第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
集合间的基本关系及基本运算 集合、复数在高考中一般单独考查，主要为选择题，难度很小，考查集合及复数基本概念及运算；常用逻辑用语多以其他知识模块为背景，考查充要条件的判断及含量词的命题的否定，试题主要为选择题或填空题
复数的概念、四则运算及几何意义
常用逻辑用语（充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题及否定）
二、真题感悟
1.（2024·新高考Ⅰ卷1题）（集合的交集运算）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
2.（2023·全国甲卷理1题）（集合的并、补集运算）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}
B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
D.
3.（2024·新高考Ⅰ卷2题）（复数的四则运算）若＝1＋i，则z＝（ ）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
4.（2023·新高考Ⅱ卷1题）（复数的几何意义）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.（2024·新高考Ⅱ卷2题）（含量词命题的真假判断及否定）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x＞0，x3＝x.则（ ）
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
6.（2024·全国甲卷理9题）（充分条件、必要条件的判断）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
重｜难｜排｜查
1.集合的运算性质及重要结论
（1）A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A；
（2）A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A；
（3）A∩（ UA）＝ ，A∪（ UA）＝U；
（4）A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
易错提醒 遇到A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况.
2.复数四则运算的常见结论
（1）（1±i）2＝±2i；
（2）＝i，＝－i；
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.
3.复数的几何意义
其中，a，b∈R，i为虚数单位.
4.充分、必要条件的六种类型与对应集合的关系
设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B.
p是q的充分不必要条件 p q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q p B A
p是q的充要条件 p q A＝B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且qp A，B互不包含
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p B A
集 合
【例1】 （1）（2024·贵阳适应性考试）若集合A＝{x｜2mx－3＞0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是（ ）
A.（，］ B.［，）
C.（，） D.［，］
（2）（2024·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（ ）
A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1}
C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3}
听课记录
感悟提升
解决集合运算问题的关键
（1）确定集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；
（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
1.（2024·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜－2x2＋5x＋3≥0}，B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，则A∩B的真子集个数为（ ）
A.3 B.4
C.7 D.8
2.（2024·开封第二次质量检测）已知集合A＝x｜x＝sin，n∈Z，B＝{0，1}，则下列命题正确的是（ ）
A.A＝B B.B A
C.A∩B＝{0，－1} D. AB＝{1}
3.（多选）（2024·宋基信阳实验中学月考）对任意A，B R，记AΘB＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}.则下列命题为真命题的是（ ）
A.（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B
B.若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AΘB＝{1，4}
C.若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则AΘB表示所有的整数
D.若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则AΘB＝{x｜－2＜x＜0，或3＜x＜5}
复 数
【例2】 （1）若复数z满足（2－i）z＝i2 024，则＝（ ）
A.－i B.－－i
C.－＋i D.－i
（2）（2024·湖北七市州联合测试）已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z（4－3i）＝3＋4i，则｜｜＝（ ）
A. B. C.1 D.2
听课记录
感悟提升
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为z＝mi（m∈R且m≠0），利用复数相等求解；
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi（a，b∈R），利用待定系数法求解；
（3）与复数有关的判断及运算也可利用复数的几何意义转化求解.
1.（2024·济南高三模拟考试）已知复数z1，z2满足2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，则z1＋z2＝（ ）
A.1 B.
C.2 D.2
2.（多选）（2024·郑州第二次质量预测）在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是（ ）
A.｜z1｜＝｜z2｜＝1
B.z1·z2＝｜z1｜2
C.向量对应的复数是1
D.｜｜＝｜z1－z2｜
常用逻辑用语
【例3】 （1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知m∈R，命题p： x∈R，x2－4x＋2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
听课记录
感悟提升
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题p 命题q，命题q 命题p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据命题p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
1.已知椭圆C：＋y2＝1（m＞0），则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2024·保定定州二中等校联考）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＋ln x＞x
B.存在一个三位数，它是质数且大于991
C. x∈R，sin x＋cos x＝1.42
D.在区间（0，99）内，至少存在50个奇数
5 / 5复习讲义部分
第一篇 主攻篇
专题一 基础知识
第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.A 法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
2.A 法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3.C 法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
5.B 对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
6.C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）A （2）A 解析：（1）因为2∈A且1 A，所以解得m∈（，］，故选A.
