第1讲 小题研透——三角函数的图象与性质
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
图象变换（三角函数图象的平移、伸缩变换） 主要以选择题、填空题的形式考查三角函数的图象变换及解析式，利用三角函数的性质求参数、最值、值域、单调区间及对称性，也可能出现在解答题的一问，难度中等偏下
图象识别（辨别函数图象、求解析式中参数值）
图象、性质应用（判断零点个数、解不等式、考查最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性等）
二、真题感悟
1.（2023·全国乙卷理6题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）（三角函数的图象与性质）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（ ）
A.f（x）与g（x）有相同的零点
B.f（x）与g（x）有相同的最大值
C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
3.（2023·新高考Ⅱ卷16题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝ .
重｜难｜排｜查
1.正弦、余弦、正切函数的单调性及对称性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象的对称性 对称中心 （kπ，0），k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 直线x＝kπ＋ ，k∈Z 直线x＝kπ， k∈Z 无对称轴
单调性 单调递增区间：［2kπ－，2kπ＋ ］，k∈Z； 单调递减区间： ［2kπ＋，2kπ＋ ］，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递 增区间： （kπ－， kπ＋）， k∈Z； 无单调递 减区间
最值 当x＝2kπ－，k∈Z时，y取最小值－1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y取最大值1 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y取最小值－1；当x＝2kπ，k∈Z时，y取最大值1 无最值
易错提醒 y＝tan x在整个定义域内不单调.
2.三角函数图象的两种常见变换
（1）y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）；
（2）y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）.
易错提醒 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化.
3.与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）.
三角函数的定义与诱导公式
【例1】 （1）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知角α（0°＜α＜360°）的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为（sin 310°，cos 310°），则α＝（ ）
A.130° B.140°
C.220° D.230°
（2）（2024·湖北六校新高考联盟学校联考）若实数α满足cos α＝tan α，则＋cos4α＝（ ）
A.2 B. C. D.1
听课记录
感悟提升
利用公式进行化简求值的策略
（1）利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤：去负—脱周—化锐；
（2）利用同角三角函数的关系化简的原则：化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
（2024·上饶清源学校段考）已知0＜α＜，且sin（α－）＝，则sin（－α）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
三角函数的图象与解析式
【例2】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
（2）（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）＝2cos（2x－）
B.满足f（x）＞1的x的取值范围为（kπ，kπ＋）（k∈Z）
C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴为直线x＝
D.函数f（x）与g（x）＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称
听课记录
感悟提升
由“图”定“式”找“对应”的方法
求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方法：
（1）最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝；
（2）T定ω：由周期的求解公式T＝，可得｜ω｜＝；
（3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
提醒 由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，需平移个单位长度，而不是｜φ｜个单位长度.
1.设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则（ ）
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝
2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（φ）＝（ ）
A.4 B.3 C.2 D.0
三角函数的性质及应用
【例3】 （1）（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）为偶函数
B.曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在区间（，）上单调递增
D.f（x）的最小值为－2
（2）（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2sin（3x＋φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为－，则t的最大值为 .
听课记录
感悟提升
研究三角函数性质的思路
（1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝sin x的性质求解；
（2）三类问题：
①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间；
②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值；
③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝Asin（ωx＋φ）的零点进行判断.
提醒 尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误.
1.（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝sin 3（ωx＋）的最小正周期为π，则f（x）在［－，］的最小值为（ ）
A.－ B.－
C.0 D.
2.已知函数f（x）＝asin ax＋acos ax＋b（a＞0）的值域为[－1，3]，则f（x）的单调递增区间为 .
5 / 5第1讲 小题研透——三角函数的图象与性质
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
图象变换（三角函数图象的平移、伸缩变换） 主要以选择题、填空题的形式考查三角函数的图象变换及解析式，利用三角函数的性质求参数、最值、值域、单调区间及对称性，也可能出现在解答题的一问，难度中等偏下
图象识别（辨别函数图象、求解析式中参数值）
图象、性质应用（判断零点个数、解不等式、考查最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性等）
二、真题感悟
1.（2023·全国乙卷理6题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
解析：D 由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.
