2026届高考数学二轮复习专题特训 一次函数与二次函数（含解析）

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2026届高考数学二轮复习专题特训 一次函数与二次函数
一、选择题
1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2．已知函数的定义域为R，且满足，，当时，，则当时，函数的最大值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.0
3．已知函数的值域为,则函数的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4．已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．已知函数,,若,,使得,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知函数的值域为R,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.R
7．若,为真命题,则x的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．点M、N在圆上,且M、N两点关于直线对称,则圆C的半径( )
A.最大值为 B.最小值为 C.最小值为 D.最大值为
二、多项选择题
9．函数的定义域为D,区间,若在上的值域是,则称为的“k-跟随区间”,下列结论正确的是( )
A.函数的一个“跟随区间”是
B.函数一定存在“跟随区间”
C.函数存在“3-跟随区间”
D.若函数存在“跟随区间”,则的最大值为
10．已知不等式的解集是,则下列说法正确的是( )
A.
B.不等式的解集是
C.当时,,上的值域为,则的取值范围是
D.若关于m的不等式有解,则实数m的取值范围是
11．已知幂函数的图象经过点,则下列判断中正确的是( )
A.函数图象经过点 B.当时,函数的值域是
C.函数满足 D.函数的单调减区间为
12．已知函数,若非空集合,,,则下列说法中正确的是( )
A.b为常数 B.b的取值与a有关
C. D.
三、填空题
13．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0，，这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为________.
14．若函数在上单调递增,则实数a的取值范围是_____________.
15．函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.
16．已知函数.若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
17．已知函数的定义域为M.
(1)求M；
(2)当时，求函数的最大值.
18．已知幂函数在上单调递增.
（1）求实数m的值:
（2）若函数在上的最小值为1,求实数a的值.
19．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当时,曲线是二次函数图象的一部分,当时,曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于80时听课效果最佳.
（1）试求的函数关系式;
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳 请说明理由.
20．已知函数是定义域在R上的偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)解不等式；
(3)若函数在上的最小值为,求m的值.
21．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于x的不等式恒成立,求正实数a的取值范围.
22．2024年8月16日,商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知,对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定,报废旧车并购买新车的个人消费者,补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元,分别提高至2万元和1.5万元,某新能源汽车配件公司为扩大生产,计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元,每生产百件,需另投入成本万元,且时,；当时,,由市场调研知,该产品每件的售价为5万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)分别写出与时,年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少百件时,公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
参考答案
1．答案：A
解析：.因为，，，所以.如图，连接AC.
因为，所以，所以，所以，则.设，则.所以，，，，所以.因为，所以.故选A.
2．答案：D
解析：由题意得，
所以，
所以函数的周期为4．
由，得，
所以是奇函数．
又当时，，
所以当时，
，
所以．
所以当时，有．
二次函数的图像开口向上，对称轴为，
在区间上端点值均为0，最小值为-1，
所以的最大值为0．
故选：D．
3．答案：A
解析：函数,
由于函数的值域为,即,
而在上单调递减,
当时,取最大值为3.
故选：A.
4．答案：A
解析：二次函数的对称轴为,
若二次函数在区间上单调递增,有,可得.
若函数单调递增,有.
若函数在R上单调递增,
有,可得.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为,对,有.
同理,对,有.
由,,使得,得
,得.
故选：B.
6．答案：A
解析：当时,为单调递减函数,此时,
故在上的值域为,
当时,为开口向下的二次函数,
若,即,此时在上单调递增,在单调递减,,
此时在的值域为,
由于为正数,此时满足的值域为R,故,
当,即,此时在上单调递减,故,
此时在的值域为,要使得的值域为R,故,即,
又,所以,满足题意.
综上可得,
故选：A.
7．答案：C
解析：由题意知,,恒成立,
设函数,即,恒成立.
则,即,解得,或.
故选：C.