（2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
跟踪训练
1.C 由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
2.B 因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
3.AB 对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝A∪B.又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B.
【例2】 （1）D （2）C 解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D.
（2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C.
跟踪训练
1.B 法一 由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B.
法二 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜
＝
＝
＝＝，故选B.
2.AD 因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D.
【例3】 （1）C （2）必要不充分
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
跟踪训练
1.A 由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A.
2.B 对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
第2讲 小题研透——不等式
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 法一 当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二 令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
2.A 由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A.
3.BC 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
【研透高考·攻重点】
【例1】 D 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
跟踪训练
ABD 由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确.
【例2】 D 当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
跟踪训练
1.A 由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
2.[－1，0）∪（6，7] 解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
【例3】 （1）B （2）C 解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C.
跟踪训练
1.B 由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B.
2.BCD 对于A，＋＝（＋）·（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
第3讲 小题研透——平面向量
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2.D 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3.C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）B （2） 解析：（1）
如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B.
（2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝.
跟踪训练
1.－ 解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝.
2.等边 解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
【例2】 （1）B （2）B 解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
（2）
作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B.
跟踪训练
－ 解析：
如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
【例3】 （1）－1 （2） －
解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1.
（2）
以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.
跟踪训练
1.A
如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A.
2.B 由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B.
培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
【例1】 （1）A （2）[0，2] 解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A.
（2）
当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2].
跟踪训练
1. 解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝.
2.－ 解析：
如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－.
【例2】 （1）C （2）C 解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）法一 延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4.
法二（奔驰定理法） 根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝ m＝4.
跟踪训练
1.C ＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
2.解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝.
1 / 3第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
集合间的基本关系及基本运算 集合、复数在高考中一般单独考查，主要为选择题，难度很小，考查集合及复数基本概念及运算；常用逻辑用语多以其他知识模块为背景，考查充要条件的判断及含量词的命题的否定，试题主要为选择题或填空题
复数的概念、四则运算及几何意义
常用逻辑用语（充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题及否定）
二、真题感悟
1.（2024·新高考Ⅰ卷1题）（集合的交集运算）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
解析：A 法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
2.（2023·全国甲卷理1题）（集合的并、补集运算）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
解析：A 法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3.（2024·新高考Ⅰ卷2题）（复数的四则运算）若＝1＋i，则z＝（ ）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
解析：C 法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.（2023·新高考Ⅱ卷1题）（复数的几何意义）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
5.（2024·新高考Ⅱ卷2题）（含量词命题的真假判断及否定）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x＞0，x3＝x.则（ ）
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
解析：B 对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
6.（2024·全国甲卷理9题）（充分条件、必要条件的判断）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析：C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
重｜难｜排｜查
1.集合的运算性质及重要结论
（1）A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A；
（2）A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A；
（3）A∩（ UA）＝ ，A∪（ UA）＝U；
（4）A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
易错提醒 遇到A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况.
2.复数四则运算的常见结论
（1）（1±i）2＝±2i；
（2）＝i，＝－i；
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.
3.复数的几何意义
其中，a，b∈R，i为虚数单位.
4.充分、必要条件的六种类型与对应集合的关系
设p包含的对象组成集合A，q包含的对象组成集合B.
p是q的充分不必要条件 p q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q p B A
p是q的充要条件 p q A＝B
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p A，B互 不包含
p是q的充分条件 p q A B
p是q的必要条件 q p B A
集 合
【例1】 （1）（2024·贵阳适应性考试）若集合A＝{x｜2mx－3＞0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是（ A ）
A.（，］ B.［，）
C.（，） D.［，］
（2）（2024·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（ A ）
A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1}
C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3}
解析：（1）因为2∈A且1 A，所以解得m∈（，］，故选A.
