三角形，使之与全等；
(3)直接写出的面积是 ．
33．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取．
任务1：实践与操作：
①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）．
②你作的与全等的依据是 　　 、、、．
任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分．
①试猜想 　　 ．
②请你求出的度数．
题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
34．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系．
(1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______．
(2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
35．（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由．
（3）联想拓展
如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长．
36．课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（ ）
A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对
C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对
参考答案
题型1 尺规作图——作三角形
1．解：如图，即为所求．
2．解：如图，即为所求．
3．（1）解：如图所示即为所求．
；
（2）证明：根据作图得：，，，
∴．
题型2 用SAS间接证明三角形全等
4．（）证明：∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴；
（）解：∵是边上的高，，，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
5．C
解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，
∵，，
∴，
∴的最小值为12．
故选：C．
6．
解：在上截取，连接，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，
如图，过点C作交于点，
∵，，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
题型3 全等的性质和SAS综合
7．或
解：，
，．
在和中，
．
∵点Q从点D出发，沿DE以的速度向E运动，
．
，
根据点P的运动速度进而方向有以下两种情况：
①当点P从点A向点B运动时，依题意得：
，
此时．
当点P，Q，C三点在同一条直线上时，
在和中，
．
．
，解得：；
②当点P从点B向点A运动时，依题意得：
，
此时，
当点P，Q，C三点在同一条直线上时，
同理证明：．
．
，解得：，
综上所述：当P，Q，C三点在同一条直线上时，t的值为或．
8．（1）解：是的中线，
证明：∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴是的中线．
（2）解：延长至点，使得，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（1）解：由条件可知，
又∵，，
∴和是兄弟三角形，
故答案为：是；
（2）证明：
延长至E，使，
由条件可知，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴，
由条件可知，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
又∵，
∴．
题型4 用ASA(AAS)证明三角形全等
10．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
11．（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
12．B
解：由题意可得：，，
∵，
，
，
∴
∴，
∴，
∴淇淇证明全等用到的依据可能是，
故选：B．
题型5 全等的性质和ASA(AAS）综合
13．解：，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
；
解：，
理由如下，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
．
14．（1）证明：∵，
∴，
因为于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：结论：．
与（2）同法可得，
∴，，
∴．
15．解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E，
由（1）可得：，
，
，
，
，
，
，
．
题型6 用SSS间接证明三角形全等
16．
解：如图④所示：连接、
在与中，由作图可知：
故答案为：．
17．证明：由作图可知，在和中，
，
∴，
∴，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行．
18．证明：∵（已知），
∴（等式的性质），
即．
在和中，，
∴（）．
故答案为：已知；；；等式的性质；；；；；
题型7 全等的性质和SSS综合
19．证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
20．（1）证明：
，
即．
在和中，
；
（2）解：．理由如下：
由（1）可知
．
在和中，
，
，
即，
．
21．证明：如图，连接．
在和中，
，
，
（公共边），
（全等三角形的对应角相等）；
故答案为：公共边；；全等三角形的对应角相等；
题型8 用HL证全等
22．D
解：如图：
①在和中，
，
∴，故本选项正确；
②在和中，
，
∴，故本选项正确；
③在和中，
，
∴，故本选项正确；
④∵，，，，
∴，
在和中，
，
∴，故本选项正确；
∴能判定的条件为：①②③④，
答案：D．
23．D
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
故选：D．
24．4
∵在中，是边上的高，是边上一点，
∴于点，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：4．
题型9 全等的性质和HL综合
25．解：连接，如图：
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵于，于，
∴，
在和中，
，
∴．
26．（1）解：在和中 ，
，
,
，
故甲同学的方案可行；
（2）解：，
垂直平分，
与均为直角三角形，
在和中，
，
，
，
故乙同学的方案可行．
27．（1）证明：∵，，垂足分别是F，G，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，，
∵，，
∴，
∵、恰好是和的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴平分．
题型10 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合)
28．（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：图中的全等三角形有，理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∵在和中，
，
∴；
∵在和中，
，
∴．
29．解：李乐的说法正确．理由如下：
如图，当和为钝角三角形时，过点A作垂直的延长线于点G，过点D作垂直的延长线于点H．
在和中，，，， ，
，
，
．
在和中，，
，
．
在和中，，，
，
．
在和中，，
．
同理可证，当和是锐角三角形和直角三角形时，李乐说法正确；
综上所述，李乐的说法正确．
30．（1）解：在和中，，
，
，
、分别为、的中点，
，，
，
，，
在和中，，
，
故答案为：；；；；
（2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，
，
，
在和中，
，
，，
同理可证，
，，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
在和中，
．
题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合)
31．（1）解：即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：即为所求作（答案不唯一）．
32．（1）解：中边上的高即为所求作；
（2）解：即为所求作；
（3）解：的面积．
33．解：任务一：
①如图1中，即为所求；
②依据是：，
故答案为：；
任务2：
①猜想：．
故答案为：90；
② ，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
题型12 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
34．（1）解：延长到点G，使，连接，
∵,
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：仍然成立．
理由：如图，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
35．证明：如图中，
，
把△绕点逆时针旋转至△，与重合．
∠ADC=∠B=90°
∠FDG=180°，点F、D、G三点共线，
则，，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF
即∠EAF=∠FAG，
在△和△中，
，
∴△≌△，
∴EF=FG=BE+DF；
当，仍有．
理由：，
把△绕点逆时针旋转至△，可使与重合，如图，
，∠B=∠ADG
，，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠FAG=45°
∴∠EAF=∠FAG，
，
∴∠ADC+∠ADG=180°
∴∠FDG=180°，点、、共线．
在△和△中，
∴△≌△AFG(SAS)．
，即：．
故答案为：．
将△绕点旋转到△的位置，连接，
则∠FAB=∠CAE
，，
∴∠BAD+∠CAE=45°．
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAB+∠BAD=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°．
则在△和△中，
，∠FAD=∠DAE，，
∴△≌△，
，∠C=∠ABF．
∵∠C+∠ABD=90°
∴∠ABF+∠ABD=90°，
，
∴△是直角三角形．
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+CE2=DE2，
∵BD=1，，
∴．
36．A
解：由图1可得平分，
则，
由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴嘉嘉的作法正确；
由淇淇的尺规作图痕迹可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴淇淇的作法正确，
故选：A．