2026届高考数学二轮复习专题特训 函数及其性质（含解析）

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2026届高考数学二轮复习专题特训 函数及其性质
一、选择题
1．已知，则“”是“为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知函数,则的定义域为( )
A. B. C. D.
3．已知函数,且在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数,则( )
A. B. C.1 D.2
5．函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
7．已知函数的定义域为R,且,为奇函数,,则 ( )
A.2025 B. C.4050 D.
8．已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有.当时，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题
9．若定义域为I.对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是( )
A.是倒数函数
B.是倒数函数
C.若在上是倒数函数，则
D.若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
10．已知点，，曲线E上任意一点M满足，则( )
A.当时，曲线E经过坐标原点
B.对于不同的值，曲线E总是关于坐标原点对称
C.当时，直线与曲线E的所有交点的横坐标之积为
D.当时，的取值范围为
11．下列说法正确的是( )
A.已知关于x的不等式的解集为,则不等式的解集为或
B.已知,则的解析式为
C.已知,则
D.已知,则
12．已知，则( )
A.的定义域为
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在区间上单调递减
三、填空题
13．已知函数，，，则________.
14．已知函数为奇函数,则的最小值为________.
15．已知函数有最小值,则实数a的取值范围为________.
16．已知函数，若，则________.
四、解答题
17．已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值；
(2)求函数在上的值域
(3)解不等式
18．已知函数,且此函数图象过点.
(1)求的解析式；
(2)讨论函数在上的单调性？并证明你的结论.
(3)求函数在区间上的最小值和最大值.
19．在当下中国足球的版图中,省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量,以燎原之势迅速蔓延,苏超、赣超等联赛的火爆场景,成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线,如同一幅绚丽多彩的画卷,生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米,宽度为（单位：米）,地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区,经过谈判,工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元,屋顶和地面报价共计7200元,总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元,.
(1)当宽度为8米时,方案二的报价为29700元,求m的值；
(2)求的函数解析式,并求报价的最小值；
(3)若对任意的时,方案二都比方案一省钱,求m的取值范围.
20．已知函数为偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)证明：在上单调递增；
(3)若,求x的取值范围.
21．已知为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断并用函数单调性定义证明函数在内的单调性；
(3)若存在,对任意,都有成立,求实数m的取值范围.
22．对于函数,若,则称实数为函数的不动点.设函数,.
(1)若,求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点,求实数a的取值范围；
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：证明充分性：因为，解得，当时，，
则，所以是偶函数；
当时，，则，
所以是奇函数，故不充分.
证明必要性：若为奇函数，则，
即，整理得，
因为，所以，即，故必要，
综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件，
故选：B.
2．答案：C
解析：函数中,,解得,即函数的定义域为,
因此在中,,解得,
所以的定义域为.
故选:C
3．答案：B
解析：由题知解得.
故选：B.
4．答案：C
解析：令,得.
故选：C.
5．答案：B
解析：令函数，，
因为，
所以函数是偶函数，排除选项A，C.
令，则.
因为，所以.
又，所以，
所以，
所以，排除选项D，故选B.
6．答案：D
解析：由题图知函数是偶函数.各选项函数性质分析如下：
选项 奇偶性 特殊点函数值 正误
A ，奇函数 ×
B ，奇函数 ×
C ，偶函数 ×
D 偶函数 √
7．答案：A
解析：因为①,所以,
所以,所以的周期为4,
因为为奇函数,所以②
令,由②得,所以,
①中令,得,所以,
令,得,所以,
综上,,,
,,
所以
,
由函数的周期性得,.
故选：A.
8．答案：B
解析：由可知，是一个周期为4的周期函数，
所以，将代入，得，
又因为是定义在R上的奇函数，故
所以，所以，所以.
故选：B.
9．答案：AC
解析：由题意对任意，存在唯一，使得，
则称在定义域上是“倒数函数”，
则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，
存在唯一，使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，，
所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当；
对于A，的值域为，
而的值域为，显然满足，
又为增函数，故唯一性成立，故A正确；
对于B，由对勾函数性质可得，的值域为，
而的值域为，不满足，故B错误；
对于C，由题意在上是倒数函数，
首先当时，单调递减，
此时，由倒数函数定义可知，
不包含0，即①；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足②；
只需①②式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，
又在上递减，故唯一性成立，故C正确；
对于D，必要性：
情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，
则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，
由二次函数性质可知，
，即此时，注意到，
若在定义域上是倒数函数，
首先，其次结合，可得a应该满足；
充分性：，有，
此时的值域为，，，
故存在，使，
此时存在两个，使，不合题意，故D错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：因为，且点，，
设点，则.
