复习讲义部分
第一篇 主攻篇
专题一 基础知识
第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.A 法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
2.A 法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3.C 法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
5.B 对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
6.C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）A （2）A 解析：（1）因为2∈A且1 A，所以解得m∈（，］，故选A.
（2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
跟踪训练
1.C 由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
2.B 因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
3.AB 对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝A∪B.又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B.
【例2】 （1）D （2）C 解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D.
（2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C.
跟踪训练
1.B 法一 由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B.
法二 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜
＝
＝
＝＝，故选B.
2.AD 因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D.
【例3】 （1）C （2）必要不充分
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
跟踪训练
1.A 由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A.
2.B 对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
第2讲 小题研透——不等式
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 法一 当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二 令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
2.A 由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A.
3.BC 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
【研透高考·攻重点】
【例1】 D 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
跟踪训练
ABD 由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确.
【例2】 D 当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
跟踪训练
1.A 由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
2.[－1，0）∪（6，7] 解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
【例3】 （1）B （2）C 解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C.
跟踪训练
1.B 由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B.
2.BCD 对于A，＋＝（＋）·（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
第3讲 小题研透——平面向量
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2.D 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3.C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）B （2） 解析：（1）
如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B.
（2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝.
跟踪训练
1.－ 解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝.
2.等边 解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
【例2】 （1）B （2）B 解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
（2）
作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B.
跟踪训练
－ 解析：
如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
【例3】 （1）－1 （2） －
解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1.
（2）
以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.
跟踪训练
1.A
如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A.
2.B 由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B.
培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
【例1】 （1）A （2）[0，2] 解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A.
（2）
当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2].
跟踪训练
1. 解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝.
2.－ 解析：
如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－.
【例2】 （1）C （2）C 解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）法一 延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4.
法二（奔驰定理法） 根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝ m＝4.
跟踪训练
1.C ＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
2.解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝.
1 / 3培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
极化恒等式及应用
极化恒等式：已知a，b是两个平面向量，a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2].
变式：a·b＝－，a·b＝－.
（1）平行四边形形式：平行四边形ABCD中，·＝（－）；
（2）三角形形式：△ABC中，·＝－（O为BC的中点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差.
【例1】 （1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
（2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是 .
听课记录
感悟提升
利用极化恒等式快速求解平面向量问题的高分大招
适用范围：①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接转化；②不共起点和不共终点的两向量的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.在确定求数量积的两个向量共起点的情况下，可使用如下大招：
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝ .
2.已知AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（＋）·的最小值是 .
“奔驰定理”与三角形的四心
1.奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
2.“奔驰定理”与三角形的“四心”（四心在三角形内部）
（1）O是△ABC的重心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1 ＋＋＝0；
（2）O是△ABC的内心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c a＋b＋c＝0；
（3）O是△ABC的外心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0；
（4）O是△ABC的垂心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C tan A·＋tan B·＋tan C·＝0.
【例2】 （1）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且｜｜＝｜｜＝｜｜，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
（2）已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
听课记录
感悟提升
1.已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0（x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0），则有：
（1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜；
（2）＝｜｜，＝｜｜，＝｜｜.
2.涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
1.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，求x＋y的最大值.
2 / 2培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
极化恒等式及应用
极化恒等式：已知a，b是两个平面向量，a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2].
变式：a·b＝－，a·b＝－.
（1）平行四边形形式：平行四边形ABCD中，·＝（－）；
（2）三角形形式：△ABC中，·＝－（O为BC的中点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差.
【例1】 （1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（ A ）
A.1 B.2 C.3 D.5
（2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是[0，2].
解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A.
（2）当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2].
感悟提升
利用极化恒等式快速求解平面向量问题的高分大招
适用范围：①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接转化；②不共起点和不共终点的两向量的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.在确定求数量积的两个向量共起点的情况下，可使用如下大招：
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝.
解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝.
2.已知AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（＋）·的最小值是－.
解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－.
“奔驰定理”与三角形的四心
1.奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
2.“奔驰定理”与三角形的“四心”（四心在三角形内部）
（1）O是△ABC的重心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1 ＋＋＝0；
（2）O是△ABC的内心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c a＋b＋c＝0；
（3）O是△ABC的外心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0；
（4）O是△ABC的垂心 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C tan A·＋tan B·＋tan C·＝0.
【例2】 （1）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且｜｜＝｜｜＝｜｜，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的（ C ）
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
（2）已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m＝（ C ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）法一 延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4.
法二（奔驰定理法） 根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝ m＝4.
感悟提升
1.已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0（x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0），则有：
（1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜；
（2）＝｜｜，＝｜｜，＝｜｜.
2.涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
1.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：C ＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
2.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，求x＋y的最大值.
解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝.
1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
解析：B 由极化恒等式得·＝－＝－1＝－.
2.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
解析：A 根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2（＋）＋4（＋）＝0，整理得＝＋.故选A.
3.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是（ ）
A. B.2
C. D.
解析：B 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝－＝｜｜2－，所以当P与A（B）重合时，｜｜＝最大，从而（·）max＝2.
4.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（ ＋），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析：B ∵－＝，∴＝λ（ ＋），令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵＝λ，∴，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
5.△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2，则△BGC的面积为（ ）
A.12 B.8
C.4 D.4
解析：C cos A＝＝＝，又A∈（0，π），∴A＝，∴S△ABC＝×6×8×sin ＝12，又G为△ABC的重心，∴＋＋＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝S△ABC＝4.
6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值为（ ）
A.－2 B.－
C.－ D.－1
解析：B 取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·（＋）＝2·＝2（｜｜2－｜｜2）＝2［｜｜2－（）2］≥2×（0－）＝－，当且仅当｜｜＝0时，取等号，∴·（＋）的最小值为－.
7.（多选）如图，设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
解析：AC 由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以2＋2＋＝0，＝＝.由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以＝＝，＝.
8.（多选）已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则（ ）
A.·＝－ B.存在点P，使｜｜＜｜｜
C.·＝0 D.AC＝BC
解析：AD 如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有·＝－，·＝－.又·≥·，所以｜｜≥｜｜，A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以·≠0，C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确.
9.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，则△ABC的外接圆面积为.
解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2＋2＋3＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝（a＋b＋c）·r，∴×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cos C＝－，sin C＝，又2R＝＝ R＝＝，∴外接圆面积S＝πR2＝.
10.已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则＝.
解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝.
6 / 6
