第2讲 小题研透——不等式
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
不等式的概念、性质及应用 本部分知识在高考中作为载体考查其他知识，不等式的性质多与常用逻辑用语模块知识相结合；不等式的解法，多与集合基本运算相结合，各类题型均有涉及，以中档题为主
一元二次不等式（含参一元二次不等式及二次不等式恒成立问题）
利用基本不等式求最值（构造基本不等式）
二、真题感悟
1.（2024·上海春招13题）（不等式的性质）已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a＋b2＞a＋c2 B.a2＋b＞a2＋c
C.ab2＞ac2 D.a2b＞a2c
2.（2022·全国甲卷理12题）（不等式的概念与性质）已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则（ ）
A.c＞b＞a B.b＞a＞c
C.a＞b＞c D.a＞c＞b
3.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）（基本不等式）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
重｜难｜排｜查
1.不等式的倒数性质和分数性质
（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0 ＜；
②a＜0＜b ＜.
（2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
2.分式不等式的解法
（1）＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2）≥0（≤0）
3.解形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论.
4.基本不等式的常见变形
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；（2）＋≥2（a，b同号）；（3）ab≤（）2（a，b∈R）；（4）≥≥≥（a＞0，b＞0）.当且仅当a＝b时，上面不等式的“＝”成立.
不等式的性质及应用
【例1】 （2024·杭州质检）若a＞b，则（ ）
A.a2＞b2 B.＜
C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜
听课记录
感悟提升
利用不等式的性质判断正误的两种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
（多选）（2024·长郡中学模拟）若a＞b＞0＞c，则（ ）
A.＞ B.＞
C.ac＞bc D.a－c＞2
含参一元二次不等式的解法
【例2】 （2024·南通如皋诊断）已知集合M＝{x｜x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x｜x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a为集合{x｜a≤x≤b}的长度.若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.10
听课记录
感悟提升
解含参一元二次不等式的步骤
1.已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（ ）
A.（－∞，－3）∪（2，＋∞） B.（－3，2）
C.（－∞，－2）∪（3，＋∞） D.（－2，3）
2.若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 .
基本不等式
【例3】 （1）已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为（ ）
A.6 B.8
C.10 D.12
（2）若x＜，则f（x）＝3x＋1＋有（ ）
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
听课记录
感悟提升
基本不等式求最值的三种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，则可通过凑系数得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值；
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg（x）（AB＞0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值.
1.（2024·镇江丹阳期中）已知正实数x，y满足x－y＋5＝xy，则x＋y的最小值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
2.（多选）（2024·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ）
A.＋的最小值为4
B.a2＋b2的最小值为
C.loa＋lob的最小值为3
D.2a＋4b的最小值为2
3 / 3复习讲义部分
第一篇 主攻篇
专题一 基础知识
第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.A 法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
2.A 法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
3.C 法一 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二 由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
5.B 对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
6.C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）A （2）A 解析：（1）因为2∈A且1 A，所以解得m∈（，］，故选A.
（2）∵B＝{y｜y＝2x，x∈R}，∴B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为 U（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A.
跟踪训练
1.C 由－2x2＋5x＋3≥0，得2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－≤x≤3，所以A＝x｜－≤x≤3.由B＝{x∈N｜｜x｜≤2}，得B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
2.B 因为x＝sin的周期T＝＝4，且n∈Z，当n＝1时，x＝1，当n＝2时，x＝0，当n＝3时，x＝－1，当n＝4时，x＝0，所以A＝{－1，0，1}，又B＝{0，1}，所以B A，A≠B，A∩B＝{0，1}， AB＝{－1}，故A、C、D不正确，B正确，故选B.
3.AB 对于A，由题意知，（AΘB）∪（A∩B）＝A∪B，A正确；对于B，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}，所以AΘB＝{1，4}，B正确；对于C，若A表示所有的正整数，B表示所有的负整数，则A∩B＝ ，所以AΘB＝A∪B.又0 A∪B，所以0 AΘB，C错误；对于D，若A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜0＜x＜5}，则A∪B＝{x｜－2＜x＜5}，且A∩B＝{x｜0＜x＜3}，所以AΘB＝{x｜－2＜x≤0，或3≤x＜5}，D错误.故选A、B.