2.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）（三角函数的图象与性质）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（ ）
A.f（x）与g（x）有相同的零点
B.f（x）与g（x）有相同的最大值
C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
解析：BC A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋ x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C.
3.（2023·新高考Ⅱ卷16题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝－.
解析：由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－.
重｜难｜排｜查
1.正弦、余弦、正切函数的单调性及对称性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象的对称性 对称中心 （kπ，0），k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴
单调性 单调递增区间：［2kπ－，2kπ＋ ］，k∈Z； 单调递减区间：［2kπ＋，2kπ＋ ］，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递增区间： （kπ－，kπ＋），k∈Z； 无单调递减区间
最值 当x＝2kπ－，k∈Z时，y取最小值－1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y取最大值1 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y取最小值－1；当x＝2kπ，k∈Z时，y取最大值1 无最值
易错提醒 y＝tan x在整个定义域内不单调.
2.三角函数图象的两种常见变换
（1）y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）；
（2）y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）.
易错提醒 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化.
3.与三角函数的奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；
（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）.
三角函数的定义与诱导公式
【例1】 （1）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知角α（0°＜α＜360°）的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为（sin 310°，cos 310°），则α＝（ B ）
A.130° B.140°
C.220° D.230°
（2）（2024·湖北六校新高考联盟学校联考）若实数α满足cos α＝tan α，则＋cos4α＝（ A ）
A.2 B.
C. D.1
解析：（1）法一 根据诱导公式有sin 310°＝cos（90°－310°）＝cos（－220°），cos 310°＝sin（90°－310°）＝sin（－220°），所以α＝－220°＋k·360°，k∈Z，又因为0°＜α＜360°，所以α＝－220°＋360°＝140°，故选B.
法二（排除法） 因为sin 310°＜0，cos 310°＞0，所以点A在第二象限，排除C、D；又因为cos 130°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，排除A.故选B.
（2）由cos α＝tan α＝，得cos2α＝sin α.又cos2α＋sin2α＝1，所以＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝1＋sin α＋sin2α＝1＋cos2α＋sin2α＝2.
感悟提升
利用公式进行化简求值的策略
（1）利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤：去负—脱周—化锐；
（2）利用同角三角函数的关系化简的原则：化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
（2024·上饶清源学校段考）已知0＜α＜，且sin（α－）＝，则sin（－α）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：C 因为0＜α＜，所以－＜α－＜，又sin（α－）＝，所以cos（α－）＝＝，sin（－α）＝sin（＋－α）＝cos（－α）＝cos（α－）＝.故选C.
三角函数的图象与解析式
【例2】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（ C ）
A.3 B.4
C.6 D.8
（2）（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.f（x）＝2cos（2x－）
B.满足f（x）＞1的x的取值范围为（kπ，kπ＋）（k∈Z）
C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴为直线x＝
D.函数f（x）与g（x）＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称
解析：（1）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）对于A，由题图可得，A＝2，最小正周期T＝2×（π－π）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.由“五点作图法”知点（－，0）为第一个点，所以－×2＋φ＝0，所以φ＝.所以f（x）＝2sin（2x＋）＝2cos（2x－），故A正确；对于B，由f（x）＝2sin（2x＋）＞1可得sin（2x＋）＞，所以2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋（k∈Z），解得x∈（kπ，kπ＋）（k∈Z），故B正确；对于C，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y＝2sin［2（x－）＋］＝2sin 2x的图象.由2x＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），而方程＋＝（k∈Z）无解，所以直线x＝不是该函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为f（－x）＝2sin（－2x＋）＝－2cos 2x＝g（x），所以函数f（x）与g（x）＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称，故D正确.综上所述，选A、B、D.
感悟提升
由“图”定“式”找“对应”的方法
求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方法：
（1）最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝；
（2）T定ω：由周期的求解公式T＝，可得｜ω｜＝；
（3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
提醒 由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，需平移个单位长度，而不是｜φ｜个单位长度.
