专题七 函数与导数
第1讲 小题研透——函数的图象与性质
1.A f（log212）＝f（log212－1）＝f（log26）＝f（log26－1）＝f（log23）＝＋＝3＋＝，故选A.
2.D 对于A，f（x）＝tan x为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意.对于B，f（x）＝－，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝－＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数，其在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递增的，但在整个定义域内不单调，不符合题意.对于C，f（x）＝x－cos x，f（－x）＝－x－cos（－x）＝－x－cos x≠－f（x），故函数f（x）＝x－cos x不是奇函数，不符合题意.对于D，y＝ex和y＝－e－x＝－（）x在R上均是增函数，所以f（x）＝ex－e－x在R上是增函数，又f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），所以f（x）是奇函数，符合题意，故选D.
3.D 将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，可得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝loga，即g（x）＝logax－loga3.将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝logax－loga3＋2，该函数图象恰好与函数f（x）的图象重合，所以－loga3＋2＝0，所以a2＝3.又a＞0且a≠1，则a＝，故选D.
4.C 令g（x）＝f（x）－1＝x3＋x，易知g（x）为奇函数且g（x）在R上单调递增.由f（1－x）＋f（2x）＞2得f（1－x）－1＋f（2x）－1＞0，则g（1－x）＋g（2x）＞0，所以g（1－x）＞－g（2x）＝g（－2x），所以1－x＞－2x，解得x＞－1.故选C.
5.CD 因为f（－x）＝｜－x－1｜－1＝｜x＋1｜－1≠f（x），所以f（x）不是偶函数，A错误；f（x）＝可知当0＜x＜1时，f（x）单调递减，B错误；f（2－x）＝｜2－x－1｜－1＝｜1－x｜－1＝｜x－1｜－1＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；
作出f（x）的部分图象如图所示，f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点（0，0）和点（2，0），f（1）＝－1，所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的面积为×2×1＝1，D正确.故选C、D.
6.1 解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1.
7.D 由函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得－3≤2x－1≤1，因此由函数y＝有意义，得解得1＜x≤2，所以函数y＝的定义域为（1，2].故选D.
8.B 由于 y＝f（x＋2）的图象关于点（－2，0）对称，故y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y＝f（x）为奇函数，又f（x＋8）＝－f（x），则f（x＋16）＝－f（x＋8）＝f（x），即16为f（x）的周期，令x＝－3代入f（x＋8）＝－f（x），则f（5）＝－f（－3）＝f（3）＝3，故f（43）＝f（43－3×16）＝f（－5）＝－f（5）＝－3，故选B.
9.D 由题图知，f（x）为奇函数，且定义域为{x｜x≠0}，对于A，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）为偶函数，不符合题意；对于B，f（－x）＝＝≠－f（x），故f（x）不是奇函数，不符合题意；对于C，f（－x）＝cos（－x）·ln ｜－x｜＝cos x·ln ｜x｜＝f（x），故f（x）为偶函数，不符合题意.对于D，f（x）＝sin x·ln ｜x｜的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝sin（－x）·ln ｜－x｜＝－sin x·ln ｜x｜＝－f（x），所以f（x）＝sin x·ln ｜x｜是奇函数，故选项D正确.故选D.
10.B 由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.又因为f（）＝f（），＜＜，所以f（）＞f（）＞f（），即f（）＜f（）＜f（）.故选B.
11.BC 令x＝y＝0，则f2（0）＝f2（0）－f2（0），得f（0）＝0；令x＝0，y＞0，得f（y）f（－y）＝f2（0）－f2（y），得f（y）f（－y）＝－f2（y），整理得f（y）·（f（－y）＋f（y））＝0，又当x＞0时，f（x）＞0，所以f（y）＞0，故f（－y）＋f（y）＝0.综上，f（x）是奇函数.设x2＞x1＞0，则f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1＋x2）＞0，f（x2－x1）＞0，f2（x2）－f2（x1）＝（f（x2）＋f（x1））·（f（x2）－f（x1））＝f（x2＋x1）·f（x2－x1）＞0，所以f（x2）－f（x1）＞0，又f（0）＝0，f（x）是奇函数，故f（x）在R上是增函数，故f（x）不是周期函数.故选B、C.
12.ACD 令g（x）＝ln（＋x）＋x3，定义域为R，因为g（－x）＝ln（－x）＋（－x）3＝ln（－x）－x3＝ln－x3＝－[ln（＋x）＋x3]＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以f（x）＝g（x）＋a关于点（0，a）对称，所以f（x）＋f（－x）＝2a，A正确；因为y1＝＋x在（0，＋∞）上单调递增，则y2＝ln（＋x）在（0，＋∞）上单调递增，又y3＝x3在（0，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，即f（x）在R上单调递增，则x＝0不是函数f（x）的极值点，B错误；因为f（x）在R上单调递增，所以由f（x2－3）＜f（2x），可得x2－3＜2x，解得－1＜x＜3，则f（x2－3）＜f（2x）的解集为{x｜－1＜x＜3}，C正确；不妨设x1＜x2，因为f（x）在R上单调递增，所以f（x1）＜f（x2），则｜f（x1）－f（x2）｜≥M｜x1－x2｜等价于f（x2）－f（x1）≥M（x2－x1），即f（x2）－Mx2≥f（x1）－Mx1，故只需函数h（x）＝f（x）－Mx为增函数，而当M＜0时，满足h（x）为增函数，故存在非零常数M，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥M｜x1－x2｜，D正确.
13.（0，1） 解析：由题知：fA（x）＋fB（x）可取±2，0，若fA（x）＋fB（x）＞0，则fA（x）＋fB（x）＝2，即集合A∩B≠ ，得0＜t＜1，即t的取值范围为（0，1）.
14.（答案不唯一） 解析：取f（x）＝，当xy＞0时，f（x＋y）＝，f（x）f（y）＝·＝，故f（x＋y）＝f（x）f（y），又f（－x）＝＝＝f（x），也即f（x）＝f（－x）成立，又f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故f（x）＝满足题意.
