举措二 高考必记知识要点
集合
（1）集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝B B A；
（2）元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有 2n 个子集，有 （2n－1） 个真子集，有 （2n－2） 个非空真子集.
复数
（1）复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0（a，b∈R）；
（2）复数的几个常见结论
①（1±i）2＝±2i；
②＝i，＝－i；
③i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i ，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ 0 （n∈N）.
常用逻辑用语
（1）全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
（2）充分条件与必要条件的两种判定方法
①定义法：若p q，则p是q的 充分 条件（或q是p的 必要 条件）；若p q，且q p，则p是q的 充分不必要 条件（或q是p的 必要不充分 条件）；
②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A B，则p是q的 充分 条件（q是p的 必要 条件）；若A B，则p是q的 充分不必要 条件（q是p的 必要不充分 条件）；若A＝B，则p是q的 充要 条件.
不等式
（1）分式不等式
＞0（＜0） f（x）g（x） ＞ 0（＜0）；
≥0（≤0）
（2）基本不等式
① ≥≥ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号；
②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab ≤ （ ）2 ≤ ，当且仅当a＝b时取等号；
③＋≥ 2 （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号，＋≤ －2 （ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号.
平面向量
（1）平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ a·b＝ x1x2＋y1y2
夹角的余弦值 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2 ＝0
｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a与b共线时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤·（当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立）
（2）三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
①O为△ABC的外心 ｜｜＝｜｜＝｜｜＝；
②O为△ABC的重心 ＋＋＝0；
③O为△ABC的垂心 ·＝·＝·；
④O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
三角函数
（1）同角三角函数的基本关系式
商的关系 ＝tan α
平方关系 sin2α＋cos2α＝1
常见变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±，sin α＝cos αtan α，cos α＝，sin2α＝＝，1＋tan2α＝
（2）三角恒等变换
①cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ；
cos（α－β）＝ cos αcos β＋sin αsin β ；
sin（α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β ；
sin（α－β）＝ sin αcos β－cos αsin β ；
tan（α＋β）＝ ；
tan（α－β）＝ .
②二倍角公式：sin 2α＝ 2sin αcos α ，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝ ；
③降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
（3）三角函数的图象和性质
项目 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x
单调性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z） （ －＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）
对称性 对称轴 x＝ ＋kπ （k∈Z） x＝ kπ （k∈Z）
对称中心 （kπ，0） （k∈Z） （ ＋kπ，0） （k∈Z） （ ，0） （k∈Z）
（4）三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种方法：
（5）正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径.
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或两边及其夹角）
内容 ＝＝＝2R； 变式：＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C
常见变形 ①边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③求比值：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 求角或角化边： cos A＝， cos B＝ ， cos C＝
数列
（1）等差、等比数列的通项公式与前n项和公式
项目 等差数列 等比数列
通项公式 an＝ a1＋（n－1）d an＝ a1qn－1 （q≠0）
前n项和公式 Sn＝＝ na1＋d ①q≠1，Sn＝＝ ； ②q＝1，Sn＝ na1
（2）等差数列的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ap＋aq ；
②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 md 的等差数列；
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差为 m2d ，m∈N*）；
④S2n－1＝（2n－1）an；
⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝ .
（3）等比数列的性质
已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ apaq ；
②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n＝ 2p ，则aman＝ ；
③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 qm 的等比数列；
④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公比为 qm 的等比数列；
⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm，，，…是公比为（qm）m的等比数列；
⑥当项数为2n时，＝ q ；当项数为2n＋1时，＝ q .
立体几何
（1）空间几何体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝ 2πrl S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝ πr2h
圆锥 S侧＝ πrl S表＝πr（r＋l） V＝ S底h ＝πr2h
圆台 S侧＝ π（r＋r'）l S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l） V＝ （S上＋S下＋ ）h ＝π（r2＋r'2＋rr'）h
几何体 侧面积 表面积 体积
直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S侧＋ S上＋S下（棱 锥的S上＝0） V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch'（h'为斜高） V＝S底h
正棱台 S侧＝（C＋C'）h'（C，C'分别是上、下底面周长，h'为斜高） V＝ （S上＋S下＋）h
球 S＝ 4πR2 V＝ πR3
（2）利用空间向量求角和距离
异面直线a，b所成的角θ cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝ ，其中0°＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平面α所成的角θ sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝ ，其中0°≤θ≤90°，m是平面α的法向量
二面角α-l-β的平面角θ ｜cos θ｜＝｜cos＜m，n＞｜＝ ，其中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α的距离d d＝，其中n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线
（3）平行、垂直关系的转化
（4）用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有
①线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0；
②线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；
③面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3；
④面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3 ＝0.