1.设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则（ ）
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝
解析：C 将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y＝f（x－）＝sin［ω（x－）＋φ］＝sin（ωx－ω＋φ）的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin（x－ω＋φ）的图象，由于得到的函数的图象与y＝cos x图象重合，故ω＝2，－ω＋φ＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝，故选C.
2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（φ）＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.0
解析：A 由题图可知，A＝B＝2，∵f（0）＝2sin φ＋2＝3，∴sin φ＝.∵0＜φ＜π，且点（0，3）的横坐标x＝0在f（x）的一个递减区间内，∴φ＝.根据五点作图法可知，×ω＋＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋）＋2，f（φ）＝2sin（2×＋）＋2＝2sin＋2＝4，故选A.
三角函数的性质及应用
【例3】 （1）（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ AC ）
A.函数f（x－）为偶函数
B.曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在区间（，）上单调递增
D.f（x）的最小值为－2
（2）（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2sin（3x＋φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为－，则t的最大值为.
解析：（1）f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.对于A，f（x－）＝－sin 2（x－）＝－sin（2x－）＝cos 2x，故函数f（x－）为偶函数，选项A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，选项B错误；对于C，令t＝2x，则当x∈（，）时，t＝2x∈（，π），因为y＝sin t在（，π）上单调递减，所以y＝－sin t在（，π）上单调递增，即f（x）在（，）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数f（x）＝－sin 2x的最小值为－，故选项D错误.综上所述，选A、C.
（2）因为函数f（x）＝2sin（3x＋φ）图象的对称轴为x＝，所以3×＋φ＝kπ＋（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以k＝0，φ＝－，所以函数f（x）＝2sin（3x－），当x∈[0，t]时，3x－∈［－，3t－］，因为函数f（x）的最小值为－，所以－＜3t－≤，解得0＜t≤，所以t的最大值为.
感悟提升
研究三角函数性质的思路
（1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝sin x的性质求解；
（2）三类问题：
①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间；
②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值；
③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝Asin（ωx＋φ）的零点进行判断.
提醒 尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误.
1.（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝sin 3（ωx＋）的最小正周期为π，则f（x）在［－，］的最小值为（ ）
A.－ B.－ C.0 D.
解析：A 由f（x）的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f（x）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.当x∈［－，］时，2x∈［－，］，sin 2x∈［－，］，－sin 2x∈［－，］，所以f（x）min＝－，故选A.
2.已知函数f（x）＝asin ax＋acos ax＋b（a＞0）的值域为[－1，3]，则f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
解析：f（x）＝asin ax＋acos ax＋b＝asin（ax＋）＋b.因为a＞0，且函数f（x）的值域为[－1，3]，则解得所以f（x）＝2sin（2x＋）＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），因此，函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
1.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，则cos α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：B ∵角α的终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－2，∴＝－2，∴x＝－2，∴cos α＝＝－，故选B.
2.若f（x）＝sin（ 2x＋）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为（ ）
A.（0，］ B.（0，］
C.（0，］ D.（0，π]
解析：A ∵0∈[－t，t]，∴只需考虑正弦型函数的含0的单调递增区间.由－≤2x＋≤，得－≤x≤，∴－≤－t＜t≤，解得0＜t≤.
3.（2024·北京高考6题）设函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B 因为f（x）＝sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f（x2）＝1，｜x1－x2｜min＝，所以f（x）的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.
4.（多选）将函数y＝sin（3x－）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则φ的值可能为（ ）
A. B.
C. D.
解析：BC 将函数y＝sin（3x－）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到y＝sin（3x－3φ－）的图象，因为函数y＝sin（3x－3φ－）为奇函数，所以－3φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，结合选项，故选B、C.
5.如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，A＞0，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14].
解析：从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，所以A＝×（30－10）＝10，b＝×（30＋10）＝20.又×＝14－6，所以ω＝.又×6＋φ＝＋2kπ，k∈Z，0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14].