15.（0，）∪（2，＋∞） 解析：在同一平面直角坐标系下画出f（x）＝｜x2＋x｜，g（x）＝x＋的图象，如图1所示.作出M（x）＝max{f（x），g（x）}的图象，如图2，其中（｜x2＋x｜）max＝（－1≤x≤0），当且仅当x＝－时取得.设函数f（x），g（x）的图象在第一象限的交点为P（x，y），则由得P（1，2）.若直线y＝a与函数y＝M（x）的图象有3个不同的交点，则数形结合可得0＜a＜或a＞2.
16.BD 因为f（x）为偶函数，所以f（－x）＝f（x）.因为f（x＋1）是R上的奇函数，所以f（1）＝0，因为f（（x＋2））的图象是由f（）的图象向左平移2个单位长度得到的，所以f（）的图象关于点（2，0）对称，故f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，即f（1＋x）＝－f（1－x）.所以f（x＋2）＝f（1＋（1＋x））＝－f（1－（1＋x））＝－f（－x）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以函数f（x）是周期函数，且周期为4.又f（x）在[0，1]上单调递增，所以在[0，1]上，有f（x）＜0.综上，画出f（x）的大致图象如图.由图可知f（－）＞0，故A错误；f（）＞0，故B正确；f（3）＝0，故C错误；f（）＝f（674＋）＝f（4×168＋2＋）＝f（2＋）＞0，故D正确.故选B、D.
17.BCD 对于A，显然f（x）的定义域为R，2x＞0，则0＜＜2，即函数f（x）的值域为（0，2），A错误；对于B，令h（x）＝f（x＋1）－1＝－1＝－1＝，h（－x）＝＝＝－h（x），即函数y＝f（x＋1）－1是奇函数，因此函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，f（－x＋1）－1＝－[f（x＋1）－1]，即f（1－x）＋f（1＋x）＝2，两边求导得－f'（1－x）＋f'（1＋x）＝0，即f'（1－x）＝f'（1＋x），因此函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，由函数g（x）满足y＝g（x＋1）－1为奇函数，得函数g（x）的图象关于点（1，1）成中心对称，由选项B知，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象有2 024个交点关于点（1，1）对称，因此（xi＋yi）＝xi＋yi＝1 012×2＋1 012×2＝4 048，D正确.故选B、C、D.
第2讲 小题研透——基本初等函数、函数与方程
1.D ［（ －）－2＋log25－log210＝（36＋log2＝9－1＝8.故选D.
2.A 因为a＝2sin＜2sin＝1，又b3＝7，则b＝，且1＜＜＝2，即1＜b＜2，因为3c＝10，所以c＝log310＞log39＝2，所以c＞b＞a.故选A.
3.A ∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－，即x∈（ －∞，－）.
4.D 设t＝ex－1，则x＝ln t＋1，所以f（t）＝2ln t＋1，t＞0.由f（a）＋f（b）＝0得2ln a＋1＋2ln b＋1＝0，即ln（ab）＝－1，所以ab＝.故选D.
5.BD 当a＞1时，y＝ax在（－∞，＋∞）上是增函数且其图象恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在（2，＋∞）上是增函数且其图象恒过点（3，0），则选项B符合要求；当0＜a＜1时，y＝ax在（－∞，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（0，1），y＝loga（x－2）在（2，＋∞）上是减函数且其图象恒过点（3，0），则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.
6.5 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），因为y＝ln x和y＝2x－6在（0，＋∞）上均单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数.又因为f（）＝ln－1＜0，f（3）＝ln 3＞0，所以f（x）的零点在（，3）内，所以整数k＝5.
7.A 由f（x）＝x－＝则可作出函数f（x）＝x－的图象如图，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3.
8.C 设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，由题意得800×（1－25％）t＝500×（1－10％）t，整理得（）t＝，两边取常用对数得tlg ＝lg ，即t（lg 5－lg 6）＝lg 5－lg 8，即t（1－2lg 2－lg 3）＝1－4lg 2，所以t＝，即t≈≈2.58，所以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等.故选C.
9.A 由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴1－b＝0，∴b＝1，经检验，b＝1符合题意，∴f（x）＝ax－a－x.当a＞1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，∴f（x）max＝f（1）＝a－a－1＝，解得a＝3或a＝－（舍去）；当0＜a＜1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递减，∴f（x）max＝f（－1）＝a－1－a＝，解得a＝或a＝－3（舍去）.综上所述，a＝3或a＝.故选A.
10.B 若y＝ax和y＝logbx在（0，＋∞）上单调递增，y＝xc在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有·＝4个；若y＝ax和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝logbx在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有··＝8个；若y＝logbx和y＝xc在（0，＋∞）上单调递增，y＝ax在（0，＋∞）上单调递减，则有序数对（a，b，c）有··＝8个；若y＝ax，y＝logbx和y＝xc在（0，＋∞）上都单调递增，则有序数对（a，b，c）有·＝4个.综上所述，满足题意的有序数对（a，b，c）的个数是4＋8＋8＋4＝24.故选B.
11.AD 对于A，｜f（x）｜＜，即－＜＜，即－＜1－＜，即＜＜，即＜2x＋1＜3，即＜2x＜2，所以－1＜x＜1，故A正确；对于B，f（－x）＝＝＝－f（x），故B错误；对于C，f（x）＝1－，因为u＝2x＋1在R上单调递增，且u＞1，y＝1－在u＞1时单调递增，所以f（x）在R上单调递增，故C错误；对于D，记y＝f（x）＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x＞0得，＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1），故D正确.综上，选A、D.
12.BC 依题意，x1＋＝0 ＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1，）与点（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C.
13.16 解析：因为log2＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2（ab）＝log2a＋log2b≥2＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以（ab）min＝24＝16.
