湖北省沙市中学高三2025-2026学年上学期1月月考数学试卷（含答案）

2026届高三阶段性测试（二）
数 学
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，请将试卷、答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
2.
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
4. 已知等比数列的前3项和为168，，则
A.14　　　 B.12　　　 C.6　　　 D.3
5. 已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.2
6. 方程的两个不等实根为，，那么过点，的直线与圆的位置关系是
A. 相交
B. 相切或相交
C. 相切
D. 与的大小有关
7. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知为坐标原点，点，，，则
A. B.
C. D.
10. 已知定义在上的函数不是常数函数，且，则
A. B.
C. D.
11. 已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为，点满足，，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则
A. 四边形的周长为定值
B. 四棱锥的体积的最大值为
C. 当时，平面截球所得截面的周长为
D. 当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知随机变量服从正态分布，且。则。
13. 记为数列的前项和。已知，，则数列的通项公式是。
14. 已知中，点在边上，，，。当取得最小值时，。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。
15.（13分）
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，。试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记，，，的样本平均数为，样本方差为。
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
16.（15分）
如图，四面体中，，，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
18.（17分）
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为. 记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
19.（17分）
已知无穷数列满足：，为正整数，且。
（1）若，，求；
（2）证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件；
（3）若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由。
2026届高三阶段性测试（二）
数学参考答案与解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C D A B D D AC ACD
11
ABD
1.【试题来源】2022年新高考二卷第1题
2.【试题来源】2022年新高考二卷第2题
3.【试题来源】2020年新课标一卷（理科）第3题
4.【试题来源】2022年全国乙卷（理科）第8题
5.【试题来源】原创题（考察三角函数的周期性）
6.【试题来源】原创题（考察圆与直线的关系）
7.【试题来源】2015年新课标一卷（理科）第12题
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得
8.【试题来源】2024—2025学年度武汉市部分学校高三年级九月调研第8题
【详解】由椭圆，可得，，，
不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知，
因为，可得，即，
可得，所以，
所以的面积为，可得，解得，
又因为，可得，即，
将点代入椭圆的方程，可得，整理得，
因为，可得，即，
解得和（舍去），即离心率为。
9.【试题来源】2021年新高考一卷第9题
10.【试题来源】2022年新高考一卷第12题深度改编
【详解】对于A：令，则，
即，
又函数不是常数函数，所以，
即，故A正确；
对于B：令，则，
所以，即，故B错误；
对于C：令，，则，
再令，，则，
由可知，当时，，
则，故C正确；
对于D：令，则，所以，
则，，又，
所以，
即，当且仅当时等号成立，故D正确。
11.【试题来源】2021年新高考一卷第12题深度改编
【详解】对于边长为2的正方体，则为棱长为的正四面体，
则球心即为正方体的中心，
连接，设，
，，则为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，，，平面，
平面平面，
对A：如图1，
平面平面，平面平面，平面平面，
，则，即，
同理可得：，，
，，
四边形的周长（定值），A正确；
对B：如图1，由A可知：，，
，，
为正方形，则，
为矩形，
根据平行可得：点到平面的距离，
故四棱锥的体积，
则，
，则当时，则，在上单调递增，
当时，则，在上单调递减，
当时，取到最大值，
故四棱锥的体积的最大值为，B正确；
对C：正四面体的外接球即为正方体的外接球，
其半径，
设平面截球所得截面的圆心为，半径为，
时，，平面过外接球球心，
平面截球所得截面圆半径为，
截面圆周长为，C错误；
对D：如图2，将正四面体绕旋转后得到正四面体，
设，，，，
，则，，，，，分别为各面的中心，
两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成，
根据正方体可得：，正四棱锥的高为，
故公共部分的体积，D正确；
12.【试题来源】2022年新高考二卷第13题
13.【试题来源】2025年全国一卷第13题改编
14.【试题来源】2022年全国甲卷第16题
【详解】
[方法一]：余弦定理
设，
则在中，
，
在中，
，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
[方法二：建系法]
令 ，以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系.
则 ，，
当且仅当，即时等号成立。
[方法三：余弦定理]
设 ，.由余弦定理得
，， 令，则，
，
， 当且仅当，即时等号成立.
[方法四：判别式法]
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时 所以当取最小值时，.
15.（13分）
【试题来源】2023年全国乙卷第17题
【详解】
（1）
，
，
，
的值分别为：9，6，8，，15，11，19，18，20，12，
故
（2）由（1）知：，，故有.
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
16.（15分）
【试题来源】2022年全国乙卷（理科）第18题
【详解】
（1）因为，为的中点，所以；
在和中，因为，，，
所以，所以，又因为为的中点，所以；
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，，所以，
所以，，
设与平面所成的角为，
所以，，
所以与平面所成的角的正弦值为。
17.（15分）
【试题来源】2020年新课标一卷（理科）第22题
【详解】
（1）当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，，单调递减，
当时，，单调递增。
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，，
综上可得，实数的取值范围是.
方法二：特值探路
当时，恒成立.
只需证当时，恒成立.
当时，.
只需证明⑤式成立.
⑤式，
令，
则
，
所以当时，，单调递减；
当单调递增；
当单调递减.
从而，即，⑤式成立.
所以当时，恒成立. 综上.
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调
递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单
调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当
时，成立；
③当即时，，又由②可知
时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
18.（17分）
【试题来源】2019年全国一卷（理科）第22题
【详解】
（1）直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意可知：，，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为，；
(2)
(i)[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】
依题意设，，，
直线的斜率为，则，，
所以。
又，所以，
进而有，即是直角三角形。
[方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】
由题意设，，，则。
因为，，三点共线，所以，
又因为点，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
所以，所以。
（ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】
设，则直线的方程为，联立解得，
所以直线的方程为。
联立直线的方程和椭圆的方程，可得，
则，所以
。
令，即.
注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减
所以当时，.
[方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】
设的中点为，直线的斜率为，则其方程为.
由解得。由（1）得，。直线的方程为
，直线的方程为，联立得，
。
又，从而，进而
。以下同解法一。
19.（17分）
【试题来源】深圳市2025届高三第一次调研考试、2006年北京卷（理科）第20题改编
【详解】
（1）因为对任意成立；
令得，所以，则或，
若，由，则，则或，
若，由，则，则或，
因为，综上所述：或或。
（2）记，，
必要性：若是周期为的周期数列，或，
当时，数列前5项为：，，，，，
由得，该式当且仅当或时成立，
与，为正整数矛盾；
当时，数列前5项为：，，，，，
由得，则或（舍，此时），
因此，，此时数列：，，，，，，，，，，存在，使得，
另一方面：取数列，，，，，，，，其中当时，，
此时数列不是周期数列，
综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件。
（3）不存在，理由如下：
等价于 或 ，
首先说明不存在，使得，否则由得记为，
所以，，，
依此类推得前项为，，，，，，，，（第项），则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立，
其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾。
（i）若 式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时 式成立，其中，
则当时， 式恒成立，此时恒成立，
由此易知当，，因此数列是无界数列，
（ii）若存在无限个正整数使得 式成立，不妨设当且仅当时 式成立，
其中，考虑与，为方便书写记，，
则，，
若，则，
若，则，，，，
则，
此时，
无论哪种情况总有成立，即恒成立，
记，则恒成立，由此易得数列是无界数列，
所以，存在使得，故不存在符合题意的，。