豫北创新联盟2025-2026学年上学期期末高一数学试卷（含答案）

豫北创新发展联盟2025—2026学年高一第一次质量检测试题
数 学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则
A. B.
C. D.
4.函数的零点所在区间是
A. B.
C. D.
5.已知一扇形的周长为60，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若函数的图象过点，其反函数的图象过点，则
A.4 B.3 C.6 D.5
7.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是
A. B.
C. D.
8.已知函数，，若，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列选项正确的是
A. 与的终边相同
B. 若是第二象限角，则可能是第三象限角
C. 若角的终边上有一点，且，则
D. 若，则
10. 已知函数，，则
A. 在上单调递减
B. 的图象关于原点对称
C. 在上单调递减
D. 的值域为
11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是
A. 或
B. 若，则关于的不等式的解集为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则函数在时取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知函数则。
13. 在中，若，则。
14. 已知函数是偶函数，则，的最小值为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
（1） 计算：。
（2） 求值：。
（3） 已知，，请用，表示。
16.(15分)
某厂以 的速度匀速生产某种产品，生产条件要求 ，每小时可获得的利润是 元。
（1） 要使生产该产品2 h获得的利润为5600元，求 。
（2） 要使生产100 kg该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值。
17.(15分)
已知 ，，。
（1） 求 的最大值；
（2） 求 的最小值；
（3） 求 的最小值。
18.(17分)
已知函数 。
（1） 若 ，判断 的奇偶性并给予证明。
（2） 设 。
① 讨论 的单调性并证明；
② 解不等式 。
19.(17分)
对于任意两个正数 ，，记曲线 与直线 ，， 轴围成的曲边梯形的面积为 ，并约定 及 ，德国数学家莱布尼茨发现 。
（1） 证明：。
（2） 若 ，试比较 与 的大小。
（3） 若函数 在 上恰有两个零点，求实数 的取值范围。
豫北创新发展联盟2025—2026学年高一第一次质量检测试题
数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 B C A D B B D C BD BD ABD 1 3
【评分细则】
【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.
【2】第9，10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.
【3】第12，13，14题，凡与答案不符的均不得分，第14题，第一空2分，第二空3分.
1.B 【解析】本题考查集合的运算，考查逻辑推理的核心素养.
由题意可得，则.
2.C 【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
3.A 【解析】本题考查指、对数函数的图象，考查直观想象的核心素养.
因为，，，所以.
4.D 【解析】本题考查函数的零点，考查逻辑推理的核心素养.
因为为上的减函数，且，，所以的零点所在区间是.
5.B 【解析】本题考查弧长公式和扇形面积公式，考查数学运算的核心素养.
设该扇形的半径为，弧长为，面积为，则. 因为，所以，当时，该扇形的面积最大，此时，圆心角的弧度数为.
6.B 【解析】本题考查反函数，考查数学运算的核心素养.
由解得，，所以.
7.D 【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查逻辑推理的核心素养.
当时，对任意恒成立；当时，由得. 故的取值范围是.
8.C 【解析】本题考查二次函数和指数函数的图象与性质，考查数学运算的核心素养.
由题意可知，。因为，所以，即。因为，所以，即。由，得。
9.BD 【解析】本题考查任意角与弧度制、三角函数的概念及同角三角函数的基本关系，考查逻辑推理的核心素养。
因为，所以与的终边不相同，故A不正确。
若是第二象限角，则，所以。当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角。故B正确。
若角的终边上有一点，则，解得，故C不正确。
因为，所以，故D正确。
10.BD 【解析】本题考查复合函数的性质，考查数学运算的核心素养。
因为，且在上单调递增，所以在上单调递增，故A不正确；
因为，且的定义域为，所以为奇函数，故B正确；
由，得，所以在上单调递减，故C不正确；
的值域为，D正确。
11.ABD 【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和不等式，考查逻辑推理的核心素养。
易知且，所以或，故A正确；
因为，，，所以，，
所以关于的不等式的解集为，故B正确；
因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故C错误；
因为当时，，二次函数图象的开口向下，且对称轴为直线，所以当时，二次函数取得最大值，故D正确。
12. 【解析】本题考查分段函数求值，考查数学运算的核心素养。
因为，所以。
13. 【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，考查逻辑推理的核心素养。
因为，所以，
所以。因为，
所以。因为，且为的内角，
所以，，所以。由解得
，，所以。
14. ；【解析】本题考查函数的性质和基本不等式的应用，考查数学运算和逻辑推理的核心素养。
因为为偶函数，所以。由，得
，因为有任意性，所以，所以。因为，且，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为。
15.【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学运算的核心素养。
解：（1）原式 2分
。 4分
（2）原式 6分
=5-32=72 8分
（3）因为10a=3，10b=5，所以a=lg3，b=lg5 10分
log218=lg9+lg2lg2=2lg3+lg105lg105=2lg3+1-lg51-lg5=2a-b+11-b 13分
【评分细则】
【1】第（2）问中，结果写成3.5，不扣分.