14.[1，3）∪{0} 解析：因为关于x的方程f（x）－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，作出函数图象，如图，所以当m∈[1，3）∪{0}时，函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有两个交点，所以实数m的取值范围是[1，3）∪{0}.
15. [－1，＋∞） 解析：函数f（x）＝loga（－x＋1）（a＞0且a≠1）在[－2，0]上的值域是[－1，0]，当a＞1时，f（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0＜a＜1时，f（x）＝loga（－x＋1）在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g（x）＝（）x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g（0）＝（）m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞）.
16.A 由f（2－x）＝f（x）知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为f（2－x）＝f（x），f（x）是R上的奇函数，所以f（－x）＝f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝f（x），f（x）的周期为4，只考虑f（x）的一个周期，例如在[－1，3]上，由f（x）在[0，1]上单调递减知f（x）在（1，2）上单调递增，在（－1，0）上单调递减，在（2，3）上单调递增.对于奇函数f（x），有f（0）＝0，所以f（2）＝f（2－2）＝f（0）＝0，故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）＝0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）＝0，当x∈（－1，0）时，f（x）＞f（0）＝0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）＝0.因为方程f（x）＝1在（－1，0]上有实数根，函数f（x）在（－1，0]上单调，所以实数根是唯一的，所以方程f（x）＝－1在（0，1]上有唯一的实数根，结合f（x）的图象关于直线x＝1对称可得方程f（x）＝－1在（1，2）上也有唯一的实数根.因为在（－1，0）和（2，3）上有f（x）＞0，所以方程f（x）＝－1在（－1，0）和（2，3）上没有实数根，从而方程f（x）＝－1在[－1，3]上有且仅有两个实数根.当x∈[－1，3]时，方程f（x）＝－1的两实数根之和为2×1＝2，所以当x∈[3，11]时，方程f（x）＝－1的所有实数根之和为2×（5＋9）＝28.故选A.
17.BD 对于A，当x∈Z时，f（x）＝x，当x Z时，f（x）∈Z，而x－1 Z，因此f（x）≠x－1，A错误；对于B， x∈R，n∈Z，令f（x）＝m，则m≤x＜m＋1，m＋n≤x＋n＜m＋n＋1，因此f（x＋n）＝m＋n＝f（x）＋n，B正确；对于C，取x＝，y＝2，0＜lg 2＜1，则f（lg）＝－1，f（lg 2）＝0，f（lg（×2））＝f（0）＝0，显然f（lg）＋f（lg 2）≠f（lg（×2）），C错误；对于D，n∈N*，当1≤n≤9时，f（lg n）＝0，当10≤n≤99时，f（lg n）＝1，而f（lg 100）＝2，因此f（lg 1）＋f（lg 2）＋f（lg 3）＋…＋f（lg 99）＋f（lg 100）＝92，此时n＝100，D正确.故选B、D.
第3讲 小题研透——导数的简单应用
1.D ＝－·＝－a，则－a＝1－a，解得a＝2.故选D.
2.D 函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－3x2＝3（2－x）·（2＋x），所以当－2＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＜－2或x＞2时f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2.
3.C f（x）＝xex f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以当x＝－1时，函数f（x）的最小值为－，因此A、B错误，C正确；因为f'（0）＝1，f（0）＝0，所以f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，因此D错误.故选C.
4.AC 根据导函数图象可知：当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，1）时，f'（x）≥0，∴函数y＝f（x）在（－∞，－3）上单调递减，在（－3，1）上单调递增，故A、C正确；∵f（x）在（－3，1）上单调递增，∴－1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确.故选A、C.
5.5 解析：f'（x）＝3x2－，因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f'（1）＝3－a＝－2，即a＝5.
6.（0，＋∞） 解析：由题可得f'（x）＝ex－a≥0恒成立，又ex∈（0，＋∞），所以a≤0.函数g（x）的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝＋2x－（a＋2），x＞0，又2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，由a≤0得a＋2≤2，则g'（x）＞0，故g（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.
7.D f'（x）＝1＋ln x，则f'（1）＝1＋ln 1＝1，易知f（1）＝0，所以直线l的方程为y＝x－1.因为直线l与g（x）的图象也相切，所以方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋（a－1）x＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
8.B 函数y＝f（x）＝x＋aln x在（，e）上有极值点，则f'（x）在（，e）上有零点.f'（x）＝1＋＝（x＞0），令g（x）＝x＋a，则g（x）的零点即为f'（x）的零点，且函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以（＋a）（e＋a）＜0，解得－e＜a＜－.所以实数a的取值范围为（－e，－）.故选B.
9.A 因为f'（x）－f（x）＞0，所以＞0.令g（x）＝，则g'（x）＝＞0，所以g（x）在R上单调递增.exf（x＋1）＞e4f（2x－3） ＞ g（x＋1）＞g（2x－3） x＋1＞2x－3 x＜4，所以“x＜2”是“exf（x＋1）＞e4f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A.
10.D 由于f（－x）＝（－x）sin（－x）＝xsin x＝f（x），且定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，当x∈［0，］时，f'（x）＝sin x＋xcos x≥0，故函数f（x）在［0，］上单调递增，结合函数为偶函数可知，函数f（x）在［－，0］上单调递减，所以f（x1）＜f（x2）等价于｜x1｜＜｜x2｜，即＜.故选D.
11.C 由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f'（x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0时，f（x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝（f（x）＋f'（x））ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A、B错误；设h（x）＝，则h'（x）＝＝，则h（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h（x）在x＝0处有最大值h（0）＝＝1，故C正确，D错误.故选C.
