5.5.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学设计

二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、教学目标
（1）能够利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，并能应用，培养数学抽象的核心素养；
（2）掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题，提升数学运算的核心素养。
（3）通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，调动善于发现和勇于探索的科学精神.
2、教学重、难点
（1）教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．
（2）教学难点：二倍角的理解及其灵活运用．
3、教学过程设计
环节1：新知导入
问题1：思考并回答下面的问题
（1）上节课所学的和角公式、差角公式有哪些？还记得我们是如何证明推导出来的吗？
（2）这些公式中的角会有特殊关系吗？若，此时公式应该变成什么样？
师生活动：
1.让学生独自默写出这六个公式，并由一名学生到黑板默写.
2.教师帮助学生回忆和角公式、差角公式的推导过程（利用两角差余弦公式、诱导公式）.
追问：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,如2题中那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
【设计意图】复习导入，利用学过的和差角公式复习迁移到新知识二倍角公式上，淡化对新知识的陌生感，使学生迅速将旧知与新知建立联系，降低探索和推导二倍角公式过程的难度.
环节2：探究新知
问题2：教材220页，探究：、、你能通过利用推导出，，的公式吗？
师生活动：
1.以小组为单位进行讨论探究，选出某一组成员到黑板证明并讲解.
让学生板演得下述二倍角公式：
剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，
如：是的倍角。
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用
【设计意图】任意角得出的两角和差公式，到现在探究两角相等的特殊情况，帮助学生从一般过渡到特殊；在学生已经回顾了两角和差公式的前提下，不难的可以自行推导出二倍角公式；在推导过程中体会化归的数学思想，加深对公式的理解和记忆，衔接接下来的应用.
问题3：思考：二倍角的余弦公式可以用仅含的正弦（余弦）表示吗？
师生活动：
1.教师引导学生回顾同角三角函数的基本关系，即=1；则由上的 可改写成.
2.学生仿照教师，可得到另一种改写结果， .归纳总结，
【设计意图】归纳总结出简单的倍角公式，通过转化的思想得到余弦倍角公式的多种表达方法，培养了学生化归的数学思想，同时初步体会倍角公式的意义.
环节3：新知应用
例1、已知求的值．
师生活动：
1.教师与学生一同分析，已知条件给出的正弦函数值.由于是的二倍角，因此也可考虑使用倍角公式，打开多媒体放映刚刚归纳总结的公式.教师注重提醒：“倍”是描述数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，同理是的二倍等等.
2.学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.
解：由得．
又因为．
于是；
；
.
【设计意图】课本例题辅以教师的讲解，将所学的公式运用到相关问题去，且例题体现了换元的思想，让学生深入理解“倍”的含义，将二倍角公式推广到更广泛的“倍角”中去.例2、在中，，
师生活动：
1.学生独立完成此例题，并由两名学生到黑板解答.
2.教师引导学生考虑2A2B与A，B之间能构成怎么样的关系？提示利用三角形中内角和等于为解题思路，教师下讲台查看学生作答情况，最好选取两名不同解法的学生上黑板解答.点评学生的作答情况有遗漏的加以补充.
解：在中，由，得，
所以
由
于是
【设计意图】例题中运用了同角三角函数的基本关系，且结合了三角形这一内角和为的特殊情况，提醒学生在解决实际问题时要注意分析角度在三角函数中有着确定正负的作用，且运用到了倍角公式，加深了旧知的理解，同时巩固了新知.例题的多种解法则体现了三角函数各个公式恒定转换的奇妙，蕴含着化归这一数学思想方法.
归纳：二倍角公式的应用：
（1）．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．
（2）逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．
主要形式有：，，，等．
二倍角公式变形用：
①升幂公式：
，
，
②降幂公式：
.
环节4：课堂练习
课本223页的练习（1）、（2）题.
师生活动：
1.学生自由完成问题（可讨论或独自完成），由四名学生到黑板解答.
2.练习（1）教师先点拨是的二倍，引导学生考虑使用倍角公式，提醒学生注意的取值范围；练习（2），引导学生可用诱导公式将化简，再考虑使用倍角公式解答.
【设计意图】巩固本节课所学知识，加深学生对倍角公式的理解和记忆.
环节5：课堂小结
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
复习引入新课探究公式推导 二倍角的正弦、余弦、正切公式新知应用例1例2 课堂练习课堂小结作业
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