解析几何
（1）直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
（ⅰ）两直线平行：l1∥l2 k1＝k2 ；
（ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2 k1k2＝－1 .
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
（ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－B1A2 ＝ 0且A1C2－A2C1 ≠ 0；
（ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2 ＝ 0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
（2）三种距离公式
①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝；
②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0），直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）；
③两平行线间的距离d＝（其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）.
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.
（3）圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；
（4）圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 ｜PF1｜＋｜PF2｜ ＝ 2a （2a ＞ ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝ 2a （0＜2a ＜ ｜F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） y2＝2px（p＞0）
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 范围 ｜x｜≤ a ，｜y｜≤ b ｜x｜≥ a x≥0
顶点 （±a，0）， （0，±b） （±a，0） （0，0）
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 （±c，0） （，0）
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几何性质 轴 长轴长 2a ，短轴长 2b 实轴长 2a ，虚轴长 2b
离心率 e＝＝（0＜e＜1） e＝＝（e＞1） e＝1
准线 x＝－
渐近线 y＝ ±x
（5）设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·.
（6）圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线的焦点三角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2＝θ，则 ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a； ②4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ； ③＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2tan.
圆锥曲线的焦点三角形 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上不同于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫作双曲线的焦点三角形.记∠F1PF2＝θ，则＝
椭圆、双曲线第三定义的推广 椭圆的第三定义的推广：若M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝－，e为椭圆C的离心率. 双曲线的第三定义的推广：若M，N是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝，e为双曲线C的离心率
双曲线的渐近线 ①若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ（λ∈R，且λ≠0）； ②焦点到渐近线的距离总是b； ③双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为e＝＝
抛物线的焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2），α为直线AB的倾斜角，则有以下结论： ①焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，＋＝； ②弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； ③S△OAB＝（O为抛物线的顶点）； ④以弦AB为直径的圆与准线相切； ⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1＝90°
相交弦所在直线斜率与弦中点的关系 ①已知直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝－·； ②已知直线y＝kx＋m（k≠0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝·； ③已知直线y＝kx＋m（k≠0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝
概率与统计
（1）排列数与组合数的性质
①＝n；②＝m＋；③＝；④＝＋.
（2）二项式系数的3个性质
对称性 当0≤k≤n（n∈N*，k∈N）时，与的关系是：＝
增减性与 最大值 二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大； 当n为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为 ； 当n为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，最大值为 （或 ）
各二项式 系数的和 各二项式系数的和：＋＋＋…＋＝ 2n ； 奇数项的二项式系数的和＝偶数项的二项式系数的和＝2n－1，即＋＋…＝＋＋…＝ 2n－1
（3）概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式：
P（A）＝；
②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ P（A）＋P（B） ；
③对立事件的概率计算公式：P（）＝ 1－P（A） ；
④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ P（A）P（B） ；
⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0；
⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ P（A）P（B｜A） ，P（A）＞0；
⑦全概率公式：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）（A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B Ω）.
（4）期望与方差的性质
①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ aE（X）＋b ；（ⅱ）若X～B（n，p），则E（X）＝ np ；（ⅲ）若X服从两点分布，则E（X）＝ p .
②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ a2D（X） ；（ⅱ）若X～B（n，p），则D（X）＝ np（1－p） ；（ⅲ）若X服从两点分布，则D（X）＝ p（1－p） .
（5）二项分布与超几何分布
二项分布 超几何分布
定义 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p） 如果随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量X服从超几何分布
期望 E（X）＝ np E（X）＝ np ，其中p＝，表示N件产品的次品率
（6）用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众数 在一组数据中，出现 次数 最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 中点 的横坐标即众数
中位数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 最中间 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 面积 相等
平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）＝xi，其中xi是第i个样本数据，n是样本容量 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]＝（xi－）2 记频率分布直方图中有m个区间分组，各区间中点的横坐标分别为y1，y2，…，ym，各区间对应的频率分别为p1，p2，…，pm，为样本数据的平均数， 则s2＝（yi－）2pi
标准差 s＝ s＝
（7）样本相关系数r具有如下性质：
①｜r｜≤1；
②当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度 越强 ；
③当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度 越弱 .
