苏科版八年级数学上册 期末复习题----三角形中的线段和角（含答案）

期末复习题----三角形中的线段和角
题型1 三角形的个数问题
1．如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（ ）
A．9个 B．30个 C．20个 D．27个
2．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ．
4．如图，图中共有 个三角形．
题型2 构成三角形的条件
5．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
6．两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？
7．能围成三角形的一组线段是（ ）．（单位：厘米）
A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1
8．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗 通过尝试，列表如下：
火柴根数 3 5 6 …
示意图 …
根据以上信息，解答下列问题：
(1)4根火柴能搭成三角形吗
(2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形 请画出它们的示意图．
题型3 确定第三边的取值范围
9．，，分别为的三边，
(1)当，时，求的取值范围；
(2)化简．
10．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ．
11．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值．
12．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ．
题型4 三角形三边关系的应用
13．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若，，且c为奇数，求c的值．
14．已知的三边长为．
(1)若，求边长的取值范围；
(2)化简．
15．若是三角形的三边，化简： ．
16．如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
题型5 根据三角形中线求长度
17．如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，已知，分别是的高和中线，．
(1)若的面积为20，求的长；
(2)若，求的长．
19．
如图，是的中线，是的中线．
(1)若，的周长为24，求的周长；
(2)若的面积为48，，求点B到线段的距离．
20．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ．
题型6 根据三角形中线求面积
21．如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（ ）

A．6 B．5 C．4.5 D．4
22．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高，垂足为．
(2)画出中边上的中线．
(3)直接写出 ．
23．如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
24．如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ．
题型7 重心的概念
25．在如图所示的平面直角坐标系中，，，
(1)作在边上的中线；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
(3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ．
26．如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ．
27．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
28．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型8 三角形角平分线的定义
29．如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，直线交于点O，分别平分和，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
31.下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
32．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．