【例2】 （1）D （2）C 解析：（1）由题意，得z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，故选D.
（2）由题意，得z＝＝＝＝i，所以复数z在复平面内对应的点为Z（0，1），所以＝（0，1），所以｜｜＝＝1，故选C.
跟踪训练
1.B 法一 由2｜z1｜＝｜z2｜＝｜2z1－z2｜＝2，得｜2z1－z2｜2＝4－4z1z2＋＝4，将｜z1｜＝1，｜z2｜＝2代入得4－4z1z2＋4＝4，即z1z2＝1，所以z1＋z22＝＋＋z1z2＝1＋1＋1＝3，所以z1＋z2＝，故选B.
法二 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则2＝＝＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4，8－4（ac＋bd）＝4，即ac＋bd＝1，则｜z1＋z2｜
＝
＝
＝＝，故选B.
2.AD 因为z1＝－i，则其对应的点为A（，－），z2＝z1－1＝－－i，则复数z2对应的点为B（－，－）.对于A，｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝＝1，所以选项A正确；对于B，z1z2＝（－i）（－－i）＝（－i）2－（）2＝－－＝－1，所以选项B错误；对于C，向量＝（－1，0），则向量对应的复数为－1，所以选项C错误；对于D，｜｜＝1，z1－z2＝1，所以｜｜＝｜z1－z2｜，所以选项D正确.综上，选A、D.
【例3】 （1）C （2）必要不充分
解析：（1）由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C.
（2）p： x∈R，x2－4x＋2m≥0为真命题，则Δ＝16－8m≤0，故m≥2.因为{m｜m≥3} {m｜m≥2}，所以p是q的必要不充分条件.
跟踪训练
1.A 由得m＝2；由得m＝.所以“m＝2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，故选A.
2.B 对于A， x∈R，x2＋ln x＞x，是全称量词命题，故A错误；对于B，存在一个三位数，它是质数且大于991，是存在量词命题，其中997是质数且大于991，故B正确；对于C， x∈R，sin x＋cos x＝1.42，是存在量词命题，但sin x＋cos x的最大值为，故C错误；对于D，在区间（0，99）内，至少存在50个奇数，是存在量词命题，且在区间（0，99）内，至少存在49个奇数，故D错误，故选B.
第2讲 小题研透——不等式
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 法一 当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二 令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
2.A 由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A.
3.BC 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
【研透高考·攻重点】
【例1】 D 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
跟踪训练
ABD 由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确.
【例2】 D 当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
跟踪训练
1.A 由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
2.[－1，0）∪（6，7] 解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
【例3】 （1）B （2）C 解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C.
跟踪训练
1.B 由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B.
2.BCD 对于A，＋＝（＋）·（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
第3讲 小题研透——平面向量
【锁定高考·明方向】
真题感悟
1.B 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
2.D 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
3.C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
4. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
【研透高考·攻重点】
【例1】 （1）B （2） 解析：（1）
如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B.
（2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝.
跟踪训练
1.－ 解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝.
2.等边 解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形.
【例2】 （1）B （2）B 解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
（2）
作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B.
跟踪训练
－ 解析：
如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－.
【例3】 （1）－1 （2） －
解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1.
（2）
以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－.
跟踪训练
1.A
如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A.
2.B 由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B.
培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
【例1】 （1）A （2）[0，2] 解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A.
（2）
当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2].
跟踪训练
1. 解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝.
2.－ 解析：
如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－.
【例2】 （1）C （2）C 解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C.
（2）法一 延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4.
法二（奔驰定理法） 根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝ m＝4.
跟踪训练
1.C ＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
2.解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝.
1 / 3第2讲 小题研透——不等式
备｜考｜领｜航
一、考情分析
高频考点 高考预测
不等式的概念、性质及应用 本部分知识在高考中作为载体考查其他知识，不等式的性质多与常用逻辑用语模块知识相结合；不等式的解法，多与集合基本运算相结合，各类题型均有涉及，以中档题为主
一元二次不等式（含参一元二次不等式及二次不等式恒成立问题）
利用基本不等式求最值（构造基本不等式）
二、真题感悟
1.（2024·上海春招13题）（不等式的性质）已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a＋b2＞a＋c2 B.a2＋b＞a2＋c
C.ab2＞ac2 D.a2b＞a2c
解析：B 法一 当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B.