函数与导数
（1）函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 ＞0 f（x）在[a，b]上 单调递增 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 ＜0 f（x）在[a，b]上 单调递减 ；
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 减 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 增 函数；根据 同增异减 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性.
（2）函数奇偶性的常用结论
①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性；
②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，其中g（x）＝，h（x）＝.
（3）函数周期性的常用结论
①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx）（λ≠0）的最小正周期为；
②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x））也是周期函数；
③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中a≠0，b≠0，a≠b；
④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
⑤若f（x＋a）＝±（c为常数），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0，c≠0；
⑥若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0.
（4）函数图象的对称性
①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称；
②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（a＋x） f（2a－x）＝f（x）；
④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称 f（a－x）＝－f（a＋x） f（2a－x）＝－f（x）；
⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 f（a＋mx）＝f（b－mx）（m≠0） f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）.
（5）指数函数与对数函数的基本性质
①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 （0，1） ；y＝logax（a＞0，且a≠1）恒过点 （1，0） ；
②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 单调递增 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递增 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上 单调递减 ，y＝logax在（0，＋∞）上 单调递减 ；
（6）常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型
抽象函数的性质 特殊函数模型
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， ②f（x－y）＝f（x）－f（y） 正比例函数f（x）＝kx（k≠0）
①f（x）f（y）＝f（x＋y）（x，y∈R）， ②＝f（x－y）（x，y∈R，f（y）≠0） 指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）＋f（y）（x＞0，y＞0）， ②f（ ）＝f（x）－f（y）（x＞0，y＞0） 对数函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）
抽象函数的性质 特殊函数模型
①f（xy）＝f（x）f（y）， ②f（ ）＝（y≠0，f（y）≠0） 幂函数f（x）＝xn
f（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y） 三角函数f（x）＝sin x，g（x）＝cos x
f（x＋y）＝ 正切函数f（x）＝tan x
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（7）5组基本初等函数的导数公式
① c'＝0（c为常数）
② （xα）'＝ αxα－1 （α∈R，且α≠0），高频使用：（ ）'＝（x－1）'＝ －
③ （sin x）'＝ cos x ，（cos x）'＝ －sin x
④ （logax）'＝ （x＞0，a＞0且a≠1），（ln x）'＝ （x＞0）
⑤ （ax）'＝ axln a （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex
11 / 11举措二 高考必记知识要点
集合
（1）集合间的关系与运算：A∪B＝A B A；A∩B＝B B A；
（2）元素与子集的个数：若集合A有n（n∈N*）个元素，则A有 个子集，有 个真子集，有 个非空真子集.
复数
（1）复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0（a，b∈R）；
（2）复数的几个常见结论
①（1±i）2＝±2i；
②＝i，＝－i；
③i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ ，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝ （n∈N）.
常用逻辑用语
（1）全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，它们之间的关系如下表所示：
命题 命题的否定
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
x∈M，p（x） x∈M， p（x）
（2）充分条件与必要条件的两种判定方法
①定义法：若p q，则p是q的 条件（或q是p的 条件）；若p q，且qp，则p是q的 条件（或q是p的 条件）；
②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A B，则p是q的 条件（q是p的 条件）；若A B，则p是q的 条件（q是p的 条件）；若A＝B，则p是q的 条件.
不等式
（1）分式不等式
＞0（＜0） f（x）g（x） 0（＜0）；
≥0（≤0）
（2）基本不等式
① （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号；
②4ab≤（a＋b）2≤2（a2＋b2），即ab （ ）2 ，当且仅当a＝b时取等号；
③＋≥ （ab＞0），当且仅当a＝b时取等号，＋≤ （ab＜0），当且仅当a＝－b时取等号.