6.古代文人墨客善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇环如图，其中外弧线的长为60 cm，内弧线的长为20 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，则该扇环所在扇形的中心角的弧度数为.
解析：如图，依题意可得的长为60 cm，的长为20 cm.设扇形AOB的中心角的弧度数为α，则＝α·OA，＝α·OC，所以＝＝3，即OA＝3OC.因为AC＝18 cm，所以OC＝9 cm，所以该扇环所在的扇形的中心角的弧度数α＝＝.
7.已知a＝（sin α，1－4cos 2α），b＝（1，3sin α－2），α∈（0，）.若a∥b，则tan（α－）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：B 因为a∥b，所以1－4cos 2α＝sin α（3sin α－2），即1－4（1－2sin2α）＝3sin2α－2sin α，所以5sin2α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝或sin α＝－1.又α∈（0，），所以sin α＝，所以tan α＝，所以tan（α－）＝＝＝－.故选B.
8.（2024·武汉华中师范大学附属中学期中）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ）
A.y＝f（2x－） B.y＝f（－）
C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1）
解析：D 由题图1、2知，函数的周期先变为原来的倍，得到的图象再向右平移个单位长度，所以得到y＝f（2x－1）的图象.故选D.
9.已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称，将函数y＝g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在x∈［0，］时的值域为（ ）
A.［－，］ B.［－1，］
C.［－，1］ D.[0，1]
解析：C 由函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称得，g（x）＝－sin 2x，因为将函数y＝g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，所以f（x）＝－sin 2（x－）＝－sin（2x－），则当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，所以sin（2x－）∈［－1，］，所以f（x）∈［－，1］.故选C.
10.（2024·湘豫名校联考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1（ω∈N*，－π＜φ＜－）的图象过原点，且关于点（，1）对称，若函数f（x）在［0，］上单调，则f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 因为f（0）＝2sin φ＋1＝0，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，k∈Z.又－π＜φ＜－，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin（ωx－）＋1.因为f（x）的图象关于点（，1）对称，所以ω－＝kπ，k∈Z，所以ω＝＋6，k∈Z.因为x∈［0，］，ω＞0，所以ωx－∈［－，－］.又函数f（x）在［0，］上单调，所以 0＜ω≤6.因为ω∈N*，所以当k＝0时，ω＝6.因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，所以＝×＝.故选D.
11.（多选）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.函数f（x）的最小正周期为
B.sin φ＝
C.f（x）＝tan（2x＋）
D.函数f（x）图象的对称中心是点（＋，0）（k∈Z）
解析：ABC 由图象可知，函数f（x）的最小正周期为T＝2×（－）＝，故A正确；由ω＝＝＝2得f（x）＝Atan（2x＋φ），∴f（）＝Atan（2×＋φ）＝0，∴＋φ＝kπ（k∈Z），∴φ＝kπ－（k∈Z），又∵｜φ｜＜，∴φ＝，∴sin φ＝，故B正确；由题图得点（0，1）在f（x）图象上，则f（0）＝Atan＝1，∴A＝1.∴f（x）＝tan（2x＋），故C正确；∵f（x）＝tan（2x＋），令2x＋＝（k∈Z），∴x＝－＋（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为点（＋，0）（k∈Z），故D错误.
12.（多选）（2024·福建适应性练习卷）在平面直角坐标系xOy中，角φ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（1，－），函数f（x）＝sin（2x＋φ），则（ ）
A.f（x）的图象关于直线x＝－对称
B.f（x）的图象关于点（，0）对称
C.f（x）在（－，）内恰有一个极大值点
D.f（x）在（，）上单调递减
解析：AD 由题意得sin φ＝－且φ的终边在第四象限，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因此f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－）.对于A，当x＝－时，2x－＝2×（－）－＝－，f（－）＝sin（－）＝－1，所以f（x）的图象关于直线x＝－对称，故A正确；对于B，当x＝时，2x－＝2×－＝－，所以f（）＝sin（－）＝－≠0，所以f（x）的图象不关于点（，0）对称，故B错误；对于C，当x∈（－，）时，2x－∈（－，），结合y＝sin x在（－，）上的图象可知f（x）在（－，）内有极小值点，无极大值点，故C错误；对于D，当x∈（，）时，2x－∈（，），结合y＝sin x在（，）上的图象知f（x）在（，）上单调递减，故D正确.综上，选A、D.
