一、函数与方程思想
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
同构函数关系解决问题
【例1】 （1）（2024·新乡第三次模拟）设a＝，b＝ln，c＝，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A.b＜a＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
（2）已知函数f（x）＝xa－aln x（a＞0），若当x∈（1，e2）时，f（x）≤ex－x恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A.1 B.e
C. D.e2
听课记录
感悟提升
对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数，再通过函数的单调性进行求解.
1.若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（ ）
A.ln（2b－a＋1）＜0 B.ln（2b－a＋1）＞0
C.ln｜a－2b｜＞0 D.ln｜a－2b｜＜0
2.已知x（aex＋1）＞ln有解，则实数a的取值范围为（ ）
A.（ －，＋∞） B.（ －，＋∞）
C.（－1，＋∞） D.（ －∞，）
转换函数关系解决问题
【例2】 （2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
听课记录
感悟提升
转化函数关系主要包括的两个方面
（1）将函数的性质或函数图象的各类形态转化为方程（不等式）表示，然后利用方程（不等式）的运算规则求解；
（2）将方程（不等式）转化为函数表示，然后利用函数的性质及图象间的对应关系求解.
（2024·广州期末）已知函数f（x）＝aln x＋x2，若对任意正数x1，x2（x1≠x2），都有＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.（0，1] B.（0，2]
C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）
利用函数关系解决问题
【例3】 （2024·江苏、浙江大联考）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为 .
听课记录
感悟提升
当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.
1.甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.则甲以3∶1获胜的概率的最大值为 .
2.（2024·安徽六校第二次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在上，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为 .
建立方程（组）解决问题
【例4】 （2024·临沂二模）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝（ ）
A. B. C. D.
听课记录
感悟提升
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，构造方程法是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.
1.（2024·武昌5月质量检测）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝81，则S12＝（ ）
A.288 B.144 C.96 D.25
2.设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，＜b，c＞＝120°，则｜b｜的最大值为 .
函数与方程思想的应用归纳
（1）函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题，一般利用函数思想构造新函数、建立函数关系求解；
（2）三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解；
（3）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决；
（4）解析几何中有关求曲线方程、求值等问题常常需要通过解方程（组）来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决；
（5）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
3 / 3一、函数与方程思想
函数思想 方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
同构函数关系解决问题
【例1】 （1）（2024·新乡第三次模拟）设a＝，b＝ln，c＝，其中e是自然对数的底数，则（ B ）
A.b＜a＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
（2）已知函数f（x）＝xa－aln x（a＞0），若当x∈（1，e2）时，f（x）≤ex－x恒成立，则实数a的最大值是（ B ）
A.1 B.e
C. D.e2
解析：（1）令函数f（x）＝，x＞e，求导得f'（x）＝＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，而a＝＝，b＝，c＝＝，又3＜＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b.故选B.
（2）由题意知，当x∈（1，e2）时，f（x）≤ex－x恒成立，即xa－aln x≤ex－x在（1，e2）上恒成立，即－ln xa≤ex－x在（1，e2）上恒成立.令m（x）＝ex－x（x＞0），则m'（x）＝ex－1＞0，即m（x）在（0，＋∞）上单调递增，则由－ln xa≤ex－x，即m（ln xa）≤m（x），可得ln xa≤x，即a≤在（1，e2）上恒成立.令n（x）＝，x∈（1，e2），n'（x）＝，当x∈（1，e）时，n'（x）＜0，n（x）单调递减；当x∈（e，e2）时，n'（x）＞0，n（x）单调递增，故n（x）在x＝e时取最小值，且n（e）＝＝e，则由a≤在（1，e2）上恒成立，可知a≤e，故实数a的最大值为e.故选B.
感悟提升
对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数，再通过函数的单调性进行求解.
1.若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（ ）
A.ln（2b－a＋1）＜0 B.ln（2b－a＋1）＞0
C.ln｜a－2b｜＞0 D.ln｜a－2b｜＜0
解析：B 对已知不等式变形可得2a＋log2a＜22b＋log22b，令f（x）＝2x＋log2x，x＞0，因为函数y＝2x与y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，2a＋log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），所以2b＞a＞0，所以2b－a＞0，所以2b－a＋1＞1，则ln（2b－a＋1）＞ln 1＝0，A错误，B正确；无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大小，C、D错误.故选B.