平面向量
（1）平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ a·b＝
夹角的 余弦值 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的 充要条件 a·b＝0 ＝0
｜a·b｜与 ｜a｜｜b｜ 的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a与b共线时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤·（当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立）
（2）三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则
①O为△ABC的外心 ｜｜＝｜｜＝｜｜＝；
②O为△ABC的重心 ＋＋＝0；
③O为△ABC的垂心 ·＝·＝·；
④O为△ABC的内心 a＋b＋c＝0.
三角函数
（1）同角三角函数的基本关系式
商的 关系 ＝tan α
平方 关系 sin2α＋cos2α＝1
常见 变形 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±，sin α＝cos αtan α，cos α＝，sin2α＝＝，1＋tan2α＝
（2）三角恒等变换
①cos（α＋β）＝ ；
cos（α－β）＝ ；
sin（α＋β）＝ ；
sin（α－β）＝ ；
tan（α＋β）＝ ；
tan（α－β）＝ .
②二倍角公式：sin 2α＝ ，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝ ；
③降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
（3）三角函数的图象和性质
项目 正弦函数 y＝sin x 余弦函数 y＝cos x 正切函数 y＝tan x
单调性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z） （ －＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z） [2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）
对称性 对称轴 x＝ （k∈Z） x＝ （k∈Z）
对称中心 （k∈Z） （k∈Z） （k∈Z）
（4）三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种方法：
（5）正、余弦定理及其变形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径.
定理 正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边的对角） 余弦定理（已知三边或两边及其夹角）
内容 ＝＝＝2R； 变式：＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝ ， c2＝
常见变形 ①边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③求比值：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 求角或角化边： cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝
数列
（1）等差、等比数列的通项公式与前n项和公式
项目 等差数列 等比数列
通项公式 an＝ an＝ （q≠0）
前n项 和公式 Sn＝＝ ①q≠1，Sn＝＝ ； ②q＝1，Sn＝
（2）等差数列的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ ；
②ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为 的等差数列；
③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列（公差为 ，m∈N*）；
④S2n－1＝（2n－1）an；
⑤若项数n为偶数，则S偶－S奇＝ ；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝ .
（3）等比数列的性质
已知等比数列{an}的公比为q（q≠0），前n项和为Sn.
①若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则aman＝ ；
②若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列，即若m＋n＝ ，则aman＝ ；
③ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公比为 的等比数列；
④当q≠－1，或q＝－1且m（m∈N*）为奇数时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是公比为 的等比数列；
⑤若Tn为等比数列{an}的前n项积，则Tm，，，…是公比为（qm）m的等比数列；
⑥当项数为2n时，＝ ；当项数为2n＋1时，＝ .
立体几何
（1）空间几何体的表面积与体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝ S表＝2πr（r＋l） V＝S底h＝
圆锥 S侧＝ S表＝πr（r＋l） V＝ ＝πr2h
圆台 S侧＝ S表＝π（r2＋r'2＋rl＋r'l） V＝ ＝π（r2＋r'2＋rr'）h
直棱柱 S侧＝Ch（C为底面周长） S表＝S侧＋ S上＋S下（棱 锥的S上＝0） V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch'（h'为斜高） V＝S底h
正棱台 S侧＝（C＋C'）h'（C，C'分别是上、下底面周长，h'为斜高） V＝
球 S＝ V＝
（2）利用空间向量求角和距离
异面直线a，b所成的角θ cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝ ，其中0°＜θ≤90°，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量
直线AB与平面α所成的角θ sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝ ，其中0°≤θ≤90°，m是平面α的法向量
二面角α-l-β的平面角θ ｜cos θ｜＝｜cos＜m，n＞｜＝ ，其中0°≤θ≤180°，m，n分别是平面α，β的法向量
点B到平面α的距离d d＝，其中n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线
（3）平行、垂直关系的转化
（4）用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为u＝（a2，b2，c2），v＝（a3，b3，c3）.则有
①线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 ＝0；
②线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；
③面面平行：α∥β u∥v u＝λv a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3；
④面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 ＝0.
解析几何
（1）直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
（ⅰ）两直线平行：l1∥l2 ；
（ⅱ）两直线垂直：l1⊥l2 .
提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.
②直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
（ⅰ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－B1A2 0且A1C2－A2C1 0；
（ⅱ）若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2 0.