对于选项A：当时，则，
若点M为坐标原点，则，可得，
所以曲线E不经过坐标原点，故A错误；
对于选项B：用替换x，替换y，
可得
，
即点在曲线E上，所以对于不同的值，
曲线E总是关于坐标原点对称，故B正确；
对于选项C：当时，令，可得，
即，显然，若，则，
整理可得，解得或（舍去）；
若，则，整理可得，解得；
若，则，整理可得，
解得（舍去）或；
所以所有交点的横坐标之积为
，故C正确；
对于选项D：当时，则，
可得，且，解得，
因为，
即，解得，
又因为，
令，则，
由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，
且，，可得，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：因为不等式的解集为,
所以,且为方程的两根,
所以,
所以,,
所以不等式可化为,
所以,即,
所以不等式的解集为,A错误；
因为,
令,则,,
所以,
所以的解析式为,B正确；
因为,
所以,C正确；
因为,
所以,即,
所以,又,故
所以,
又,
所以,又,
所以,D错误；
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：要使有意义，则且有意义，所以且，，故A错误；
因为，故B正确；
，故C正确；
设，且，
则，
因为，且，所以，，，得，，即，，因此在上单调递减，故D正确.
故选BCD.
13．答案：2029
解析：因为①，
将x替换为，得②，
由①+②得，
再将x替换为得，
于是，再将x替换为，
得
所以，所以的一个周期为6，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
则一个周期和：
因为，
故
.
故答案为：2029.
14．答案：
解析：为奇函数,所以,
代入得,在定义域内,
化简得:,
即,由得:,
因为奇函数的定义域关于原点对称,由可知,
定义域端点为和,
为使定义域关于原点对称,必有,即,
又,,
所以,
当且仅当即,,即时成立;
综上的最小值为4.
故答案为:4
15．答案：
解析：分析时函数的最小值:
对于函数,将其进行配方可得.
因为,所以当时,取得最小值,此时在这个区间内取得最小值.
分析时函数存在最小值的条件:
当时,.
因为函数有最小值,且时最小值为,所以当时,的最小值要大于等于.
又因为对数函数在上单调递增,所以.
要使存在最小值,则,即,解得.
故答案为:.
16．答案：2
解析：由题意得，
则，
所以，故.
故答案为：2
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1),
若函数是偶函数,所以,
所以,
即,则,
即,得,得；
(2),
令,则,
任取,计算
因为恒成立,所以的符号由决定,
当,指数函数在R上单调递增,故
又,则,即,因此,
即,所以在上单调递减；
当,指数函数在R上单调递增,故
又,则,即,因此,
即,所以在上单调递增；
因此,在处取得极小值（也是最小值）,
当时,,当时,,
因此,t的值域为
函数是增函数,当时,y的最小值,
当时,,所以函数在上的值域为
(3),
所以不等式为,
所以,
,得,
,得,即,
得,即,
综上可知；
所以不等式的解集为；
18．答案：(1)
(2)单调递增；证明见解析
(3)4；5
解析：(1)因为函数,且此函数图象过点.
所以,解得,
所以.
(2)在上单调递增,证明如下：
不妨设且,
则
,
因为且,
所以,则,,
所以,即
所以在上单调递增.
(3)由(2)易知,在上单调递增,
所以,.
19．答案：(1)18
(2),
(3)
解析：(1)宽度为8米时,方案二的报价为29700元,
所以,解得,
所以m的值为18.
(2)设地面长为y,,
所以墙面面积为,
所以,
因为,当时取等,
所以,最小值为.
(3)对任意的时,方案二都比方案一省钱,
即时,恒成立,
整理得,
因为,,
设,则,
又由对勾函数性质可得在上单调递增,
,
又,所以,
所以方案二都比方案一省钱,m的取值范围为.
20．答案：(1)
(2)证明见详解
(3)
解析：(1)由,
所以
因为函数为偶函数,所以,
所以,
所以,
即,
因为,所以.
(2)证明：由(1)得：,
即
,
令,
对,规定,
由
因为函数在R单调递增,且,
所以,且,
即,
所以,
所以函数在上单调递增,
又函数在上单调递增,
所以在上单调递增,
(3)因为函数是上单调递增的偶函数,
所以,
所以的解集等价于：,
所以有：,
令,则,
所以,
解得：或,
即或,
解得：或,
所以不等式的解集为：.
21．答案：(1)2
(2)在内单调递减,证明见解析
(3)
解析：(1)由于函数为奇函数,
所以,
所以,整理得,即,
所以；
(2)在内单调递减,证明如下：
由上可知,对任意,
则,
因为在R上单调递增,即时,,
所以,所以,
则在内单调递减；
(3)当时,,所以,则,
故,则,
要使在上能成立,
即在上能成立,
则对任意恒成立,
等价于对任意恒成立,
所以,解得,
故实数m的取值范围为.
22．答案：(1)0和1
(2)
(3)
解析：(1)当时,方程可化为,解得或；
所以,函数的不动点为0和1.
(2)方程,即,可化为.
令,则当时,t关于x单调递增,且.
由题意,关于t的方程在上有两个不等实根.
由于对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
且,.
所以,.
综上,实数a的取值范围为.
(3)不等式可化为.
易知,函数在上最大值为,最小值为；
由题意,,,即.
上述不等式可化为.
令,则当时,.
由题意,,不等式恒成立.
函数在上单调递增,最大值为；
函数在上单调递减,最小值为.
所以,,即.
综上,实数a的取值范围为.
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