甘肃九师联盟2025-2026学年上学期高三数学1月月考试卷（含答案）

高 三 数 学
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是
A. B.
C. D.
2. 设全集，，则集合
A. B.
C. D.
3. 不等式的解集为
A. B.
C. D.
4. 的展开式中常数项是
A.20 B.15 C.6 D.1
5. 已知等差数列的前项和为，若，则
A.20 B.25 C.30 D.35
6. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则的离心率为
A. B.
C. D.3
7. 设，且，则
A. B.
C. D.
8. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为的正三角形，则四面体的体积的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共\（3\）小题，每小题\（6\）分，共\（18\）分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得\（6\）分，部分选对的得部分分，有选错的得\（0\）分。
9. 已知，，都是实数，下列命题是真命题的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10. 已知曲线：，其中，是实数，且，至少有个大于，则
A. 曲线关于轴对称
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示双曲线
D. 当时，曲线表示两条平行直线
11. 已知函数的定义域，对任意的，，恒有，则下列结论正确的是
A.
B. 是奇函数
C. 若，则
D. 若，则，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知，向量，，若，则的值为。
13. 在中，，，其面积为，则。
14. 设函数，若，则实数的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数，。
（1）求；
（2）设函数，求的单调区间。
16.（本小题满分15分）
在如图所示的直三棱柱中，，，，分别为，的中点。
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小。
17.（本小题满分15分）
已知函数，其中。
（1）当时，求的图象在处的切线方程；
（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围。
18.（本小题满分17分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆与的准线相切.
（1）求的标准方程；
（2）已知是上的一点，是轴上的一点，若的最小值为4，求点的坐标；
（3）过点作直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点，证明：.
19.（本小题满分17分）
某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？
（2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 记次传球后球在乙手中的概率为，，，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若随机变量服从两点分布，且，，，，，则. 记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望.
附：，其中.
高三数学参考答案、提示及评分细则
1.D 的虚部是3. 故选D.
2.C依题意，得 ，而 ，所以 . 故选C.
3.B由 ，得 ，解得 ，所以不等式 的解集为 . 故选B.
4.A 的展开式中常数项是 . 故选A.
5.C等差数列中 ，所以 ，所以 . 故选C.
6.D因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ，离心率 . 故选D.
7.B由诱导公式有 ，故 或 ，解得 或 . 由于 ，故只能是 取 的情形，即 . 故选B.
8.A设球心为 ，因为球 的表面积为 ，所以球的半径 . 因为 的外接圆半径为 ，所以 到平面 的距离 ，所以 到平面 的距离的最大值为3，所以四面体 的体积的最大值为： . 故选A.
9.BD当 ， 时， ，A错误；当 ， 时， ，B正确；当 时， 成立，所以C错误；当 时， ，又 ，所以 ，D正确. 故选BD.
10.ACD显然 适合 的方程，A正确；当 ，取 ， 表示圆，B错误；当 时， ，， 是焦点在 轴上的双曲线；，， 是焦点在 轴上的双曲线，C正确；当 时， ，， 是与 轴平行的两条直线；，， 是与 轴平行的两条直线，D正确. 故选ACD.
11.ABD 中取 得 ，取 ，得 ，故A正确；取 ， 得 ，故B正确；由题意构造函数 ，取 ，，满足 ，此时 ，所以 ，即 ，故C错误；取 ，，得 ，所以 ，又 ，所以 ，，故D正确. 故选ABD.
12. 由 ，得 ，即 ，解得 .
13. 因为 ，所以 ，所以 ，由余弦定理得到 ，解得.
14. ，当时，，在上单调递减，没有极值，当时，由得，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由得.
15. 解：(1)由f(0)=2sinφ=1得sinφ=12， 2分
因为|φ|<π2，所以φ=π6。 4分
（2）由（1）知，
所以g(x)=f(x)-2cos2x=3sin2x+cos2x-2cos2x=2sin2x-π6， 7分
由2kπ-π2 2x-π6 2kπ+π2,k∈Z，得kπ-π6 x kπ+π3,k∈Z， 9分
由2kπ+π2 2x-π6 2kπ+3π2,k∈Z，得kπ+π3 x kπ+5π6,k∈Z， 11分
所以g(x)的单调递增区间为kπ-π6,kπ+π3,k∈Z；单调递减区间为kπ+π3,kπ+5π6,k∈Z。 13分
16.（1）证明：设A1B∩AB1=G，连接FG，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，所以G为A1B的中点， 2分
又F为BC的中点，所以FG∥A1C， 4分
又FG 平面AB1F，A1C 平面AB1F，所以A1C∥平面AB1F。 6分
（2）解：因为三棱柱是直三棱柱，
所以底面，，，
又∠B1A1C1=90°，所以AB⊥AC， 7分
以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，不妨设，则，，，，，
，，
设平面的法向量，
则 取，得，
所以平面AB1F的一个法向量m=(-1,1,1)。 10分
设平面的法向量，则 取，得，，
所以平面AEF的一个法向量n=(1,-1,2)。 13分
因为，所以，
即平面与平面的夹角是． ………………………………………………………………………… 15分
17. 解：（1） 当时，，定义域为，………………………………………………… 1分
所以，，， ………………………………………………………………… 4分
所以的图象在处的切线方程为，
即． ……………………………………………………………………………………………… 6分
（2） 当时，，定义域为，………………………………………………… 7分
所以， …………………………………………………………………………………………… 8分
因为在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
令，则在上必存在变号零点， …………………………………………………………… 9分
因为，
所以， ………………………………………………………………………………………………………… 10分
解得． ……………………………………………………………………………………………………………… 11分
当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得， ……………… 12分
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增， …………………………………………………………… 14分
故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为． ……………………………………………… 15分
18.（1） 解：由题意，设的方程为，准线为， ……………………………………………… 1分
因为圆与的准线相切，且圆心为，半径为， …………………………… 2分
所以，解得， ………………………………………………………………………… 3分
所以的标准方程为． ………………………………………………………………………………………… 4分
（2） 解：设，，，， ……………………………… 6分
当，即时，，解得或（舍去）； ……………………………………… 7分
当，即时，，解得， ………………………………………………… 9分
所以点的坐标为或． ……………………………………………………………………………… 10分
（3） 证明：根据题意，直线的斜率存在，，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得， …………………………………………………… 11分
所以，，， ……………………………………………………………… 12分
对求导，得，
由{y y1=12x1(x x1),y y2=12x2(x x2),解得{x=2k,y= 1,所以M(2k,-1)。 14分
因为，
|FQ|2=x22+(y2-1)2=4y2+(y2-1)2=(y2+1)2， 15分
所以，......16分
又|FM|2=4k2+4，所以|FP|·|FQ|=|FM|2。 17分
19. 解：（1）零假设为H0：是否喜欢排球与性别无关联。 1分
根据表中的数据，经计算得到
=x0.001， 4分
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联。......5分
（2）（ⅰ）由题意知p1=12，pn+1=12(1-pn)+0·pn=-12pn+12， 8分
设，所以，所以，解得，
所以，
又p1-13=16，故数列{pn-13}是以16为首项，-12为公比的等比数列， 9分
所以pn-13=16×-12n-1， 10分
所以pn=13+16×-12n-1，即第n次传球后球在乙手中的概率为13+16×-12n-1。 11分
（ⅱ）因为，，，，，
所以当时，的数学期望
，
即Y的数学期望为3n+19-19×-12n。 17分