法二 令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B.
2.（2022·全国甲卷理12题）（不等式的概念与性质）已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则（ ）
A.c＞b＞a B.b＞a＞c
C.a＞b＞c D.a＞c＞b
解析：A 由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A.
3.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）（基本不等式）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析：BC 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C.
重｜难｜排｜查
1.不等式的倒数性质和分数性质
（1）倒数性质：①a＞b，ab＞0 ＜；
②a＜0＜b ＜.
（2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
2.分式不等式的解法
（1）＞0（＜0） f（x）·g（x）＞0（＜0）；
（2）≥0（≤0）
3.解形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论.
4.基本不等式的常见变形
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；
（2）＋≥2（a，b同号）；
（3）ab≤（）2（a，b∈R）；
（4）≥≥≥（a＞0，b＞0）.当且仅当a＝b时，上面不等式的“＝”成立.
不等式的性质及应用
【例1】 （2024·杭州质检）若a＞b，则（ ）
A.a2＞b2 B.＜
C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜
解析：D 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D.
感悟提升
利用不等式的性质判断正误的两种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
（多选）（2024·长郡中学模拟）若a＞b＞0＞c，则（ ）
A.＞ B.＞
C.ac＞bc D.a－c＞2
解析：ABD 由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确.
含参一元二次不等式的解法
【例2】 （2024·南通如皋诊断）已知集合M＝{x｜x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x｜x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a为集合{x｜a≤x≤b}的长度.若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.10
解析：D 当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D.
感悟提升
解含参一元二次不等式的步骤
1.已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（ ）
A.（－∞，－3）∪（2，＋∞）
B.（－3，2）
C.（－∞，－2）∪（3，＋∞）
D.（－2，3）
解析：A 由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A.
2.若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为[－1，0）∪（6，7].
解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为 ，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7].
基本不等式
【例3】 （1）已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为（ B ）
A.6 B.8
C.10 D.12
（2）若x＜，则f（x）＝3x＋1＋有（ C ）
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值－3 D.最小值－3
解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B.
（2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C.
感悟提升
基本不等式求最值的三种解题技巧
（1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；
（2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，则可通过凑系数得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值；
（3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg（x）（AB＞0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值.
1.（2024·镇江丹阳期中）已知正实数x，y满足x－y＋5＝xy，则x＋y的最小值为（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
解析：B 由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B.
2.（多选）（2024·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ）
A.＋的最小值为4
B.a2＋b2的最小值为
C.loa＋lob的最小值为3
D.2a＋4b的最小值为2
解析：BCD 对于A，＋＝（＋）（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D.
1.已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ）
A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
解析：D 由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小.因为－1＜b＜0，所以b＜b2＜1.又因为a＜0，所以ab＞ab2＞a.故选D.
2.已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是（－∞，－1）∪（－，＋∞），则a＝（ ）
A.2 B.－2
C.－ D.
解析：B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋（a－1）x－1＝0的两个根，所以－1×（－）＝－，解得a＝－2.故选B.
3.（2024·信阳部分学校联考）设x∈R，则“＞0”是“｜x－1｜＜4”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 由＞0，得（x－5）（2－x）＞0，得（x－5）（x－2）＜0，解得2＜x＜5；由｜x－1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x＜5.因为（2，5） （－3，5），所以“＞0”是“｜x－1｜＜4”的充分不必要条件，故选A.
4.设x1，x2是关于x的方程x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根.若－1＜x1＜1，1＜x2＜2，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－，－1） B.（－，）
C.（－2，1） D.（－2，－1）
解析：A 设f（x）＝x2＋（a－1）x＋a＋2，因为x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根为x1，x2，且－1＜x1＜1，1＜x2＜2，f（－1）＝4＞0，所以即解得－＜a＜－1，故选A.
5.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.（0，＋∞） B.[－1，＋∞）
C.[－1，1] D.[0，＋∞）
解析：B 当x＝0时，不等式1≥0恒成立；当x＞0时，由题意可得－2a≤x＋恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以－2a≤2，解得a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，＋∞）.故选B.
