2026届高考数学二轮复习专题特训 解三角形（含解析）

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2026届高考数学二轮复习专题特训 解三角形
一、选择题
1．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则( )
A. B. C. D.
3．已知四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
4．在中，已知，，，则( )
A.1 B. C. D.3
5．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点的直线交E的左支于A,B两点,若成等差数列,且,则E的离心率是( )
A. B. C. D.3
7．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木柱子，其高为4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与地面的夹角为时，绳索未用尽，再退行米，绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索的长为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
8．已知a，b，c是的三条边且.设函数，则下列结论中错误的是( )
A.存在正数x，使得，，不能作为一个三角形的三条边长
B.存在，，，能作为一个直角三角形的三条边长
C.当是钝角三角形时，函数有零点
D.存在，使得
二、多项选择题
9．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列命题正确的是( )
A.若，则点M是边BC的中点
B.若，，，则有两种形状
C.若，则是等腰或直角三角形
D.若O为的内心，则
10．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( )
A.
B.B的取值范围为
C.的取值范围为
D.的取值范围为
11．已知的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有( )
A.面积的最大值为
B.
C.周长的最大值为6
D.的取值范围为
12．已知的内角所对的边分别为,,,且,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13．已知椭圆（）的离心率为，双曲线的离心率为，且它们有公共焦点，P是它们的一个公共点，若，则_______.
14．双曲线的左、右焦点分别为、.P是双曲线右支上一点,且直线的斜率为2.是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为________.
15．在中,设角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则角B的最大值为________;则的最小值为________.
16．如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且.当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为_______.
四、解答题
17．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)当时，求的内切圆的半径；
(2)求的取值范围.
18．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为，前进后，到达B处测得塔尖的仰角为.试计算东方明珠塔的高度.（精确到）
19．已知在中,内角所对的边分别为,且.
(1)求A；
(2)若的周长为,面积为,求a.
20．在中,角所对的边分别为,且满足.
(1)求角A的大小；
(2)若,求的周长的最大值.
21．如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为.这个人还要走多少路才能到达A城？
22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
(1)求的大小；
(2)如图所示，D为外一点，，，，求外接圆半径R的长.
参考答案
1．答案：B
解析：由,可得,所以,
即,
因为,可得,所以或,
当时,即,此时,可得,不符合题意,舍去;
当时,可得且,
由正弦定理得,
则
,
又由,可得,所以,
即的取值范围.
故选:B.
2．答案：C
解析：由及，
得，
由余弦定理，得，
因为，所以.
故选：C
3．答案：A
解析：如图，取的中点M，的中点E，连接，，
则，，又，
平面，故平面.
由题意可知，，，
，
故，
作于N，则，又，
平面，故平面，
故，
取球心O，连接，则平面，设球O的半径为r，
由题意可得，
得，解得，
故，可得
故选：A
4．答案：D
解析：由余弦定理得，即，，解得.故选D.
5．答案：B
解析：由题意知，.
又，所以，
则，
所以，可得，
则的面积为.
故选：B.
6．答案：A
解析：设,所以,
又因为成等差数列,所以,
所以,所以,
因为,
解得,
所以,
所以为等腰三角形,
即,
化简可得,所以.
故选:A
7．答案：B
解析：如图，，，，，则，
所以
，
所以，
所以，
故绳索的长为米.故选B.
8．答案：D
解析：对于A，取，，当时，
可得，，满足，
此时，，不能作为一个三角形的三条边长，所以A正确.
对于B，取，，当时，可得，
满足，此时，，能作为一个直角三角形的三条边长，所以B正确.
对于C，若是钝角三角形，且，则角C为最大角，且角C为钝角.
由余弦定理得，即，
又由，可得，
因为，且函数在R上连续，
由函数零点存在性定理知，存在，使得，
所以当是钝角三角形时，函数有零点，所以C正确.