【2】第（3）问中，结果也可以写成（或），不扣分.
16.【解析】本题考查函数的应用，考查应用意识.
解:(1)由2007x+2-8x=5600, 2分
得7x2-26x-8=(x-4)(7x+2)=0，解得x=4或x=-27 5分
因为1 x 10,所以x=4 7分
（2）生产100 kg该产品获得的利润为100007+2x-8x2元，1 x 10 9分
令，则，......12分
所以当时，取得最大值，最大值为71 250.
故该厂以8的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为71 250元.........15分
【评分细则】
第（2）问还可以这样解答：
生产100 kg该产品获得的利润为100007+2x-8x2元，1 x 10 9分
令t=1x,x∈[1,10]，则t∈110,1 10分
令f(t)=-8t2+2t+7=-8t-182+578,t∈110,1， 12分
则当t=18时，f(t)取得最大值578，此时x=8 13分
因为，
所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为71 250元.......15分
17.【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养.
解：（1）因为，，，
所以12=4a+9b 24a·9b=12ab, 2分
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最大值为1. ………………………………………………………………………… 4分
（2）因为 ，所以 . ……… 6分
因为 ，，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等
号成立，
故 的最小值为 . ………………………………………………………………………… 9分
（3）因为 ，所以
. ………………………………………………………………………… 11分
因为 ，
所以
.
因为 ，，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，…………………………… 14分
故 的最小值为 . ………………………………………………………………………… 15分
【评分细则】
【1】第（1）问还可以这样解答：
因为 ，所以 ， ………………………………………………………………………… 1分
所以 . ………………………………………… 2分
因为 ，，所以 ， ……………………………………………………………… 3分
则当 时， 取得最大值1. ………………………………………………………………………… 4分
【2】第（2）问还可以这样解答：
因为 ，所以 ，所以 ，
则1a+1b=412-9b+99b 5分
因为，，所以。因为，所以
+99b)[(12 9b)+9b]=112(13+36b12 9b+12 9bb) 7分
因为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以412-9b+99b≥2512，即1a+1b的最小值为2512。 9分
18.【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式，考查数学运算和逻辑推理的核心素养。
解：(1)f(x)为奇函数。 1分
当m=3时，f(x)=x32x+2-x,x∈R。 2分
因为f(-x)=(-x)32-x+2x=-x32-x+2x=-f(x)， 4分
所以f(x)为奇函数。 5分
(2)当m=0时，f(x)=12x+2-x(x≠0)， 6分
因为f(-x)=12-x+2x=f(x)，所以f(x)为偶函数。 7分
①令，
则
。 ......
10分
因为，所以。
因为，所以，，所以，，
12分
故f(x)在(0,+∞)上单调递减。结合偶函数图象的特征，可知f(x)在(-∞,0)上单调递增。 13分
②由①知，在上单调递减，在上单调递增，
所以不等式f(x2-5x)>f(6)等价于|x2-5x|<6，且x2-5x≠0， 15分
即解得。 17分
【评分细则】
【1】第（1）问还可以这样解答：
当时，。 1分
因为， 4分
所以为奇函数。 5分
【2】第（2）②问中，若忽略了，则扣2分。
【解析】本题考查函数的解析式和值域，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。
（1）证明：当时，； 1分
当时，，
因为，所以； 3分
当时，，
因为，所以。
综上所述，。 5分
（2）解：因为，
所以。 7分
因为，所以，
所以，故。 10分
（3）解：由题意知，。 11分
因为，所以， 12分
所以在上恰有两个零点等价于关于的方程在上有两个不相等的根，
即直线与函数的图象在上有两个交点。 14分
因为在上单调递减，在上单调递增，所以。 15分
因为，所以，故。 17分
【评分细则】
第（3）问还可以这样解答：
由题意知，。 ………………………………………… 11分
因为，所以， ………………………………………………… 12分
令，则，
所以在上恰有两个零点等价于在上有两个不同的零点。…… 14分
由解得，故实数的取值范围是。……
…………………………………………………………………………………………… 17分