12.AB 由 x∈R，xf'（x）＝（x＋1）f（x），令x＝0，则0＝（0＋1）f（0），∴f（0）＝0，A正确；当x≠0时，由xf'（x）＝（x＋1）f（x）得xf'（x）－f（x）＝xf（x），故＝，即［］'＝，则＝ex，则f（x）＝xex，f'（x）＝ex＋xex，f″（x）＝ex＋ex＋xex＝ex（2＋x），故f″（－2）＝ex（2－2）＝0，B正确；令g（x）＝（x＞0），g'（x）＝ex＞0，故g（x）在（0，＋∞）上单调递增，故＞，即f（2）＞2f（1），C错误；由于f'（x）＝ex＋xex，令f'（x）＞0，∴ex（1＋x）＞0，即得x＞－1，令f'（x）＜0，∴ex（1＋x）＜0，即得x＜－1，故f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1是函数f（x）的极小值点，D错误.故选A、B.
13.（－∞，6] 解析：因为f（x）＝x3－ax2＋6x，所以f'（x）＝3x2－ax＋6，因为函数f（x）＝x3－ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，所以f'（x）＝3x2－ax＋6≥0在（1，3）上恒成立，即x∈（1，3）时，a≤3x＋恒成立，因为3x＋≥2＝6，当且仅当x＝时等号成立，即（3x＋）min＝6，所以a≤6.
14.（－∞，）∪（2，＋∞）
解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥；若g（x）＝x2＋（2－a）ln x无极值，则g'（x）＝≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则或解得a∈（－∞，）∪（2，＋∞）.
15.（e2，e） 解析：函数f（x）＝aln x的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝，由g'（x）＝，设曲线f（x）＝aln x与曲线g（x）＝的公共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，所以＝，所以x0＝4a2（a＞0），由f（x0）＝g（x0），可得aln x0＝，联立可得解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为（e2，e）.
16.ACD f'（x）＝＋2x－（a＋2）＝，x＞0.当a＝2时，f'（x）＝≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）无极值点，A正确；当a＜0时，2x－a＞0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1，当x→0＋，f（x）→＋∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，当f（1）＝0即a＝－1时，f（x）有且仅有1个零点；当a＜－1时，f（x）无零点；当－1＜a＜0时，f（x）有2个零点.当a＞0，令f'（x）＝0，解得x＝1或，当x→0＋，f（x）→－∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，①当a＝2时，由A项分析可知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，此时有且仅有1个零点，②当0＜a＜2时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1＜0，f（）＝aln－－a＜0，则当a＞2或0＜a＜2时，f（x）在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，综上，当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0或a＝－1，B错误；当a＝2时，f（2）＝2ln 2－4，f'（2）＝1，所以f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2，C正确；当a＞0时，f（a）－f（1）＝aln a－2a＋a＋1＝aln a－a＋1，记h（a）＝aln a－a＋1，h'（a）＝ln a，令h'（a）＞0，解得a＞1，则h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（a）≥h（1）＝0，即f（a）≥f（1），D正确.
17.①②④ 解析：①y＝x2－2｜x｜＝在x＝－1和x＝1处的切线都是y＝－1，故①有“自公切线”；②y＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cos φ＝，sin φ＝，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故②有“自公切线”；③3x2－xy＋1＝0，即y＝3x＋（x≠0），则y'＝3－，假设此函数有“自公切线”，设切点分别为A（x1，3x1＋），B（x2，3x2＋），且x1≠x2，所以切线的斜率k＝3－＝3－，解得x2＝－x1，则B（－x1，－3x1－），故k＝3－＝，化简得3x1＋＝3x1－，无解，所以③没有“自公切线”；④x2＋y2－x－｜x｜－1＝0，当x≥0，则（x－1）2＋y2＝2，当x＜0，则x2＋y2＝1，表示的图形如图，由于圆（x－1）2＋y2＝2与圆x2＋y2＝1相交，有公切线，所以④有“自公切线”.
第4讲 大题专攻——利用导数证明不等式
1.解：（1）函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），且f'（x）＝，
因为x＝1时，f（x）有极大值，所以解得a＝1，b＝0，
经检验，当a＝1，b＝0时，f（x）在x＝1时有极大值，
所以a＝1，b＝0.
（2）证明：由（1）知，f（x）＝，
当x＞0时，要证f（x）＜，即证＜，
即证ex＞x＋1.
设g（x）＝ex－x－1，则g'（x）＝ex－1，
因为x＞0，所以g'（x）＝ex－1＞0，
所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，即ex－x－1＞0，即ex＞x＋1，
故当x＞0时，f（x）＜.
2.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），由f（x）＝（2x＋1）ln x－可得f'（x）＝2ln x＋（2x＋1）·－x＝2ln x－x＋＋2，
则f'（1）＝2，所以曲线f（x）在x＝1处的切线斜率为k＝2，
又因为f（1）＝－，
所以切线方程为y＋＝2（x－1），即y＝2x－，
所以a＝2，b＝－.
（2）证明：要证明f（x）≤ax＋b，只要证（2x＋1）ln x－－2x＋≤0，
设g（x）＝（2x＋1）ln x－－2x＋，
则g'（x）＝2ln x＋－x，
令h（x）＝2ln x＋－x，
则h'（x）＝－－1
＝－≤0，
所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，
又h（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，
h（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，＋∞）时，h（x）＜0，则g（x）在（1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）≤g（1）＝0，所以f（x）≤ax＋b.
3.解：（1）当t＝0时，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－＋＝.
当a≤0时，∵x＞0，∴x－a＞0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
当a＞0时，若x＞a，则f'（x）＞0，f（x）单调递增；若0＜x＜a，则f'（x）＜0，f（x）单调递减.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减.
（2）证明：要证g（x）＞f（x），即证g（x）－f（x）＞0，即证ex－ln（x＋t）＞0，即证ex－ln（x＋t）≥ex－ln（x＋2）＞0.
令F（x）＝ex－ln（x＋2），F'（x）＝ex－在（－2，＋∞）上单调递增，
∵∴F'（x）＝0在（－2，＋∞）上有唯一实根，设为x0，则x0∈（－1，0）.
当x∈（－2，x0）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增.
故当x＝x0时，F（x）取得最小值，由F'（x0）＝0得＝，即x0＝－ln（x0＋2），
F（x）≥－ln（x0＋2）＝＋x0＝＞0.