8．答案：C
解析：由,得,
所以圆心C为,半径为,
由题意可得直线经过圆心,
故有,即,
所以半径为,
当时,圆C的半径的最小值为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,时,在上单调递减,则其在上值域为：
,故A正确；
对于B,若存在“跟随区间”,设为,又在R上单调递增,
则由“跟随区间”定义可得,即图象与有2个不同交点,
但显然随着的改变,图象与可能相切,可能有2个不同交点,也可能没有交点,故B错误；
对于C,取区间,因,则上上单调递增,
则其在上值域为：,即函数存在“3-跟随区间” ,故C正确；
对于D,,则在上单调递增,
若函数存在“跟随区间”,不妨,则,
化简可得为方程的两根,
其判别式,
由韦达定理：,
则
,当时取等号,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：因的解集是,所以,A错误；
－2,3是关于x的方程的两个根,且,
于是得,,即,
不等式化为：,解得,B正确；
当时,因为,所以,
则,,
依题意,,由得,或,
因在上的最小值为,
从而得,或,,
两种情况均有,C正确.
,令,由对勾函数得在上单调递增,
即有,因有解,则,
解得或,D不正确；
故选：BC.
11．答案：AD
解析：由题意,幂函数的图象经过点,
可得,解得,即,
由,可得函数的图象过,所以A正确；
由二次函数的性质,可得函数在区间上单调递减,在上单调递增,
所以当时,,
又由,所以,所以函数的值域为,所以B错误；
由,可得C错误；
根据二次函数的图象与性质,可得函数开口向上,对称轴为,
所以函数在区间上单调递减,所以D正确.
故选：AD.
12．答案：AC
解析：不妨设的解集为,则有,
,
由,得且,
由（1）得,故A正确,B错误;
,
,
,解得或,
又,为方程的两个根,
,
,解得,
,故C正确,D错误.
故选:AC.
13．答案：
解析：二次函数的图象不经过第四象限，
则对称轴且或顶点纵坐标，
即，或，
由题意，两次摸球的数字组合可能有：
，，，，，
，，，，共9种，
其中符合条件的组合有，，，，，共5种，
所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为函数在上单调递增,
所以或,
所以,
则实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：
解析：函数是开口向上的二次函数，
其对称轴为直线：
二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调，
则对称轴需落在区间内，即.
故答案为：.
16．答案：
解析：由，得.
又在区间上单调递增，所以时恒成立（不恒等于0），即在区间上恒成立.
令，，函数图象的对称轴为直线.
当，即时，，解得，又，所以此时无解；当，即时，，解得，故；
当，即时，，解得，故.
综上可得，实数a的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意知，
解得，
故.
(2)，
令，，可得，，
其对称轴为直线，
当，即时，.
当，即时，.
综上可知，
18．答案：（1）1
（2）1
解析：（1）由题可得,即,解得或1,
当时,在上单调递减,不合题意;
当时,在上单调递增,合题意.
综上,.
（2）由（1）,所以,,对称轴,
当时,在上单调递增,所以,不合题意;
当时,在上单调递减,所以,
,解得,不合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
,解得,又,所以;
综上,.
19．答案：（1）
（2）老师在这一时间段内讲解核心内容,学生听课效果最佳.
解析：（1）由题意知,当时,曲线是二次函数图象的一部分,
抛物线顶点坐标为,且曲线过点,
设二次函数为,则,解得,
则可得.
又当时,曲线是函数（且）图象的一部分,
且曲线过点,则,即,解得,
则
则.
（2）由题意知,注意力指数p大于80时听课效果最佳,
当时,令,解得:;
当时,令,解得:.
综上可得,.
故老师在这一时间段内讲解核心内容,学生听课效果最佳.
20．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为函数是定义域在R上的偶函数,
所以,即,
则恒成立,故；
(2)由,故,
当时,,由在上单调递增,
故在上单调递增,
又为偶函数,故在上单调递减,
故由可得,
即,所以,
则
,
解得或或,
所以不等式的解集为；
(3),
,
令,由,则,
,
当时,,
解得,不满足,舍去；
当时,,解得,
因为,故符合题意；
综上,.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1),
,
令,则,
所以的值域为；
(2)由(1)知：,
因为关于x的不等式恒成立,
所以,即,且,
所以,解得,
所以正实数a的取值范围是.
22．答案：(1)答案见解析
(2)年产量为50百件时,该企业所获年利润最大,最大年利润是2830万元
解析：(1)由题意可得当时,,
当时,,
(2)由(1)得时,,
此时（百件）时,（万元）,
当时,
,
当且仅当,即时等号成立,（万元）,
而,故（百件）时,利润最大,
综上所述,年产量为50百件时,该企业所获年利润最大,最大年利润是2830万元.
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