（2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
感悟提升
解决集合运算问题的关键
（1）确定集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；
（2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
1.（2024·重庆学业质量调研）已知集合A＝{x｜－2x2＋5x＋3≥0}，B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，则A∩B的真子集个数为（ ）
A.3 B.4
C.7 D.8
解析：C 由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
2.（2024·开封第二次质量检测）已知集合A＝x｜x＝sin，n∈Z，B＝{0，1}，则下列命题正确的是（ ）
A.A＝B B.B A
C.A∩B＝{0，－1} D. AB＝{1}
解析：B 因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
3.（多选）（2024·宋基信阳实验中学月考）对任意A，B R，记AΘB＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}.则下列命题为真命题的是（ ）
A.（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B
B.若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则AΘB＝{1，4}
C.若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则AΘB表示所有的整数
D.若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则AΘB＝{x｜－2＜x＜0，或3＜x＜5}
解析：AB 对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝A∪B.又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B.
复 数
【例2】 （1）若复数z满足（2－i）z＝i2 024，则＝（ ）
A.－i B.－－i
C.－＋i D.－i
（2）（2024·湖北七市州联合测试）已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点Z，z满足z（4－3i）＝3＋4i，则｜｜＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
答案：（1）D （2）C
解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D.
（2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C.
感悟提升
复数的概念及运算问题的解题技巧
（1）与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为z＝mi（m∈R且m≠0），利用复数相等求解；
（2）与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi（a，b∈R），利用待定系数法求解；
（3）与复数有关的判断及运算也可利用复数的几何意义转化求解.
1.（2024·济南高三模拟考试）已知复数z1，z2满足2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，则z1＋z2＝（ ）
A.1 B.
C.2 D.2
解析：B 法一 由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B.
法二 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜＝＝＝＝，故选B.
2.（多选）（2024·郑州第二次质量预测）在复平面内，复数z1＝－i对应的点为A，复数z2＝z1－1对应的点为B，下列说法正确的是（ ）
A.｜z1｜＝｜z2｜＝1
B.z1·z2＝｜z1｜2
C.向量对应的复数是1
D.｜｜＝｜z1－z2｜
解析：AD 因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D.
常用逻辑用语
【例3】 （1）（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（ C ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知m∈R，命题p： x∈R，x2－4x＋2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的必要不充分条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
感悟提升
判断充分、必要条件的三种方法
（1）定义法：根据命题p 命题q，命题q 命题p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据命题p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；
（3）数形结合法：充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有明显的几何意义，且可以作出满足条件的几何图形，则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
1.已知椭圆C：＋y2＝1（m＞0），则“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A 由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A.
2.（2024·保定定州二中等校联考）下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＋ln x＞x
B.存在一个三位数，它是质数且大于991
C. x∈R，sin x＋cos x＝1.42
D.在区间（0，99）内，至少存在50个奇数
解析：B 对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
1.（2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ ）
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
解析：C 由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.
2.已知复数z＝1－（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝（ ）
A. B.－2
C.2 D.－
解析：B 因为z＝1－＝1－＝＋i，z的实部与虚部相等，所以3－a＝1－2a，得a＝－2，故选B.
3.（2024·贵阳适应性考试）直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α＝β”是“tan α＝tan β”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 由题意知，α，β∈[0，π），所以若tan α＝tan β，则α＝β；若α＝β＝，则不存在tan α，tan β，就不可能得到tan α＝tan β.所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件.故选B.
4.（2024·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{x｜ax＝1，a∈R}，B＝{－1，1}，且A B，则a的取值集合为（ ）
A.{－1} B.{－1，1}
C.{0，1} D.{－1，0，1}
解析：D 当a＝0时，A＝ ，满足A B；当a≠0时，A＝，又A B，所以＝1或＝－1，所以a＝1或a＝－1.故满足题意的a的所有取值组成的集合是{－1，0，1}.故选D.
5.（2024·南京调研测试）已知x＞0，y＞0，则x＋y≥2是xy≥1的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：B 当x＝，y＝时，满足x＞0，y＞0，x＋y＝2，但xy＝＜1，故充分性不成立；若x＞0，y＞0，xy≥1，则x＋y≥2≥2，当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B.