【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）．
（1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若，求证：是“完美三角形”；
【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数．
题型9 画三角形的高
33.如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形．
(1)请在图中画出的边上的高
(2)请在图中画出的中线
(3)请直接写出的面积．
34.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上．
(1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的；
(2)连接、，四边形的面积是___________．
(3)画出的高．
35.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将经过一次平移得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，仅用无刻度的直尺画图：
(1)补全，则的面积为__________；
(2)画出的中线、高线；
(3)若连接、，则线段、的关系为__________．
题型10 与三角形的高有关的计算问题
36.如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．
37.如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知．
(1)求的面积；
(2)求的长．
38.我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”．
(1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由；
(2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______．
39.如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．
(1)直接写出的面积为_______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当时，求的值．
(4)当时，求的值．
题型11 利用网格求三角形面积
40.在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上．
(1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标；
(2)作出 关于x轴对称的 ；
(3)求 的面积．
41.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位的图形，并写出顶点的坐标；
(2)已知为轴上一点，若与的面积相等，直接写出点的坐标．
42.如图，在所给正方形网格（每个小正方形的边长是1）图中完成下列各题．
(1)格点（顶点均在小正方形的顶点上）的面积为_________；
(2)画出格点关于直线l对称的图形；
(3)在直线l上画出点P，使最小．
43.如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且．
(1)求证：点D在的平分线上；
(2)连接，若，，求的值．
参考答案
题型1 三角形的个数问题
1．B
解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个，
同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；
在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个，
同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；
所以一共可以组成三角形的个数为个，
故选：B．
2．A
解：有，，，，，共5个三角形．
故答案为：A．
3． 8
解：图中有8个三角形，分别为：，，；
其中以为边的三角形有：；
以为内角的三角形有：；
在中，的对角是：；的对边是：；
故答案为：8；；；；．
4．116
解：图中1个小三角形个数为：．
4个小三角形组成的三角形的个数为：，
9个小三角形组成的三角形的个数为：，
16个小三角形组成的三角形的个数为：，
所以图中三角形的个数为：，
故答案为：116．
题型2 构成三角形的条件
5．D
解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此，
故选：．
6．
解：设第三根木棒的长为x，
∵两根木棒的长分别是m和，
∴，
∴．
∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务，
∴，
∴．
7．B
A、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；
B、，，满足条件，可以构成三角形；
C、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；
D、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。
故选B．
8．（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而，
根火柴不能搭成三角形；
（2）12根火柴能搭成三种不同的三角形，
第一种边长分别为：4，4，4；
第二种边长分别为：5，5，2；
第三种边长分别为：3，4，5，
示意图如下：
题型3 确定第三边的取值范围
9．（1）解：∵，，分别为的三边，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是；
（2）解：∵，，分别为的三边，
∴，，，
∴
．
10．
解：∵，且，，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
又∵c为最长边，
∴
故答案为：．
11．解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
∵是整数，
∴，，．
12．或或
解：∵a，b满足，
∴，，
解得，
∵，，
∴，
又∵c为奇数，
∴或或
∴当时，
当时，
当时，
的周长为或或．
故答案为：或或．
题型4 三角形三边关系的应用
13．（1）解：，，是的三边长，
，，，
；
（2）∵，，
，
即，
c为奇数，
．
14．（1）解：∵的三边长为，且，
∴，即；
（2）解：∵是的三边长，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
15．
解：∵是三角形的三边，
∴，
∴原式
．
故答案为：
16．（1）证明：在中，①，
在中，②，
在中，③，
得2，
即；
（2）证明：如图，延长交于点D．
在中，①，
在中，②，
，得；
∵，，
∴，
∴③，
同理可证④，⑤，
，得，
∴．
题型5 根据三角形中线求长度
17．B
解：①∵，
∴平分．
∴是的角平分线，故①正确；
②F为的中点，但F不是的边对边的顶点，
∴不是的边上的中线；故②错误；
③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确，
综上所述，正确的个数是2个．
故选B．
18．（1）解：∵是的中线，
∴，
∵的面积为，
∴，即，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，，
∴．
19．（1）∵AD是的中线，
∴．
∵的周长，，
∴的周长；
（2）∵和的高为同一条，，
∴．
同理可得，．
设点B到线段AD的距离为h，
则，
解得，
∴点B到线段AD的距离为6．
20．
解：连接．
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴时，最小，即当是的高时，
故答案为：．
题型6 根据三角形中线求面积
21．A
解：∵点D为中点，
∴，
∴与等底同高，
∴，
同理可得，，
，，，，
∴．
故选：A
22．（1）解：在网格上找所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接、，
∵水平网格线与竖直网格线互相垂直，
∴，
即是边上的高．
（2）解：∵长为6个小方格的对角线，
∴从点B沿数3个小格的对角线，此点即为的中点K，连接，则是边上的中线．
（3）解：∵
∴
∵，
∴
∴
23．（1）解：∵，是的高，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，是的中线，
∴；
（3）∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差为．
24．6
解：如图，连接，
点D是的中点，
设，
，
，，
设，则，
，
，
即，
，
，
故答案为：6．
题型7 重心的概念
25．（1）解：如图，即为所求，
（2）解：，，，
，边上的高为，
；
（3）解：如图，取的中点，连接交于点，
此时点．
26．5
解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．
∴，，
∴．
故答案为：5．
27．（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
28．D
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确；
∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，
∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确；
∵AE=AF，ED=FD，
∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线，故④正确；
∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线，
∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误；
故选D．
题型8 三角形角平分线的定义
29．D
解：∵是的中线，
∴，A说法正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，B说法正确，不符合题意；
∵是高，
∴，
∴，C说法正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴不一定是的中点，即不一定成立，
∴不一定成立，D说法错误，符合题意．
故选：D．
30．（1）证明：∵分别平分和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
31．A
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意；
②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意；
③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意；
④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意；
⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意；
综上，正确的有②，共1个，
故选：A．
32．解：（1）∵，
∴，
∴；
；
∵，
∴是“完美三角形”；
故答案为：18，72，是；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“完美三角形”；
（3）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据“完美三角形”的定义得，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
∴；
∴的度数为或．
题型9 画三角形的高
33.（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：．
34.（1）解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求．
（2）解：四边形的面积是．
故答案为：5．
（3）解：如图：线段即为所求．
35.（1）解：如图，即为所求．
的面积为．
故答案为：7．
（2）如图，中线、高线即为所求；
（3）由平移性质得，线段、的关系为平行且相等．
故答案为：平行且相等．
题型10 与三角形的高有关的计算问题
36.
解：∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵此时，
∴．
故答案为：．
37.（1）解：∵的边上的高为，
∴，
∵为的中线，
∴；
（2）解：∵为的高，
∴，
∴．
38.（1）解：不是“比高三角形”，理由如下：
∵，
∴为最短边上的高，为最长边上的高，
∵，
∴，
∴，k不是整数，
∴不是“比高三角形”；
（2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为，
∴为的最长边，
当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件，
故的三边长分别为，，或，，．
设最短边上的高为，最长边上的高为，
当三边长分别为，，时，
，
解得：，即，
当三边长分别为，，．时，
，
解得：，即，
综上所述， 的“比高系数"k为3或2．
39.（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
（2）∵，点是边的中点，
∴，
∵点速度为每秒2个单位长度，
当时，在上，，
当时，在上，，
∴；
（3）解：∵，
∴ ，则在上，
∴，
解得：；
（4）解：∵，点是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当在上时，，
解得：，
∴，
当在上时，∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：.
题型11 利用网格求三角形面积
40.（1）
解：如图，即为所求，点的坐标为．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图，．
答：的面积为16．
41.（1）解：如图，即为所作，
由图可知，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：由图可知，，
∵点P为y轴上一点，
不妨设，
∵，，
∴，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
42.（1）解：由网格可得：
，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：如图，点P即为所求，
43.（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
点D在的平分线上；
（2）解：由（1）可得：，，，
，
的值为．