故当t≤2时，g（x）＞f（x）.
4.解：（1）由已知得，函数f（x）＝－m的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝＝.
由f'（x）＝0，得x＝ea＋1，且当0＜x＜ea＋1时，f'（x）＞0；当x＞ea＋1时，f'（x）＜0.
所以f（x）在x＝ea＋1时取得极值，
所以ea＋1＝e，解得a＝0.
所以f（x）＝－m（x＞0），f'（x）＝，
显然当0＜x＜e时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，e）上单调递增；
当x＞e时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减.
f（e）＝－m，且f（e）为f（x）的极大值，也是最大值.
易知当x→0（x＞0）时，f（x）→－∞；当x→＋∞时，f（x）→－m.
又f（x）有两个零点x1，x2，所以
得0＜m＜，
所以实数m的取值范围为（0，）.
（2）证明：由题意，不妨设0＜x1＜x2，则
则ln（x1x2）＝m（x1＋x2），ln＝m（x2－x1），
所以m＝，要证x1x2＞e2，
即证ln（x1x2）＞2，即证m（x1＋x2）＞2，
即证ln＞2，令t＝，则t＞1，
则只需证当t＞1时，ln t＞，
即证当t＞1时，ln t－＞0.
设g（t）＝ln t－（t＞1），
则g'（t）＝－＝＞0，
所以g（t）在（1，＋∞）上单调递增，
则g（t）＞g（1）＝ln 1－＝0，
从而原不等式成立，
即x1x2＞e2成立.
第5讲 大题专攻——导数与不等式恒（能）成立问题
1.解：（1）当a＝1时，f（x）＝x（ex＋1），f'（x）＝ex（x＋1）＋1，则f'（0）＝2，而f（0）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x.
（2） x∈（0，＋∞），由f（x）≥x2，得a≥，
设g（x）＝，则g'（x）＝，
令g'（x）＝＝0，得x＝2，
则x∈（0，2）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（2，＋∞）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，
故g（x）max＝g（2）＝e－2，故a≥e－2，
即实数a的取值范围为[e－2，＋∞）.
2.解：（1）由题意得，f'（x）＝－x＋1（x＞0），g'（x）＝3.
设函数f（x）与g（x）的图象的切点为（x0，f（x0）），x0＞0，
则f'（x0）＝－x0＋1＝3，解得x0＝1或x0＝－3（舍去），
所以函数f（x）与g（x）的图象的切点为（1，），
将切点坐标代入g（x）＝3x＋a，得＝3×1＋a，所以a＝－.
（2）设h（x）＝3ln x－x2－2x（x＞0）.
“存在x＞0，使f（x）＞g（x）成立”等价于“存在x＞0，使h（x）＝3ln x－x2－2x＞a成立”等价于“x＞0时，a＜h（x）max”.
h'（x）＝－x－2＝＝－.
令h'（x）＞0，得0＜x＜1； 令h'（x）＜0，得x＞1，
所以函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝－，
即a＜－，
所以实数a的取值范围是（－∞，－）.
3.解：（1）f（x）＝xsin x＋cos x，则f'（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
当x∈（0，π）时，令f'（x）＞0，得0＜x＜，令f'（x）＜0，得＜x＜π，
所以当x∈（0，π）时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，π）.
（2）对任意的x1∈[－π，π]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≤g（x2）成立，即［f（x1）］max≤[g（x2）]max.
当x∈[－π，π]时，f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.
由（1）得f（x）在[0，π]上的最大值为f（）＝，所以f（x）在[－π，π]上的最大值为.
所以对x1∈[－π，π]，［f（x1）］max＝×＝.
故原问题转化为存在x2∈[0，1]，使得g（x2）≥成立，即[g（x2）]max≥.
易知函数g（x）＝－x2＋2ax为二次函数，图象的对称轴为直线x＝a.
①当a≤0时，函数g（x）在区间[0，1]上的最大值为g（0）＝0，不合题意.
②当0＜a＜1时，函数g（x）在区间[0，1]上的最大值为g（a）＝a2，
令a2≥，得a≥或a≤－，所以≤a＜1.
③当a≥1时，函数g（x）在区间[0，1]上的最大值为g（1）＝2a－1，
令2a－1≥，得a≥，所以a≥1.
综上，a的取值范围是［，＋∞）.
4.解：（1）f'（x）＝（x3－5x2＋4x）e1－x＝x（x－1）（x－4）·e1－x，x＞0，
令f'（x）＞0，解得x＞4或0＜x＜1，
令f'（x）＜0，解得1＜x＜4，
故f（x）在（0，1），（4，＋∞）上单调递增，在（1，4）上单调递减，
故f（x）在x＝1处取得极大值，f（1）＝e1－1＝1，
f（x）＝（2x2－x3）e1－x＝x2（2－x）e1－x，当x＞2时，f（x）＜0恒成立，
故f（x）在x＝1处取得最大值，f（x）max＝1.
（2）设g（x）＝ax2e1－x＋｜ln x｜－a，其中x＞0，
则g（x）≥0对任意的x∈（0，＋∞）恒成立.
①当x＝1时，g（1）＝0，符合题意.
②当0＜x＜1时，g（x）＝ax2e1－x－ln x－a，
g'（x）＝a（2x－x2）e1－x－＝（f（x）－），
由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递增，故f（x）∈（f（0），f（1）），即f（x）∈（0，1），
若a＜0，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意；
若a＝0，g（x）＝－ln x＞0，符合题意；
若≥1，则0＜a≤1，g'（x）＜0，则g（x）在（0，1）上单调递减，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意；
若0＜＜1，则a＞1，存在x0∈（0，1），使得f（x0）＝，
当x∈（x0，1）时，f（x）＞，故g'（x）＞0，则g（x）单调递增，可得g（x）＜g（1）＝0，不符合题意，
因此当0＜x＜1时，a∈（－∞，1].