提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
（2）三种距离公式
①已知A（x1，y1），B（x2，y2），两点间的距离｜AB｜＝；
②点到直线的距离d＝ （其中点P（x0，y0），直线方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0）；
③两平行线间的距离d＝（其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，A2＋B2≠0）.
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.
（3）圆的方程的两种形式
①圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）；
（4）圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 ｜PF1｜＋｜PF2｜ ＝ （2a ｜F1F2｜） ｜｜PF1｜－ ｜PF2｜｜＝ （0＜2a ｜F1F2｜） ｜PF｜＝｜PM｜点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0） y2＝ 2px（p＞0）
图形
几何性质 范围 ｜x｜≤ ， ｜y｜≤ ｜x｜≥ x≥0
顶点 （±a，0）， （0，±b） （±a，0） （0，0）
对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 （±c，0） （，0）
轴 长轴长 ， 短轴长 实轴长 ， 虚轴长
离心率 e＝＝ （0＜e＜1） e＝＝ （e＞1） e＝1
准线 x＝－
渐近线 y＝
（5）设直线的斜率为k（k≠0），直线与圆锥曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·.
（6）圆锥曲线中的二级结论
圆锥曲线的焦点三角形 椭圆的焦点三角形： 如图1，以椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2＝θ，则 ①｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a； ②4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos θ； ③＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2tan. 双曲线的焦点三角形： 如图2，若点P是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上不同于顶点的任意一点，F1，F2为双曲线C的两焦点，则△PF1F2叫作双曲线的焦点三角形.记∠F1PF2＝θ，则＝
椭圆、双曲线第三定义的推广 椭圆的第三定义的推广：若M，N是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝－，e为椭圆C的离心率. 双曲线的第三定义的推广：若M，N是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上异于M，N的一点，当直线PM，PN的斜率都存在（分别记为kPM，kPN）时，kPM·kPN＝e2－1＝，e为双曲线C的离心率
双曲线的渐近线 ①若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ（λ∈R，且λ≠0）； ②焦点到渐近线的距离总是b； ③双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为e＝＝
抛物线的焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2），α为直线AB的倾斜角，则有以下结论： ①焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，＋＝； ②弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； ③S△OAB＝（O为抛物线的顶点）； ④以弦AB为直径的圆与准线相切； ⑤过点A，B分别向抛物线的准线引垂线，设垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1＝90°
相交弦所在直线斜率与弦中点的关系 ①已知直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝－·； ②已知直线y＝kx＋m（k≠0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝·； ③已知直线y＝kx＋m（k≠0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，若A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则直线AB的斜率k＝＝
概率与统计
（1）排列数与组合数的性质
①＝n；②＝m＋；③＝；④＝＋.
（2）二项式系数的3个性质
对称性 当0≤k≤n（n∈N*，k∈N）时，与的关系是：＝
增减性与 最大值 二项式系数先增后减，中间项的二项式系数最大； 当n为偶数时，第 项的二项式系数最大，最大值为 ； 当n为奇数时，第 项和第 项的二项式系数最大，最大值为 （或 ）
各二项式 系数的和 各二项式系数的和：＋＋＋…＋＝ ； 奇数项的二项式系数的和＝偶数项的二项式系数的和＝2n－1，即＋＋…＝＋＋…＝
（3）概率的计算公式
①古典概型的概率计算公式：
P（A）＝；
②互斥事件的概率计算公式：P（A∪B）＝ ；
③对立事件的概率计算公式：P（）＝ ；
④独立事件同时发生的概率计算公式：P（AB）＝ ；
⑤条件概率公式：P（B｜A）＝ ，P（A）＞0；
⑥概率的乘法公式：P（AB）＝ ，P（A）＞0；
⑦全概率公式：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）（A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，B Ω）.
（4）期望与方差的性质
①均值的性质：（ⅰ）E（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若X～B（n，p），则E（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点分布，则E（X）＝ .
②方差的性质：（ⅰ）D（aX＋b）＝ ；（ⅱ）若X～B（n，p），则D（X）＝ ；（ⅲ）若X服从两点分布，则D（X）＝ .
