四、转化与化归思想
转化与化归思想的含义 常见的转化与化归的方法
转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解.使用转化与化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知 直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化法、等价问题法、加强命题法、补集法
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中
正与反的转化
【例1】 若对任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 .
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1.本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，故先求出其反面，体现“正难则反”的原则.
2.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
1.由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的取值是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.1 D.2
2.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组， 3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为 ，他至多参加2个小组的概率为 .
常量与变量的转化
【例2】 已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f'（x）－ax－5，其中f'（x）是f（x）的导函数.若对任意a∈[－1，1]，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为 .
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1.本题是把关于x的函数转化为区间[－1，1]内关于a的一次函数的问题.
2.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是 .
特殊与一般的转化
【例3】 过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋＝（ ）
A.2a B.
C.4a D.
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运用特殊与一般转化解题的步骤
（1）确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象；
（2）寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”；
（3）转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题；
（4）得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论.
1.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么（ ）
A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5
C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
2.设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（ ）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
函数、方程、不等式间的转化
【例4】 设函数f（x）＝ex（ x＋－3）－，若不等式f（x）≤0有正实数解，则实数a的最小值为 .
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函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求参变量的范围.
1.方程2x＋3x＝k的解在[1，2）内，则k的取值范围为 .
2.（2024·全国甲卷文16题）当x＞0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－（x－1）2＋a有两个交点，则a的取值范围为 .
1.转化与化归的原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决；
（2）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑题目的反面，设法从问题的反面去讨论，使问题获解.
2.应用转化与化归思想的一般思维路径
（1）把什么问题进行转化，即化归对象；
（2）化归到何处去，即化归目标；
（3）如何进行化归，即化归方法.
3 / 3四、转化与化归思想
转化与化归思想的含义 常见的转化与化归的方法
转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解.使用转化与化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知 直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化法、等价问题法、加强命题法、补集法
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中
正与反的转化
【例1】 若对任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是.
解析：由题意得g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则①g'（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g'（x）≤0在（t，3）上恒成立.由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈（t，3）上恒成立，又y＝－3x单调递减，∴m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤－3x在x∈（t，3）上恒成立，则m＋4≤－9，即m≤－.∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的m的取值范围为（－，－5）.
感悟提升
1.本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，故先求出其反面，体现“正难则反”的原则.
2.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
1.由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的取值是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，2）
C.1 D.2
解析：C 由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e｜x－1｜－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是（－∞，1），而（－∞，a）与（－∞，1）为同一区间，故a＝1.故选C.
2.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组， 3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为，他至多参加2个小组的概率为.
解析：记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，由题图可得共有60名成员，则随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率为P（A）＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率为P（B）＝＝，则至少参加2个小组的概率为P（A）＋P（B）＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P（B）＝1－＝.
常量与变量的转化
【例2】 已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f'（x）－ax－5，其中f'（x）是f（x）的导函数.若对任意a∈[－1，1]，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为.
解析：由题意知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋3x2－5，－1≤a≤1.由题意得即解得－＜x＜1.故实数x的取值范围为.
感悟提升
1.本题是把关于x的函数转化为区间[－1，1]内关于a的一次函数的问题.
2.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（参数），将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
解析：设f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f（p）＝0，不满足题意，所以x≠1.f（p）＞0在0≤p≤4时恒成立等价于即解得x＞3或x＜－1.故x的取值范围为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
特殊与一般的转化
【例3】 过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋＝（ ）
A.2a B.
C.4a D.
解析：C 抛物线y＝ax2（a＞0）的标准方程为x2＝y（a＞0），焦点F（ 0，）.取特殊情况，过焦点F作直线垂直于y轴（图略）.直线与抛物线交于P，Q两点，则｜PF｜＝｜QF｜＝.所以＋＝4a.
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运用特殊与一般转化解题的步骤
（1）确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象；
（2）寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”；
（3）转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题；
（4）得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论.
1.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么（ ）
A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5
C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
解析：B 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8＜4×5成立，即a1a8＜a4a5.故选B.
2.设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（ ）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：D 因为f（x＋1）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，f（1）＝0①，且f（－x＋1）＝－f（x＋1）②，因为f（x＋2）是偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，且f（x＋2）＝f（－x＋2）③，由以上可知f（x）为周期函数，且周期为T＝4×（2－1）＝4.令x＝1，②变为f（0）＝－f（2）＝－（4a＋b），③变为f（3）＝f（1）＝a＋b，又因f（0）＋f（3）＝6，与①联立得所以f（ ）＝f（ ）＝－f（ ）＝.
函数、方程、不等式间的转化
【例4】 设函数f（x）＝ex（ x＋－3）－，若不等式f（x）≤0有正实数解，则实数a的最小值为e.
解析：原问题等价于存在x∈（0，＋∞），使得a≥ex（x2－3x＋3），令g（x）＝ex（x2－3x＋3），x∈（0，＋∞），则a≥g（x）min，而g'（x）＝ex（x2－x）.由g'（x）＞0可得x∈（1，＋∞），由g'（x）＜0可得x∈（0，1）.据此可知，函数g（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为g（1）＝e.综上可得，实数a的最小值为e.
感悟提升
函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求参变量的范围.
1.方程2x＋3x＝k的解在[1，2）内，则k的取值范围为[5，10）.
解析：令函数f（x）＝2x＋3x－k，则f（x）在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在（1，2）内时，f（1）·f（2）＜0，即（5－k）（10－k）＜0，解得5＜k＜10.当f（1）＝0时，k＝5.综上，k的取值范围为[5，10）.
2.（2024·全国甲卷文16题）当x＞0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－（x－1）2＋a有两个交点，则a的取值范围为（－2，1）.
解析：令x3－3x＝－（x－1）2＋a，则a＝x3－3x＋（x－1）2，设h（x）＝x3－3x＋（x－1）2，则h'（x）＝3x2－3＋2（x－1）＝（3x＋5）（x－1），∵x＞0，∴3x＋5＞0，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，∴h（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∵当x＞0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－（x－1）2＋a有两个交点，h（0）＝1，h（1）＝－2，∴a的取值范围为（－2，1）.
1.转化与化归的原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决；
（2）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑题目的反面，设法从问题的反面去讨论，使问题获解.
2.应用转化与化归思想的一般思维路径
（1）把什么问题进行转化，即化归对象；
（2）化归到何处去，即化归目标；
（3）如何进行化归，即化归方法.
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