③当x＞1时，g（x）＝ax2e1－x＋ln x－a，且g'（x）＝a（2x－x2）·e1－x＋＝（f（x）＋），由②可知只需考虑a≤1，
若－1＜＜0，则a＜－1，由（1）知f（x）在（1，2）上单调递减，故f（x）∈（f（2），f（1）），即f（x）∈（0，1），
存在x1∈（1，2），使得f（x1）＋＝0，
当x∈（1，x1）时，f（x1）＋＞0，得g'（x）＜0，则g（x）单调递减，可得g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；
若≤－1，则－1≤a＜0，由（1）可知：当x＞1时，f（x）＜1，f（x）＋＜0，
故g'（x）＞0，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增，有g（x）＞g（1）＝0，符合题意；
若a＝0，g（x）＝ln x＞0，符合题意；
若0＜a≤1，下面证明0＜a≤1符合题意，
当x≥e时，ax2e1－x＞0，故g（x）＞ln x－a≥ln x－1≥0，
当1≤x＜e时，设h（x）＝x2e1－x－1，则h'（x）＝x（2－x）e1－x，
可得h（x）在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减，
故h（x）＞min{h（1），h（e）}＝min{0，e3－e－1}＝0，
从而g（x）＝a·h（x）＋ln x＞0，符合题意.
综上，a∈[－1，1].
第6讲 大题专攻——利用导数研究函数零点
1.证明：f（x）＝2e－x＋1ln x＋
＝e－x（2eln x＋），
∵e－x＞0恒成立，
∴f（x）在区间（，e）内零点的个数等价于g（x）＝2eln x＋在区间（，e）内零点的个数.
∵g（）＝2eln＋
＝－2e＋e＝－e＜0，
g（e）＝2eln e＋＝2e＋＞0.
∴g（x）在（，e）内有零点.
又∵g'（x）＝－＝，
当＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.
∴g（x）在（，e）内有唯一零点，即函数f（x）在区间（，e）内有唯一零点.
2.解：（1）f（x）＝ln x＋kx的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝＋k（x＞0）.
当k≥0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，此时函数无最值；
当k＜0时，在（0，－）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
在 （－，＋∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
所以f（x）在x＝－处取得极大值，即最大值，
f（x）max＝f（－）＝ln（－）－1.
综上可知，当k≥0时，f（x）在（0，＋∞）上无最值；
当k＜0时，f（x）的最大值为ln（－）－1，无最小值.
（2）f（x）＝ln x＋kx有两个零点，可得－k＝有两个实根.
设h（x）＝（x＞0），h'（x）＝.
令h'（x）＞0，得0＜x＜e；令h'（x）＜0，得x＞e，
所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.
所以h（x）max＝h（e）＝.
当x∈（e，＋∞）时，x＞0，ln x＞0，所以h（x）＝＞0，又h（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，h（x）＞0.
h（x）＝的大致图象如图所示，
若直线y＝－k与y＝h（x）的图象有两个交点，
则0＜－k＜，所以实数k的取值范围是（－，0）.
3.解：（1）当a＝时，函数f（x）＝（x－1）ex－x2，
则f'（x）＝xex－ex＝x（ex－e），令f'（x）＝0得x＝0或x＝1，
当x∈（－∞，0）或x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
即当a＝时，f（x）单调递增区间为（－∞，0）和（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）.
（2）因为f（x）＋a＝（x－1）[ex－a（x＋1）]，所以x＝1为f（x）＋a＝0的一个根，
故ex－a（x＋1）＝0有两个不同于1的实根，
令g（x）＝ex－a（x＋1），则g'（x）＝ex－a，
①当a≤0时，g'（x）＞0，故g（x）在R上单调递增，不符合题意；
②当a＞0时，令g'（x）＝0，得x＝ln a，
当x＞ln a时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（ln a，＋∞）上单调递增，
当x＜ln a时，g'（x）＜0，故g（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，
并且当x→－∞时，g（x）→＋∞；当x→＋∞时，g（x）→＋∞；
所以若要满足题意，只需g（ln a）＜0且g（1）≠0，
因为g（ln a）＝eln a－a（ln a＋1）＝－aln a＜0，所以a＞1，
又g（1）＝e－2a≠0，所以a≠，
所以实数a的取值范围为（1，）∪（，＋∞）.
4.解：（1）∵函数f（x）的图象关于点（1，－2）中心对称，故y＝f（x＋1）＋2为奇函数，
从而有f（x＋1）＋2＋f（－x＋1）＋2＝0，即f（x＋1）＋f（－x＋1）＝－4，
f（x＋1）＝（x＋1）3＋a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝x3＋（a＋3）x2＋（2a＋b＋3）x＋a＋b＋c＋1，
f（1－x）＝（1－x）3＋a（1－x）2＋b（1－x）＋c＝－x3＋（a＋3）x2－（2a＋b＋3）x＋a＋b＋c＋1，
∴
解得∴a－b－c＝－3.
（2）由（1）可知，f（x）＝x3－3x2－cx＋c，f'（x）＝3x2－6x－c，Δ＝36＋12c，
①当c≤－3时，Δ＝36＋12c≤0，f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增，
∵f（1）＝－2＜0，f（3）＝27－3×9－3c＋c＝－2c＞0，
∴函数f（x）有且仅有一个零点；
②当－3＜c＜0时，Δ＞0，
∴f'（x）＝0有两个正根x1，x2，不妨设x1＜x2，x1＋x2＝2＞0，x1·x2＝－＞0，则3－6x1－c＝0，x2＜2，
∴函数f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增，
∵f（x1）＝－3－（x1－1）（3－6x1）＝－2x1（－3x1＋3）＜0，f（x2）＜0，f（3）＝－2c＞0，
∴函数f（x）有且仅有一个零点；
③当c＝0时，f（x）＝x3－3x2，
令f（x）＝x3－3x2＝0，解得x＝0或x＝3，∴f（x）有两个零点；
④当c＞0时，Δ＞0，
∴f'（x）＝0有一个正根和一个负根x1，x2，不妨设x1＜0＜x2，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，则x2＞1，
∴函数f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增，
∵f（x1）＞f（0）＝c＞0，f（x2）＜f（1）＝－2＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，
∴函数f（x）有且仅有三个零点；
综上，当c＞0时，函数f（x）有三个零点；
当c＝0时，函数f（x）有两个零点；
当c＜0时，函数f（x）有一个零点.