13.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ ω＞0，φ∈）的部分图象如图，其中f（0）＝1，MN＝，则点M的坐标为（－1，2）.
解析：∵f（0）＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.∵φ∈，∴φ＝.又MN＝＝，且ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝2sin.令2sin（x＋）＝2，结合题图得x＋＝，解得x＝－1，故点M的坐标为（－1，2）.
14.（2024·合肥第一中学教学质量检测）已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则＝－.
解析：因为sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，所以解得m＜－2或m＞.因为sin2α＋cos2α＝（）2＋（－）2＝＝1，整理得2m2－7m＋3＝0，即（2m－1）（m－3）＝0，解得m＝（舍去）或m＝3，所以sin α＝＝，cos α＝－＝－，所以tan α＝＝×（－）＝－，因此＝＝－1＋＝－1－＝－.
15.（2024·沈阳第四十中学月考）如图，已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的图象与x轴的交点中，离y轴最近的是点M，点N为y＝f（x）图象的一个最高点，若点M，N均在函数g（x）＝－3x2＋x＋2的图象上，则φ＝.
解析：令g（x）＝0，得x1＝1，x2＝－.∵离y轴最近的是点M，∴M（－，0）.令g（x）＝2，得x'1＝0，x'2＝.当N（0，2）时，易得φ＝（舍去），∴N（，2）.∵由题意及图象可知，＝－（－）＝1，∴T＝4，ω＝，又∵f（x）＝2sin（ωx＋φ）＝2sin［ω（x＋）］，∴函数f（x）的图象是由y＝2sin ωx的图象向左平移了个单位长度得到的且｜φ｜＜，即＝－xM＝，∴φ＝ω＝.
16.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC.若BC＝2，AC＝2，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则·的最大值为（ ）
A.2 B.＋
C.2 D.4
解析：B 如图，分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B（2，0），O1（，0），O2（0，1），E（，－），半圆弧的方程为x2＋（y－1）2＝1（x≤0）.设F（cos θ，1＋sin θ），≤θ≤，则＝（－，－），＝（cos θ，－1＋sin θ）.所以·＝－cos θ＋－sin θ＝－sin（θ＋）.因为≤θ≤，所以≤θ＋≤，当θ＝时，sin（θ＋）取得最小值－1，此时·取得最大值＋.故选B.
17.（多选）（2024·南京、盐城调研测试）已知函数f（x）＝asin πx＋bcos πx（b＞0）的图象关于点（，0）对称，若｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f（x3）－f（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b（0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6），则下列说法中正确的有（ ）
A.a＝－b B.函数f（x）的最大值为4b
C.｜x1－x2｜的最小值为1 D.xi的最小值为10
解析：AC 对于选项A，∵f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（）＝0，即a＋b＝0，∴a＝－b，故A正确；对于选项B，f（x）＝－bsin πx＋bcos πx＝2bcos（πx＋），又∵b＞0，∴f（x）的最大值为2b，最小值为－2b，故B错误；对于选项C，由｜f（x1）－f（x2）｜＝4b，则可推断f（x1）与f（x2）一个是最大值，另一个是最小值，∴｜x1－x2｜的最小值为＝＝1（T为f（x）的最小正周期），故C正确；对于选项D，
作出f（x）的大致图象，如图所示，令πx＋＝kπ，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴方程为x＝k－，k∈Z，结合C中分析与｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f（x3）－f（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b得当xi最小时，f（x1）＝f（x3）＝f（x5）＝－2b，f（x2）＝f（x4）＝f（x6）＝2b，∴对应的x1，x2，…，x6如图所示，即xi的最小值为（1－）＋（2－）＋…＋（6－）＝19，故D错误.
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