对于D，由，
若，则，对任意的，；
若，则且，
令，因为函数，
在上均单调递减，
所以函数在上单调递减，
因为，，
所以对任意的，，
则，所以D错误.
故选：D.
9．答案：CD
解析：对于A，由得，即，所以点B是边CM的中点，故A错误.对于B，由正弦定理得.因为，所以或，所以或，故均为钝角三角形，故B错误.对于C，由及正弦定理得，故.因为，所以或，即或，所以是等腰或直角三角形，故C正确.对于D，如图，以O为坐标原点，角A的平分线所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
设，，，其中，，，，则.由于，不共线，则存在使得，即故所以.另一方面，因为，，，其中R为内切圆的半径，，，，所以，，，所以，故，所以D正确.故选CD.
10．答案：AC
解析：由及余弦定理，得，所以，所以，即，结合正弦定理得.又，所以，即，所以.因为A，B，C为锐角，，即，故A正确.因为所以，则，故B错误.，故C正确..因为，所以.令，，由对勾函数的性质可知在上单调递增，又，，所以，故D错误.选AC.
11．答案：AC
解析：对于A，由余弦定理得，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，故，A正确.对于B，，B错误.对于C，由余弦定理得，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以的周长，即周长的最大值为6，C正确.对于D，.因为，所以，所以，D错误.故选AC.
12．答案：ABD
解析：对于A,由,得,
即,由,,即,
因为,则或,当时,,与矛盾,舍去,
故,又,故,即,故A正确；
对于B,因为,则,
则,即,
故,即,
因为,故B为钝角,令,
令,由,
故在上单调递减,有,,
所以,故B正确；
对于C,因为,,则,
由,得,则,
所以,则,又,则,所以,即,故C错误；
对于D,又,则,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：由椭圆离心率得，，
由双曲线离心率得，，
由椭圆和双曲线有共同焦点得，，
即，故.
设点P在第一象限，由椭圆和双曲线定义得，
，
所以，
由得，，故，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：如下图:由题可知,点p必落在第四象限,,设,
,由,求得,
因为,所以,求得,即,
,由正弦定理可得:,
则由得,
由得,
则,
由双曲线第一定义可得:,,
所以双曲线的方程为.
故答案为:.
15．答案：/;
解析：由题意知,则,
故,
当且仅当时,等号成立,
故角B的最大值为;
,
当且仅当时,等号成立,
由于,
即的最小值为.
故答案为:;
16．答案：
解析：设，，又，
，，所以，
则，，，
又，，
即，整理得，
当且仅当即，时取等，
又在直三棱柱中，，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以，为直角三角形，
且是他们的公共斜边，
所以三棱锥为外接球直径为，
且,
所以三棱锥外接球的表面积为：.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2).
解析：（1）因为，，得，
由及正弦定理得，
由余弦定理得，又，故，
设内切圆的半径为r，则，
解得.
（2）由题意知，，
在中，，
由三角形的三边关系可得得，
令，
由对勾函数的性质可得当时单调递减，
当时，单调递增，
又，，，
所以，所以的取值范围为.
18．答案：高约为
解析：如图：
如图：由于，，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以.
答：东方明珠塔的高度约为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
由正弦定理可得,
又,所以,则,得到,
又,所以.
(2)由(1)知,所以,得,
又因为,又,得,
由的周长为,
所以,整理得到,
解得.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
所以,
因为,所以,
即,即,
所以,
因为,所以,；
(2)由余弦定理及,
得,即,
即,又,即,
所以,即,当且仅当时,等号成立,
所以周长,
所以周长最大值为.
21．答案：
解析：
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）由正弦定理得，
，，，
，，
，
由三角形内角和知，，
则，
代入后化简：，
，，即，
，，
，.
（2）在中，由正弦定理得，
，，
，，，
在中，
，
，是等腰三角形，
，
，
由余弦定理得，
即
，
，
和均为锐角，正弦为正，
，即，
解得，，
由正弦定理得，解得，
的外接圆半径为.
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