数学湘教版必修1：函数问题小结
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课件13张PPT。函数问题小结
一、函数定义:
如果A、B是两个非空的数集,那么A到B的映射
f:A→B就叫做A到B的函数.
记作:y=f(x),其中x∈A,y∈B.
原象集合A叫做函数y=f(x)的定义域,
象的集合C(C是B的子集)叫做y=f(x)的值域.
符号f(x)表示:x在f作用下对应的y值.
即y=f(x)表示:y是x的函数.
二、函数的表示法:
1、解析法;
2、图象法;
3、列表法.三、函数是特殊的映射.求函数解析式常见方法:
一、换元法
如已知f(2x-1)=x2,求f(x)
二、待定系数法
如已知二次函数的顶点为(1,2),且过点(-1,3)求解析式.
三、消元法
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2x+5,
求f(x)、g(x).
四、赋值法
如已知对一切实数x、y,函数f(x)满足:
f(xy)=f(x)+f(y),求f(0).函数的单调性一、证明函数f(x)在区间Ⅰ上是增(减)函数步骤:
①任取x1、x2∈Ⅰ,且x1 ②作差f(x1)-f(x2),并变形(分解因式或配方);
③判断符号;
④据定义下结论.
二、分解因式的目标是:出现x1-x2;函数的奇偶性掌握一些简单函数奇偶性的判断方法:
a.定义法:
①看定义域是否关于原点对称;
②看f(-x)与±f(x)相等.
b.图象法:
看图象是否关于原点或y轴对称.
c. f(x)是奇函数且在原点有定义，
则 f(0)=0二次函数图象与性质一、理解：
二次函数的三种表达式
一般式:
顶点式:
截距式:13二、识记：顶点:对称轴:x= ①loga1=0;②logaa=1;
③alogaN=N ;④ logaab=b.指数与对数a>0且a≠1;N>0如果M、N>0,a>0且a≠1,则:
① loga(MN) =logaM+ logaN ;
② loga(M÷N ) =logaM－ logaN ;
③ logaMn=nlogaM (n∈R).ar ·as =ar+s ;
(ar )s=ars;
(a b)r =ar bra n为奇数 ｜a｜ n为偶数 (a、c>0且a、c≠1)指数函数、对数函数主要内容2.利用指、对数函数的性质比较数的大小.
3.利用性质讨论复合函数的性质.
4.明确等价转化、数形结合、分类讨论的数学思想的应用.
5.利用性质定正负: 1.指(对)数函数的图象幂函数的图象:(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)一般幂函数的性质: ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.
★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异. 例1 某商人如果将进价每件8元的商品按每件10元售出时,每天可销售100件.现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,据估计,这种商品每件每涨1元,其销售数就减少10个.问他将售价定为多少元时,才能使赚得的利润最大？分析:设售价定为x元/件每件涨了x－10元销售数减少10×(x－10)利润y=(x－8)[100－10×(x－10)]
= －10[(x－14)2 －36]100－10×(x－10)>0且x≥10
∴x∈[10,20)当x =14元时, ymin =360 元.为100－10×(x－10)分析:①f(x)定义域为Rax2 +ax+1>0对x∈R恒成立a∈[0,4)a=0时,f(x)=lg1=0,∴值域为{0};
a∈(0,4)时,∵ ax2 +ax+1=a(x+0.5) 2 +1－a/4≥1-a/4
∴f(x)值域为[lg(1－a/4),+∞)分析②:
令y=lg t , t= ax2 +ax+1, x∈f(x)的定义域Df(x)值域为Rx∈D时, t= ax2 +ax+1的值域为(0,+∞)
a>0且
1-a/4≤0a≥4时,f(x)的值域为R,定义域为a≥4→待求！a≤0不合要求;
a>0时t= ax2 +ax+1的图象为:
一、函数定义:
如果A、B是两个非空的数集,那么A到B的映射
f:A→B就叫做A到B的函数.
记作:y=f(x),其中x∈A,y∈B.
原象集合A叫做函数y=f(x)的定义域,
象的集合C(C是B的子集)叫做y=f(x)的值域.
符号f(x)表示:x在f作用下对应的y值.
即y=f(x)表示:y是x的函数.
二、函数的表示法:
1、解析法;
2、图象法;
3、列表法.三、函数是特殊的映射.求函数解析式常见方法:
一、换元法
如已知f(2x-1)=x2,求f(x)
二、待定系数法
如已知二次函数的顶点为(1,2),且过点(-1,3)求解析式.
三、消元法
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=2x+5,
求f(x)、g(x).
四、赋值法
如已知对一切实数x、y,函数f(x)满足:
f(xy)=f(x)+f(y),求f(0).函数的单调性一、证明函数f(x)在区间Ⅰ上是增(减)函数步骤:
①任取x1、x2∈Ⅰ,且x1
③判断符号;
④据定义下结论.
二、分解因式的目标是:出现x1-x2;函数的奇偶性掌握一些简单函数奇偶性的判断方法:
a.定义法:
①看定义域是否关于原点对称;
②看f(-x)与±f(x)相等.
b.图象法:
看图象是否关于原点或y轴对称.
c. f(x)是奇函数且在原点有定义，
则 f(0)=0二次函数图象与性质一、理解：
二次函数的三种表达式
一般式:
顶点式:
截距式:13二、识记：顶点:对称轴:x= ①loga1=0;②logaa=1;
③alogaN=N ;④ logaab=b.指数与对数a>0且a≠1;N>0如果M、N>0,a>0且a≠1,则:
① loga(MN) =logaM+ logaN ;
② loga(M÷N ) =logaM－ logaN ;
③ logaMn=nlogaM (n∈R).ar ·as =ar+s ;
(ar )s=ars;
(a b)r =ar bra n为奇数 ｜a｜ n为偶数 (a、c>0且a、c≠1)指数函数、对数函数主要内容2.利用指、对数函数的性质比较数的大小.
3.利用性质讨论复合函数的性质.
4.明确等价转化、数形结合、分类讨论的数学思想的应用.
5.利用性质定正负: 1.指(对)数函数的图象幂函数的图象:(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)一般幂函数的性质: ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1).
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数.
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.
★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异. 例1 某商人如果将进价每件8元的商品按每件10元售出时,每天可销售100件.现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,据估计,这种商品每件每涨1元,其销售数就减少10个.问他将售价定为多少元时,才能使赚得的利润最大？分析:设售价定为x元/件每件涨了x－10元销售数减少10×(x－10)利润y=(x－8)[100－10×(x－10)]
= －10[(x－14)2 －36]100－10×(x－10)>0且x≥10
∴x∈[10,20)当x =14元时, ymin =360 元.为100－10×(x－10)分析:①f(x)定义域为Rax2 +ax+1>0对x∈R恒成立a∈[0,4)a=0时,f(x)=lg1=0,∴值域为{0};
a∈(0,4)时,∵ ax2 +ax+1=a(x+0.5) 2 +1－a/4≥1-a/4
∴f(x)值域为[lg(1－a/4),+∞)分析②:
令y=lg t , t= ax2 +ax+1, x∈f(x)的定义域Df(x)值域为Rx∈D时, t= ax2 +ax+1的值域为(0,+∞)
a>0且
1-a/4≤0a≥4时,f(x)的值域为R,定义域为a≥4→待求！a≤0不合要求;
a>0时t= ax2 +ax+1的图象为: