2026届高考数学二轮复习专题特训 导数及其应用（含解析）

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2026届高考数学二轮复习专题特训 导数及其应用
一、选择题
1．函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2．设曲线在处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.1
3．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5．已知函数在R上单调递增,则ab的最小值是( )
A. B. C. D.
6．已知指数函数，若有且只有两个不等根，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知平面上的点，，则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
8．下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知定义在R上的奇函数连续,函数的导函数为.当时,,其中e为自然对数的底数,则( )
A.当时, B.在R上有且只有1个零点
C. D.在R上为增函数
10．已知函数的导函数为，则( )
A.曲线是中心对称图形 B.在上单调递减
C.曲线是中心对称图形 D.存在常数M，使对成立
11．已知曲线在处的切线斜率为9，则( )
A.
B.函数有2个零点
C.若函数在区间上有最小值，则实数b的范围为
D.若，，则
12．已知函数，则( )
A.当时，函数的最小值为
B.当时，函数的极大值点为
C.存在实数a使得函数在定义域上单调递增
D.若恒成立，则实数a的取值范围为
三、填空题
13．若函数的最大值为，则的最小值为________.
14．写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程________________.
15．已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为________.
16．已知函数（且均不相等），设曲线在点处的切线的斜率为，则________.
四、解答题
17．已知函数的最小值为0，其中.
(1)求a的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数k的最小值；
(3)证明：.
18．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)点P是函数图象上任意一点,求点P到直线距离的最小值.
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设直线，存在两个不同的实数，，使得直线l与曲线和曲线都相切.
①求k的取值范围；
②请在以下两个不等式中任选一个，完成证明；
（i）；（ii）.
20．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若在上存在极大值，求a的取值范围.
21．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若曲线有两条过坐标原点的切线，求a的取值范围.
22．设定义在上的可导函数满足，且.
(1)用表示，并求的单调区间；
(2)若，记在点处的切线为l，证明:除切点外，曲线在上的图象位于切线上方；
(3)证明:当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，定义域为，
，令，解得，
故函数的单调递减区间是.
故选：C
2．答案：A
解析：由，可得，
所以曲线在处的切线方程是，
令得，所以
.
故选：A.
3．答案：D
解析：不等式可变形为
，
即在上恒成立，
令，易得
在R上恒成立，
所以函数在R上单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立，
也即在上恒成立，所以，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，单调递减，
所以，即，
故实数a的取值范围是.
故选：D
4．答案：A
解析：令，，则，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以等价于，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为在R上单调递增,
所以在R恒成立．
若,则,所以恒成立,显然不成立；
若,则在R恒成立等价于在R上恒成立,
所以,所以．令,则,
当时,,单调递减；当时,,单调递增；
所以当时,取得最小值,即ab的最小值是．
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意得，即方程有两个不等根，
函数与图象有两个不同交点，
与互为反函数，则两函数图象关于对称，
则与图象的交点都分布在直线上，
问题等价于与有两个不同交点，
即有两根，
即函数图象与直线有两个交点.
设，则，
令；，
则在上单调递增，在上单调递减，.
又，，，，
可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点，
需满足.
故选：C
7．答案：D
解析：因为点在直线上，
点在曲线上，
又因为，，
令，解得，可得，
的最小值即为点到直线的距离
.
故选：D.
8．答案：D
解析：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D
9．答案：BCD
解析：,
即,
因为时,所以.
即,即在单调递增,
又为奇函数且在R上连续,为偶函数且恒正,
故为奇函数在R上连续,且单调递增,
对于选项A:
时,,所以A错误.
对于选项B:
为奇函数在R上连续,且单调递增,
所以仅一解为,在上恒成立,
故在R上有且只有1个零点为,故B正确.
对于C:
因为在R上单调递增,
则,所以C正确.
对于选项D:
因为为奇函数且连续,
所以为R上的奇函数且连续,故只需考虑在上的单调性,
当时,且,且
故,则在上单调递增,
故在R上为增函数,所以D正确.
故选:BCD.
10．答案：ABD
解析：对于A：因为函数，
所以.
所以，
所以根据中心对称图形的性质可知，
曲线关于点对称，是中心对称图形，A正确；
对于B：因为函数的导函数为，
所以.
