2026届高考数学二轮复习专题特训 三角恒等变换（含解析）

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2026届高考数学二轮复习专题特训 三角恒等变换
一、选择题
1．已知,则的值是( )
A. B. C. D.
2．已知，若，则( )
A. B. C. D.
3．若，则( )
A. B. C. D.
4．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高 、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC，弧BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，则的值是( )
A. B. C. D.
5．已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6．已知,,则( ).
A. B. C. D.
7．已知,则( )
A. B. C. D.
8．的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．计算下列各式,结果为的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数，的图象与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后恰好为奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
11．已知,且,若,,则( )
A. B.
C. D.
12．已知函数，则( )
A.若相邻两条对称轴的距离为，则
B.若是奇函数，则的最小值为1
C.当时，的图像向左平移个单位长度得到函数解析式为
D.若在区间上有且仅有两个零点，则
三、填空题
13．已知点为角的终边与单位圆的一个交点,则的最小值为_______________.
14．设A,B,C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点,若是钝角三角形,则的取值范围是____________________.
15．已知,,则__________________.
16．已知满足，则________.
四、解答题
17．已知,,,且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,,
（ⅰ）求的值.
（ⅱ）求面积的取值范围.
18．已知a,b,c,,且,定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为,
(1)当时,求关于x的不等式解集的“区间长度”,
(2)已知,设关于x的不等式解集的“区间长度”为I.
（ⅰ）若,求t；
（ⅱ）求I的最大值.
19．已知定义域为R的函数的解析式为.
(1)求函数的最小正周期；
(2)已知方程在区间有两个不同的实数解,求实数a的取值范围；
(3)已知函数,,函数的解析式为,,若对任意的,总存在,使得成立,求实数m的取值范围.
20．已知a,b,c分别为锐角三个内角A,B,C的对边,且.
（1）求角A的大小
（2）求的取值范围.
21．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积.
22．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)当时，求的最大值以及取到最大值时x的值.
参考答案
1．答案：B
解析：,,.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，，，
所以，
所以，
故选：A.
3．答案：B
解析：因为，
所以
故选：B
4．答案：A
解析：如图所示，过点O作，交AB于点D.设，圆O的半径为r，由题意知，，，因为，所以，解得，因此，所以.故选A.
5．答案：C
解析：，，，
，，
是锐角，，，
，
，
，，，
，
.
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,而,因此,
则,
所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：由得,①,②,
即,,
,.
故选:D.
8．答案：D
解析：原式.故选D.
9．答案：AD
解析：对于A项,,故A项成立；
对于B项,,故B项不成立；
对于C项,,故C项不成立；
对于D项,,故D项成立.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：由题意知，函数的最小正周期为，则，得，所以.
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象.
因为为奇函数，所以，，即，，
又，所以当时，符合题意；
当时，符合题意.故选AC.
11．答案：AD
解析：A选项,由,得,
所以,则,
所以,A正确；
B选项,由,得,
即,又,
解得,B错误；
C选项,,
又,故,所以,C错误；
D选项,由,得,
所以,
与联立,得,D正确.
故选：AD.
12．答案：BCD
解析：
，
对于A：若相邻对称轴距离为，
则周期，由得，故A错误.
对于B：，若为奇函数，
则，，所以，
又，所以最小值为1，故B正确.
对于C：时，向左平移个单位后，
解析式为，故C正确.
对于D：时，，
即，
需有且仅有两个零点，故，
解得，故D正确.
故选：BCD
13．答案：
解析：点为角的终边与单位圆的一个交点,
,
,
设,
,
,,
,的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意得,,作出两个函数图像,如图：
为连续三交点,（不妨设B在x轴下方）,D为的中点,
由对称性,则是以为顶角的等腰三角形,,
由,整理得,
解得,则,
即,
所以,
因为为钝角三角形,
则,
所以,
解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为,则,且,
可得,,
则,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为，
所以，则，
则
.
故答案为：.
17．答案：（1）.
（2）（ⅰ）2;
（ⅱ）
解析：（1）,
由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为,有,得,
所以.
令,解得,
所以函数的单调递增区间为.
（2）（ⅰ）已知,由,得,
由正弦定理,得,,
所以;
（ⅱ）由（ⅰ）可知,,
,
由是锐角三角形,有,得,,
则,所以,
即面积的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)（ⅰ）或；（ⅱ）
解析：(1)时,,
,故或,
的定义域为,所以或,
所以解集的“区间长度”为；
(2)（ⅰ）,,
其中,故不等式解集为或,
设的两个根为,其中,且,
同理,设的两个根为,其中,且,
所以,
又,所以,
其中,即,
由诱导公式得,即,,
又,解得或,故或,
所以
或
；
（ⅱ）由（ⅰ）可得,
则,
即,
因为,
所以,当且仅当时,等号成立,
所以,即,
所以或,
由于,故,
所以,舍去,
故,
所以,
因为,所以,
由可知,,
当且仅当,,即时,等号成立,
所以,故的最大值为.
19．答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)由题意可得
,
所以.
(2)由(1)可知,,
当时,,
因为方程在区间有两个不同的实数解,
所以与,图象有两个不同的交点,
,图象如图：
方程有两个不同的解,由图象可知.
所以实数a的取值范围为
(3)
当时,,则,
当,,则,
,记在上的值域为M,
因为若对任意的,总存在,使得成立,
所以,显然当时,不满足题意；
当时,,故,
则,解得,所以；
当时,,故,
则,解得,所以；
综上所述,.
20．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
因为,所以,
所以,
所以,
所以,即,所以;
（2）根据正弦定理得,
由（1）得,,
,C为锐角,所以,,
其中,,即,
综上可知,的取值范围是.
21．答案：(1)
(2)①
②
解析：(1)法一：由正弦定理得.
从而，即，
又中，∴，
又，所以.
法二：由余弦定理得，
化简得，
则，
又，所以.
(2)(i)法一：由正弦定理得，
则，，
∵，∴.
的周长为
.
又∵，
∴，故，
∴周长的取值范围是.
法二：由余弦定理得，
所以.
∵，∴，
∴(当且仅当时取得等号).
又∵，
∴周长的取值范围是.
(ii)在中，由余弦定理得，
即.
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得.
∵，
∴，∴.
所以，.
22．答案：(1)
(2)(开区间亦可)
(3)当时，取得最大值
解析：(1)由题意知：
.
所以，函数的最小正周期是.
(2)令，函数的单调递减区间为.
由，解得，
所以函数的单调递减区间为（开区间亦可）.
(3)当时，.
当时，即时，取得最大值.
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