2.已知x（aex＋1）＞ln有解，则实数a的取值范围为（ ）
A.（ －，＋∞） B.（ －，＋∞）
C.（－1，＋∞） D.（ －∞，）
解析：A 不等式x（aex＋1）＞ln可化为a（xex）＋x＋ln x＞1，即a（xex）＋ln（xex）＞1.令t＝xex，t＞0，则at＋ln t＞1在（0，＋∞）上有解，所以a＞在（0，＋∞）上有解.令f（t）＝（t＞0），则f'（t）＝，当0＜t＜e2时，f'（t）＜0，f（t）在（0，e2）上单调递减；当t＞e2时，f'（t）＞0，f（t）在（e2，＋∞）上单调递增.所以f（t）min＝f（e2）＝－，所以a＞－，所以a的取值范围为（ －，＋∞），故选A.
转换函数关系解决问题
【例2】 （2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
解析：D 法一 令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝cos x，原题等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D.
法二 令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D.
感悟提升
转化函数关系主要包括的两个方面
（1）将函数的性质或函数图象的各类形态转化为方程（不等式）表示，然后利用方程（不等式）的运算规则求解；
（2）将方程（不等式）转化为函数表示，然后利用函数的性质及图象间的对应关系求解.
（2024·广州期末）已知函数f（x）＝aln x＋x2，若对任意正数x1，x2（x1≠x2），都有＞2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.（0，1] B.（0，2]
C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）
解析：C 根据＞2，可知＞0，令g（x）＝f（x）－2x＝aln x＋x2－2x（x＞0），由＞0，知g（x）单调递增，所以g'（x）＝＋x－2＝≥0（x＞0）恒成立，分离参数得a≥2x－x2，而当x＞0时，y＝2x－x2在x＝1时取最大值1，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞）.
利用函数关系解决问题
【例3】 （2024·江苏、浙江大联考）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为.
解析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c.则2（ab＋bc＋ac）＝8，4（a＋b＋c）＝16，所以ab＋bc＋ac＝4，a＋b＋c＝4，不妨设c≤b≤a，则0＜c≤，体积V＝abc＝（4－bc－ac）c＝[4－c（a＋b）]c＝[4－c（4－c）]·c＝c3－4c2＋4c，求导得V'＝3c2－8c＋4＝（3c－2）·（c－2），易知当c＝时，V最大，最大值为.
感悟提升
当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.
1.甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.则甲以3∶1获胜的概率的最大值为.
解析：甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，若所求概率用f（p）表示，则f（p）＝·p2·（1－p）·p＝3p3－3p4，0＜p＜1，则f'（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.令f'（p）＞0，得0＜p＜；令f'（p）＜0，得＜p＜1.所以f（p）在上单调递增，在上单调递减，所以当p＝时，f（p）取得最大值，为.
2.（2024·安徽六校第二次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在上，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为.
解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P（cos θ，sin θ），θ∈[π，2π]，又A（－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），则＝（cos θ＋1，sin θ－2），＝（2，0），＝（0，－2），∵＝λ＋μ，即（cos θ＋1，sin θ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0）∴解得λ＋μ＝＋＝（cos θ－sin θ＋3）＝［cos（ θ＋）＋3］，∵θ∈[π，2π]，则θ＋∈［，］，∴当θ＋＝2π时，cos（ θ＋）取得最大值1，则λ＋μ的最大值为.
建立方程（组）解决问题
【例4】 （2024·临沂二模）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 设｜｜＝m，｜｜＝n，则有m2＋n2＝4c2，m＋n＝2a＝2×c＝c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝c2，即2mn＝c2－4c2＝c2，则（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝4c2－c2＝c2，即m－n＝c，
即m＝＝c，n＝＝c，则｜｜＝λ｜｜＝λm＝λc，由｜｜＝｜｜，则有（ λc）2＝（ c－λc）2＋（ c）2，整理得8λ＝5，即λ＝.故选B.
感悟提升
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，构造方程法是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.
1.（2024·武昌5月质量检测）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝81，则S12＝（ ）
A.288 B.144
C.96 D.25
解析：B 由题意即解得于是S12＝12×1＋×2＝144.故选B.
2.设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，＜b，c＞＝120°，则｜b｜的最大值为.
解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＝－（b＋c），所以｜a｜2＝｜b｜2＋2｜b｜｜c｜cos 120°＋｜c｜2，即｜c｜2－｜b｜｜c｜＋｜b｜2－4＝0，所以Δ＝｜b｜2－4（｜b｜2－4）≥0，解得0＜｜b｜≤，即｜b｜的最大值为.
函数与方程思想的应用归纳
（1）函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题，一般利用函数思想构造新函数、建立函数关系求解；
（2）三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解；
（3）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决；
（4）解析几何中有关求曲线方程、求值等问题常常需要通过解方程（组）来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决；
（5）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
4 / 5