培优点1 抽象函数与嵌套函数
1.D 法一（常规解法） 令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），得f（0）＝0，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x），所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0，f（x1－x2）＞0，所以f（x1）－f（x2）＝f[（x1－x2）＋x2]－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减，所以当x∈[－3，1]时，f（x）的最大值为f（－3），因为f（1）＝－，所以f（－1）＝.则有f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＋f（－1）＝3×＝2，故选D.
法二（模型解法） 由f（x＋y）＝f（x）＋f（y），可设f（x）＝kx，又f（1）＝－，所以k＝－，所以f（x）＝－x，验证知满足条件，则当x∈[－3，1]时，f（x）＝－x的最大值为f（－3）＝2，故选D.
2.C 法一（常规解法） f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f（4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，∴ 3＜x≤4，∴x的取值范围为（3，4].
法二（模型解法） 由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f（x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－3）]≤1，故解得3＜x≤4，故x的取值范围为（3，4].
3.D 因为函数f（x＋1）为偶函数，则f（1－x）＝f（1＋x），令t＝x可得f（1－t）＝f（1＋t），所以f（1＋x）＝f（1－x），因为函数f（x－1）为奇函数，则f（－x－1）＝－f（x－1），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，关于点（－1，0）对称，又因为函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝0，则f（3）＝f（－1）＝0，f（1），f（），f（0）的值都不确定，故选D.
4.D 画出f（x）的图象如图所示，由f（f（t））＋3≥0得f（f（t））≥－3，令－x2＋2x＝－3得x＝3，由图可得f（t）≤3，令（ ）t－1≤3，变形得（ ）t≤4＝（ ）－2，解得t≥－2，故选D.
5.B 函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1有5个零点，故选B.
6.C 令f（x）＝10x－2，因为f（x1＋x2）＝1，100f（x1）f（x2）＝100×1＝1，所以f（x）＝10x－2满足f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2）.对于A，因为f（x）＝10x－2不是偶函数，故A错误；对于B，因为f（x）＝10x－2不是周期函数，故B错误；对于C，令x1＝x，x2＝1，则f（x＋1）＝100f（x）f（1），令k＝100f（1），所以存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x），故C正确；对于D，因为f（x）＝10x－2＞0，故m＜0时，不存在x0∈R，使得f（x0）＝m，故D错误.
7.B 令g（x）＝x－3＝t，则f（g（x））＝－3－g（x）即f（t）＝－3－t，由题意知直线y＝－3－t与曲线y＝f（t）有2个交点，设交点横坐标分别为t1，t2（t1＜0＜t2），则t1，t2满足＝－3－t1，ln t2＝－3－t2，则ln ＝t1＝－3－，易知关于m的方程ln m＝－3－m只有1个根，所以t2＝，从而t1＋t2＝－3.不妨设x1－3＝t1，x2－3＝t2，则x1－3＋x2－3＝－3，所以x1＋x2＝3，故选B.
8.BCD 由f（x－1）＋f（x＋1）＝f（－2），得f（x＋1）＋f（x＋3）＝f（－2），则f（x－1）＝f（x＋3），即f（x）＝f（x＋4），因此f（x）是周期为4的周期函数，C正确；令x＝－1，得f（－2）＋f（0）＝f（－2），则f（0）＝0，因此f（2 024）＝f（0）＝0，A错误；由f（2x＋6）＝f（－2x），得f（x＋6）＝f（－x），则f（－x）＝f[（x－12）＋6]＝f（x－6），因此f（x）的图象关于直线x＝－3对称，B正确；由f（x＋6）＝f（－x），得f（x）的图象关于直线x＝3对称，因此直线x＝－3＋4n及x＝3＋4n（n∈Z）均为f（x）图象的对称轴，从而f（－2）＝f（0）＝0，f（ ）＝f（ ）＝1，令x＝，得f（ －1）＋f（ ＋1）＝0，即f（ ）＝－f（ ）＝－1，则f（ ）＝f（ ）＝f（ ）＝－1，故（－1）kk·f（ k－）＝－f（ ）＋2f（ ）－3f（ ）＋4f（ ）－…－2 025·f（ ）＝（1－2－3＋4）＋…＋（2 021－2 022－2 023＋2 024）＋2 025＝2 025，D正确.
9.（－∞，－1]∪（0，e2] 解析：令t＝f（m），则2f（t）＋1＝2t＋1，所以f（t）＝2t－，当t＞0时，f（t）＝ln t－2＝2t－无解；当t≤0时，f（t）＝2t－恒成立，所以f（m）＝t≤0.当m＞0时，ln m－2≤0，解得0＜m≤e2；当m≤0时，2m－≤0，解得m≤－1.综上所述，实数m的取值范围是（－∞，－1]∪（0，e2].
10.2 解析：在f（x）＋g（x）＝x2－1中，令x＝2，得f（2）＋g（2）＝3.因为f（x＋1）是偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，即f（x）＝f（2－x）①，因为g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，所以函数g（x＋1）是奇函数，即g（－x＋1）＝－g（x＋1），用1－x代替x得g（x）＝－g（－x＋2）②，将①②代入f（x）＋g（x）＝x2＋1得f（2－x）－g（2－x）＝x2－1.令x＝0，得f（2）－g（2）＝－1，结合f（2）＋g（2）＝3，解得f（2）＝1，g（2）＝2，所以f（2）g（2）＝2.