6.已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是（ ）
A.＞ B.ab＞bc
C.＜ D.ab＋bc＞ac＋b2
解析：D 由题可知，a≠0，b≠0，c≠0，A中，若a＞b＞c＞0，则＜，故A错误；B中，若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，故ab＜bc，故B错误；C中，若a＞0＞b＞c，则＞，故C错误；D中，ab＋bc＞ac＋b2 ab－ac＞b2－bc a（b－c）＞b（b－c），因为a＞b＞c，abc≠0，所以b－c＞0，则ab＋bc＞ac＋b2，故D正确.
7.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＝＋＝（＋）（a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，则≤.故选B.
8.已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围是（ ）
A.[4，＋∞） B.[0，＋∞）
C.[6，＋∞） D.[8，＋∞）
解析：C 因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以∈［，1］，∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，所以m≥（）2－.令t＝，则t∈[1，3]，原问题等价于 t∈[1，3]，m≥t2－t，即m≥（t2－t）max（t∈[1，3]）.又t2－t＝（t－）2－，则当t＝3时，t2－t取得最大值，为9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）.故选C.
9.（多选）（2024·沧州二模）已知实数a，b满足a＞b，a＋b＝1，则（ ）
A.a2＞ab B.ab＞b2
C.ab≤ D.a2＋b2≥1
解析：AC 因为a＞b，a＋b＝1＞0，所以a＞0，b的符号不确定，由不等式的性质知a2＞ab成立，但ab＞b2不一定成立，故A正确，B错误；因为ab＝a（1－a）＝－（ a－）2＋≤，故C正确；因为a＞b，所以a2＋b2＞2ab，所以a2＋b2＞＝，故D错误.故选A、C.
10.（多选）（2024·重庆学业质量调研）已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（ ）
A.lg a＞lg b B.a＋b＝ab
C.（）a＞（）b D.a＋b＞4
解析：ABD 因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515.对于A，由log315＞log515，得a＞b，又根据对数函数的性质可知，lg a＞lg b，故A正确；对于B，易知a＞0，b＞0，所以＝log153，＝log155，所以＋＝log153＋log155＝log15（3×5）＝1，所以＝1，即a＋b＝ab，故B正确；对于C，由y＝（）x是减函数，由a＞b，得（）a＜（）b，故C错误；对于D，由a＋b＞2，又a＋b＝ab，所以ab＞2，解得ab＞4，即a＋b＞4，故D正确.故选A、B、D.
11.（多选）（2024·长郡中学模拟）若x，y满足（x＋y）2－xy＝2，则（ ）
A.y－x≥－ B.y－x＜2
C.xy＞ D.xy≥－
解析：ABD 令y－x＝t，则y＝x＋t，代入（x＋y）2－xy＝2可得：x2＋tx＋（t2－2）＝0.所以Δ＝t2－3（t2－2）≥0，解得－≤t≤，所以A、B正确；（x＋y）2－xy＝2可变形为x2＋y2＝xy＋2，因为－≤xy≤，将x2＋y2＝xy＋2代入上式可得：－－1≤xy≤＋1，解得－≤xy≤，所以C不正确，D正确.故选A、B、D.
12.能够说明“若＞，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为－1，1（答案不唯一）.
解析：由＞，a＜0，可得＜.①当x，y同号时，可得x＞y；②当x，y异号时，可得y＞0＞x.故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，y＝1.
13.已知二次函数f（x）＝－x2＋2x＋3，不等式f（x）≥m的解集的区间长度为6（规定：闭区间[a，b]的长度为b－a），则实数m＝－5.
解析：不等式f（x）≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x｜x1≤x≤x2}，则x2－x1＝6，∵又∵（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝36，∴4－4（m－3）＝36，即m＝－5.
14.（2024·河南中原名校联考）若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，则3a＋b＋2c的取值范围是［，4）.
解析：因为不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，且需满足即解得所以a＋b＋c＝a－2a－3a＋2≥0 a≤，所以a∈（0，］，所以3a＋b＋2c＝3a－2a－6a＋4＝4－5a∈［，4）.
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