6.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{z｜z＝x＋y＋1，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集个数为（ ）
A.8 B.16
C.31 D.63
解析：C 由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1＋1＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1＋1＝1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，其真子集的个数为25－1＝31.故选C.
7.任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cos θ＋isin θ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理.则（1－i）2 025＝（ ）
A.1 B.22 025
C.－22 025 D.i
解析：C 1－i＝2（－i）＝2［cos（－）＋isin（－）］，∴（1－i）2 025＝22 025［cos（－ π）＋isin（－π）］＝－22 025.故选C.
8.（2024·宁波段考）设集合U＝R，集合M＝{x｜x2－2x≥0}，N＝{x｜y＝log2（1－x）}，则{x｜x＜2}＝（ ）
A.M∪N B.N∪（ UM）
C.M∪（ UN） D. U（M∩N）
解析：B M＝{x｜x2－2x≥0}＝{x｜x≤0或x≥2}，N＝{x｜y＝log2（1－x）}＝{x｜x＜1}，对于A选项，M∪N＝{x｜x＜1或x≥2}≠{x｜x＜2}，∴A选项错误；对于B选项，N∪（ UM）＝{x｜x＜1}∪{x｜0＜x＜2}＝{x｜x＜2}，∴B选项正确；对于C选项，M∪（ UN）＝{x｜x≤0或x≥2}∪{x｜x≥1}＝{x｜x≤0或x≥1}≠{x｜x＜2}，∴C选项错误；对于D选项，∵M∩N＝{x｜x≤0或x≥2}∩{x｜x＜1}＝{x｜x≤0}，∴ U（M∩N）＝{x｜x＞0}≠{x｜x＜2}，∴D选项错误.故选B.
9.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题
B.“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件
C.若命题q：对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则a＜－1
D.若命题p： x≥0，2x＝3，则 p： x＜0，2x≠3
解析：AC 命题“三角形的内角和为180°”可写为：所有的三角形的内角和都是180°，是全称量词命题，A正确；x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，不是必要条件，应是充分不必要条件，B错误；对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则Δ＝4＋4a＜0，a＜－1，C正确；命题p： x≥0，2x＝3的否定是 x≥0，2x≠3，D错误.故选A、C.
10.（多选）（2024·大连第一次模拟考试）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.已知a，b，c，d∈R，若a＞c，b＝d，则a＋bi＞c＋di
B.复数z1，z2满足＝z2，则｜z1｜＝｜｜
C.复数z满足｜z－i｜＝｜z＋i｜，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足z（1＋i）＝｜1－i｜，则z＝（cos－isin）
解析：BCD 对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，故A错误；对于B，设z1＝a＋bi（a，b∈R），所以＝a－bi，由＝z2，所以z2＝a－bi，即＝a＋bi，所以｜z1｜＝｜｜，故B正确；对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi－i｜＝｜a＋bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝0，所以z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确；对于D，z＝＝1－i，（cos－isin）＝（－i·）＝1－i，故D正确.综上，选B、C、D.
11.（多选）（2024·北京育英学校段考）设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为（ ）
A.B＝ RA B.B＝ R（A∩B）
C.A＝ RB D.A＝ R（A∩B）
解析：AC 因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B或x∈B时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选A、C.
12.（2024·上海高考9题）已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m（m∈R），则实数m为2.
解析：法一 设z＝1＋bi（b∈R且b≠0），则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋＋（b－）i，因为m∈R，所以b－＝0，得b2＝1，所以m＝1＋＝2.
法二 由z＋＝m得z2－mz＋2＝0，解得z＝，依题意得＝1，解得m＝2.
13.（2024·河南顶尖名校联盟期中）已知命题p：实数x满足a≤x＜4a，a＞0，命题q：实数x满足2＜x≤4，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，2].
解析：因为p是q的必要不充分条件，所以集合（2，4]是[a，4a）的真子集，则解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
14.（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为5.
解析：由A∩B＝A可知B≠ ，所以m≥0.由｜x－3｜≤m可得－m≤x－3≤m，即3－m≤x≤3＋m，故B＝[3－m，3＋m]，因为A∩B＝A，所以A B，所以解得m≥5，所以m的最小值为5.
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