因为，所以当时，，，
此时，所以此时在上单调递减；
当时，，，
此时，所以此时在上单调递减；
综上，在上单调递减，B正确；
对于C：，，所以，
所以为偶函数，关于y轴对称，不是中心对称图形，C错误；
对于D：当时，，此时，；
当时，不等式化简为，而，
所以要使得不等式恒成立，则，
所以存在常数M，使对成立，D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A，因为，
所以，所以，
由题意可得，解得，故A正确；
对于B，由A可知，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
且，，，，
当x趋于时，趋于；当x趋于时，趋于；
作出的图象，如图所示：
所以函数在，和上分别有一个零点，
所以函数有3个零点，故B不正确；
对于C，因为函数在区间上有最小值，
由函数的图象可得，解得，
即实数b的范围为，故C正确；
对于D，令，即，
所以，，
即，所以或，
因为，所以无解，
解得，即；令，即，
即，所以或，
又因为，所以无解，
解得，即，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：AD
解析：因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；
假设存在实数a使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为的值域为R，所以函数无最小值，
故不存在实数a使得函数在定义域上单调递增，故C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；
故选：AD
13．答案：3
解析：函数的定义域为，，
设，则，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
由，得，
所以，
设，则，
令，得（舍）或，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以有最小值，即的最小值为3.
故答案为：3.
14．答案：（或,两者填一个即可）
解析：设公切线与抛物线切于点,
因为,所以,
所以M处的公切线方程为,
即 ,
结合公切线与圆相切,即与相切,
故,解得,
所以公切线的方程为或
故答案为：（或,两者填一个即可）
15．答案：
解析：的图象不在x轴上方，即恒成立.
若，当时，，，所以，不合题意；
若，则，当时，，不合题意；
所以，且当时，由可得；
当时，由可得，
又是增函数，所以当时，，即，
所以，令，则，
设，则，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为，
即的最大值为.
故答案为：.
16．答案：0
解析：由已知可得，
当时，，
故；
当时，，
故；
当时，，
故，
则所求式子通分整理得，
故答案为：0.
17．答案：(1)1；
(2)；
(3)证明见解析.
解析：（1）由函数，
则其定义域为，且.
由，得:，又由，得:，
在单调递减，在单调递增，
，；
（2）设，
则在恒成立等价于（*），
注意到，又，
①当时，由得.
在单减，单增，这与（*）式矛盾；
②当时，在恒成立，符合（*），
，k的最小值为；
（3）由（2）知：令得：，
令得：，
当时，(1)；
当时，，
(2)，
(3)，
……
(n)，
将(1)(2)(3)，……，(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以.
18．答案：(1)单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)
解析：(1)函数的定义域为,
对函数求导得,
令,得；令,得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)解法一：设点,
所以点P到直线的距离为,
令,则,
令,得（舍去）或,
当时,,单调递增；当时,,单调递减,
所以在处取到极大值,也是最大值,
所以,当且仅当时等号成立,
即点P到直线距离的最小值为.
解法二：直线的斜率,
设,又,令,
得,解得（舍）或,所以点的坐标为,
所以曲线上与直线平行的切线的切点为,
由题意知点P到直线距离的最小值即为点到直线的距离,
又点到直线的距离,
所以点P到直线距离的最小值为.
19．答案：(1)函数的递增区间为，递减区间为；
(2)①；②选择（i）（ii）证明见解析.
解析：（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间为，递减区间为.
（2）①函数的定义域为R，求导得，
设直线l与曲线和曲线分别切于点，，
由，，消去得，
同理，因此方程有两个不同的实数解，
令函数，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒有，且时，，，
因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个不同的实数解，所以k的取值范围是.
②选（i），由①得，即，
令函数，则，
由，得，即，
令函数，求导得，
函数在上单调递增，，
由，得，即，
因此，即有，所以.
选（ii），由①得，
则
，
设，，，，
则，令函数，，
求导得，，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
当时，，函数在上单调递减，
由，得，，
因此，即，而，
则，所以.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）由.
所以.
由
.
设，.则，.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以在上恒成立.
即不等式的解集为.
（2）因为，.
所以.
当即时，在上恒成立，
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故函数在上只有极小值，无极大值；
当即时，
由或；由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值；
当即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，无极值；
当即时，
由或；由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.
综上，当时，函数在上存在极大值.
21．答案：(1)在区间上单调减，在区间上单调增；有极小值，无极大值
(2)或
解析：（1）函数的定义域为R，，令，解得.
，的变化情况如下表所示.
x
- 0 +
单调减 单调增
所以，在区间上单调减，在区间上单调增.
当时，有极小值，无极大值.
（2）由（1）得.
设切点坐标为，所以切线的斜率，
所以切线方程为.
又因为切线过原点，所以，
整理得：，
因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，
所以，解得或.
22．答案：(1)，函数的递减区间为，没有递增区间.
(2)证明见详解
(3)证明见详解
解析：（1），，
令函数，
则，
当时，，即，
函数单调递增，，
当时，，即，
函数单调递减，，
，，
即函数的递减区间为，没有递增区间.
（2）在切线，
即，
令函数，
则，则，
由（1）可知，令，
则，
当时，，，
且，
，即函数单调递增；
当时，，
即，单调递减，
当时，，
即，单调递增，
，即，
除切点外，曲线在上的图象位于切线上方；
（3）令函数，
则，，
，，
令，
则，
当时，，，
故，即函数单调递增，
，
即当时，，
，即，
.
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