北京四中2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含答案）

2025北京四中高三（上）阶段测试
数 学
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
A. B.
C. （D）
5. 已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A. 或
B.
C. 或
D.
6. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时，的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.
8. 已知函数，且函数在，内恰有2025个零点．
则满足条件的有序数对（ ）
A. 有且仅有1对 B. 有且仅有2对 C. 有且仅有3对 D. 有无数对
9. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60 - 90
混合动力汽车 10 50 - 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设、、、、是均含有2个元素的集合，且、，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______
12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______．
13. 已知向量，，若对任意实数，都有，则实数的值为______．
14. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点．
（1）三棱锥的体积是______；
（2）点是侧面内（含边界）的动点，且平面，则线段长度的取值范围是______
15. 在平面直角坐标系中，动直线过点，且与轴交于点，点在直线上，满足，点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线与轴交于点和；
③曲线上的点满足；
④已知点，则曲线上的点满足．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若直线上存在点，使得，求线段的长度．
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：边上的高，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 不同大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对，两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
B款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对A，B两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
（2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用A款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小.
19. 已知椭圆，其中，为椭圆的左焦点.
（1）若椭圆离心率为，求椭圆方程；
（2）点是第一象限内椭圆与直线的公共点，直线与直线交于，直线与轴交于，直线与轴交于，连接，设的面积为，的面积为，试比较与的大小.
20. 设函数，且在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设是曲线在点处的切线方程，若函数是单调函数，求实数的值.
21. 已知有穷整数数列，，，，满足。记集合为，或，或，，，，。若数列，则称数列是的“恒元”。
（1）已知数列，，，，请写出中所有满足的数列；
（2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”？若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
（3）当数列是的“恒元”时，若，，，是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值。
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A B C C D B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.【答案】以点为角的顶点，轴非负半轴为角的始边，设以射线为终边的角为，
则，，以射线为终边的角为，
因此，
所以点的横坐标为。
故答案为：
12.【答案】标准方程的一条渐近线方程为，
则，，
故。
故答案为：，。
13.【答案】根据题意，，，
∵，
∴，
整理得，因，
故，解得。
故答案为：。
14.【答案】（1） ；
（2） 取的中点为，的中点为，的中点为，作图如下：
（注：此处内图1为第14题（2）的作图，需根据实际图片插入）
由图可知，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，，
所以，
因为，，
故平面平面，
因为平面，
所以平面．线段扫过的图形为，
由知，，，
在中，，
即，所以，
所以，即为直角，
故线段长度的取值范围为，即，
故答案为：；．
15.【答案】设点，设点，由可得，
整理可得，
由题意可知直线的斜率存在，又因为、、都在直线上，
由得，故．其中，
将代入可得，
化简得出，
故曲线的方程为，
对于①，在曲线上任取一点，则。
因为，
故点关于轴的对称点也在曲线上，故①正确；
对于②，在曲线中，令可得，解得或（舍去）。
所以曲线与轴交于点，故②错误；
对于③，当时，则有，故，
由可得，由于。解得。
所以，
当时，，故③错误；
对于④，对于曲线，当时，则，
因为点，则
。
当时，设，设，其中。
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，故对任意的，，
故曲线上的点满足，故④正确。
故答案为：①④。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.【答案】（1）
因为平面平面，，，，四点共面，
且平面平面，平面平面，
所以。
（2）
因为平面，是正方形，
则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
得：，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，得：；
设平面的法向量为，
则，
令，得，，得：，
设二面角为，
则，.
故二面角的余弦值为.
如图，已知在上，令（），
由，
，由于，
则，即，解得：.
可得：，则，
即线段的长度为.
17.【答案】（1）
因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，又，
又，所以，得到，所以.
（2）
选条件①：，；
由（1）知，，根据正弦定理知，，
所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件；
选条件②：，
因为，即，
又，
所以，
所以只有成立，存在且唯一确定，
所以的面积为.
选条件③：边上的高，；
如图所示，边上的高，在中，，即，
由（1）知，，根据余弦定理知，，
化简得，得（舍去）或，存在且唯一确定，
所以的面积为。
18.【答案】（1）
由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为；
（2）
由题意可知的可能取值为：，，，，
则，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3
所以；
（3）
同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为，
易知，，
由二项分布的方差公式可知，
，
所以.
19.【答案】（1）
由于，则，
，，
，
（2）
，得，，
，，
，
，，，
，又，，
所以
，，，
，，
20.【答案】（1）
由题意，函数，则，定义域为，
又函数在处的切线方程为，
所以，即，解得；
（2）
由（1）得，，，
令，即，解得或，
结合二次函数的图象性质，可得
当或时，恒成立，所以函数在区间，单调递增，
当时，恒成立，所以函数在区间单调递减，
综上所述，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是；
（3）由题意，是曲线在点处的切线方程，
所以，且切线方程为，即，
所以，，
所以
，
因为，，所以，
令，根据二次函数的图象性质，可得为开口向上的二次函数，
又函数是单调函数，若函数是单调递减函数，则在恒成立，
又，所以在恒成立，与题设矛盾，所以函数不是单调递减函数，
所以函数是单调递增函数，即在恒成立，
又，所以在恒成立，
令，即，解得或，
当，即时，恒成立，即恒成立，
所以函数为单调递增函数，满足题意，
故当时，函数为单调递增函数.
21.【答案】（1）
因为数列，，，，所以中的数列满足，．因为，
所以中所有满足的数列有
，，，；，，，；，，，；，，，．
（2）
假设存在满足条件的数列，
则满足，有，或，或．
所以与同为奇数或同为偶数．
所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列．
（3）
当数列是的“恒元”时，
因为数列中，，，，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为．
不妨记，所以，且．
当时，．
当时，有．
此时，或．
又，所以，，或，．
①当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，。
因为，，所以。所以。
当时，有，，，，所以（舍）。
②当时，有，或，所以，或者。
当时，有，，，，
所以，，，
所以。
当时，有，，，，
所以。所以（舍）。
又由于数列，，，，，，和，，，，，，满足条件。
综上所述，。