（5）二项分布与超几何分布
二项分布 超几何分布
定义 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk·（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上述形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p） 如果随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，那么称随机变量X服从超几何分布
期望 E（X）＝ E（X）＝ ，其中p＝，表示N件产品的次品率
（6）用样本的数字特征估计总体的数字特征
给出一组数据x1，x2，x3，…，xn 给出频率分布直方图
众数 在一组数据中，出现 最多的数据叫作这组数据的众数 最高矩形所在区间的 的横坐标即众数
中位数 将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列，把处在 的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫作这组数据的中位数 中位数左边和右边的直方图的 相等
平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）＝xi，其中xi是第i个样本数据，n是样本容量 图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和
方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]＝（xi－）2 记频率分布直方图中有m个区间分组，各区间中点的横坐标分别为y1，y2，…，ym，各区间对应的频率分别为p1，p2，…，pm，为样本数据的平均数， 则s2＝（yi－）2pi
标准差 s＝ s＝
（7）样本相关系数r具有如下性质：
①｜r｜≤1；
②当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度 ；
③当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度 .
函数与导数
（1）函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 ＞0 f（x）在[a，b]上 ；（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 ＜0 f（x）在[a，b]上 ；
②若函数f（x）和g（x）都是减函数，则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 函数；若函数f（x）和g（x）都是增函数， 则在公共定义域内，f（x）＋g（x）是 函数；根据 判断复合函数y＝f（g（x））的单调性.
（2）函数奇偶性的常用结论
①如果奇（偶）函数f（x）在区间[a，b]（0≤a＜b）上具有单调性，那么f（x）在[－b，－a]上具有相同（反）的单调性；
②定义在R上的函数f（x）总可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，其中g（x）＝，h（x）＝.
（3）函数周期性的常用结论
①设周期函数f（x）的最小正周期为T（T＞0），则f（λx）（λ≠0）的最小正周期为；
②若u＝g（x）是周期函数，f（u）是任意函数，则f（g（x））也是周期函数；
③若f（x＋a）＝f（x＋b），则f（x）的周期T＝b－a，其中a≠0，b≠0，a≠b；
④若f（x＋a）＝－f（x），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
⑤若f（x＋a）＝±（c为常数），则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0，c≠0；
⑥若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝2a，其中a≠0；
若f（x＋a）＝，则f（x）的周期T＝4a，其中a≠0.
（4）函数图象的对称性
①函数y＝f（x）的图象与其反函数y＝f－1（x）的图象关于直线y＝x对称；
②函数y＝f（x）的图象与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（a＋x） f（2a－x）＝f（x）；
④函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称 f（a－x）＝－f（a＋x） f（2a－x）＝－f（x）；
⑤函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 f（a＋mx）＝f（b－mx）（m≠0） f（a＋b－mx）＝f（mx）（m≠0）.
（5）指数函数与对数函数的基本性质
①定点：y＝ax（a＞0，且a≠1）恒过点 ；y＝logax（a＞0，且a≠1）恒过点 ；
②单调性：当a＞1时，y＝ax在R上 ，y＝logax在（0，＋∞）上 ；当0＜a＜1时，y＝ax在R上 ，y＝logax在（0，＋∞）上 ；
（6）常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型
抽象函数的性质 特殊函数模型
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）， ②f（x－y）＝f（x）－f（y） 正比例函数f（x）＝kx（k≠0）
①f（x）f（y）＝f（x＋y）（x，y∈R）， ②＝f（x－y）（x，y∈R，f（y）≠0） 指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）＋f（y）（x＞0，y＞0）， ②f（ ）＝f（x）－f（y）（x＞0，y＞0） 对数函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）f（y）， ②f（ ）＝（y≠0，f（y）≠0） 幂函数f（x）＝xn
f（x＋y）＝f（x）g（y）＋g（x）f（y） 三角函数f（x）＝sin x，g（x）＝cos x
f（x＋y）＝ 正切函数f（x）＝tan x
f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（7）5组基本初等函数的导数公式
① c'＝0（c为常数）
② （xα）'＝ （α∈R，且α≠0），高频使用：（ ）'＝（x－1）'＝
③ （sin x）'＝ ，（cos x）'＝
④ （logax）'＝ （x＞0，a＞0且a≠1），（ln x）'＝ （x＞0）
⑤ （ax）'＝ （a＞0且a≠1），（ex）'＝ex
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