培优点2 函数的构造问题
1.B 构造函数f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.当x∈［0，］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当x∈［－，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（x）为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0 αsin α＞βsin β f（α）＞f（β） f（｜α｜）＞f（｜β｜） ｜α｜＞｜β｜ α2＞β2，故选B.
2.A 由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－＜2y－.设f（x）＝2x－，则f（x）＜f（y）.因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函数，所以f（x）＝2x－在R上为增函数，则由f（x）＜f（y），得x＜y，所以y－x＞0，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故选A.
3.B 构造函数F（x）＝xf（x），当x＜0时，F'（x）＝f（x）＋xf'（x）＜0，F（x）单调递减.又f（－1）＝0，则F（－1）＝0，所以当－1＜x＜0时，F（x）＜0，所以当－1＜x＜0时，f（x）＞0.因为f（x）为奇函数，所以F（x）＝xf（x）为偶函数，所以当x＞1时，F（x）＞0，所以当x＞1时，f（x）＞0.综上可知，f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（1，＋∞），故选B.
4.A 由已知得＝，＝，＝，令f（x）＝（x∈（0，e）），则f'（x）＝＞0（x∈（0，e）），故f（c）－f（a）＝－＝＜0，且a，c∈（0，e），所以c＜a.f（a）－f（b）＝－＝＜0，且a，b∈（0，e），所以a＜b，所以c＜a＜b.
5.A 因为xf'（x）ln x＋f（x）＞0（x＞0），所以f'（x）ln x＋f（x）＞0，所以[f（x）ln x]'＞0.令g（x）＝f（x）ln x，则g'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，从而g（）＜g（e）＜g（e2），即f（）·ln ＜f（e）ln e＜f（e2）ln e2，即f（）＜f（e）＜2f（e2），所以a＜b＜2c，即a＜2b＜4c，故选A.
6.D 设函数g（x）＝＋x，可得g'（x）＝＋1＝＜0，所以函数g（x）在R上单调递减，由f（x）＜（2－x）·ex，可得f（x）＋xex＜2ex，即＋x＜2＝＋1，可得g（x）＜g（1），所以x＞1，即不等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（1，＋∞）.故选D.
7.B 由已知aea＋1＋b＜bln b，移项整理得aea＋1＜bln，两边同时除以e得aea＜ln，为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得aea＝ea·ln ea，故ea·ln ea＜ln.设f（x）＝x·ln x，则有f（ea）＜f（），因为a＞0，所以ea＞1.因为b（ln b－1）＞0，b＞0，所以ln b＞1，故b＞e，＞1，当x＞1时，f'（x）＝1＋ln x＞0，f（x）单调递增，所以ea＜，即ea＋1＜b.
8.CD 令g（x）＝，x∈［0，），则g'（x）＝，因为f'（x）cos x＋f（x）sin x＜0，所以g'（x）＝＜0在［0，）上恒成立，因此函数g（x）＝在［0，）上单调递减，故g（）＞g（），即＞，即f（）＞·f（），故A错误；又f（0）＝0，所以g（0）＝＝0，所以g（x）＝≤0在［0，）上恒成立，因为0＝ln 1＜ln ＜ln e＝1＜，所以f（ln ）＜0，故B错误；又g（）＞g（），所以＞，即f（）＞f（），故C正确；又g（）＞g（），所以＞，即f（）＞f（），故D正确.故选C、D.
9.（0，e2） 解析：因为f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a＞0（a＞0）恒成立，所以＞ln（x－1）＋ln a－1，所以ex－ln a＋x－ln a＞ln（x－1）＋x－1，即ex－ln a＋x－ln a＞eln（x－1）＋ln（x－1）.令g（x）＝ex＋x，易得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以x－ln a＞ln（x－1），则有－ln a＞ln（x－1）－x.因为ln（x－1）－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a＞－2，解得0＜a＜e2.所以实数a的取值范围为（0，e2）.
10.（－∞，2] 解析：因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时，＜1＋恒成立，所以aln x2－aln x1＜x2－x1＋恒成立，即aln x2－aln x1＜x2－x1＋－恒成立，即aln x2－x2＋＜aln x1－x1＋①恒成立，令f（x）＝aln x－x＋，x∈（0，＋∞），由①式可得当x1＜x2时，f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝－≤0在（0，＋∞）上恒成立，所以x2－ax＋1≥0在（0，＋∞）上恒成立，所以a≤x＋在（0，＋∞）上恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以a≤2.
培优点3 函数与导数中的新定义问题
1.C m∈（0，＋∞），＝m＋≥2，当且仅当m＝1时取等号，由[x]2＋[x]≤可得[x]2＋[x]≤2 （[x]＋2）（[x]－1）≤0，所以－2≤[x]≤1，故－2≤x＜2，故选C.
2.B f'（x）＝1＋ln x－，设x0为函数f（x）在[1，2]上的“拉格朗日中值点”，则1＋ln x0－＝＝ln 2.令g（x）＝1＋ln x－－ln 2，则g'（x）＝＋＞0在[1，2]上恒成立，故g（x）＝1＋ln x－－ln 2在[1，2]上单调递增，又g（1）＝－ln 2＜0，g（2）＝1－＝＞0，由函数零点存在定理可知，存在唯一的x0∈[1，2]，使得g（x0）＝0.故选B.
3.ABC 对于A，因为任意一个圆O都是关于圆心的中心对称图形，故其“太极函数”有无数个，故A正确；对于B，函数f（x）＝x3－3x是奇函数，其图象过原点且关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则函数f（x）＝x3－3x可以是某个圆的“太极函数”，故B正确；对于C，将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则y＝sin x是该圆的“太极函数”，故y＝sin x可以是无数个圆的“太极函数”，故C正确；对于D，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形时，y＝f（x）不一定是“太极函数”，例如f（x）＝就不是太极函数；函数y＝f（x）是“太极函数”时，图象也不一定是中心对称图形（如图），故D错误.故选A、B、C.
4.ABD 对于A，由函数g（x）是“类奇函数”，所以g（x）g（－x）＝1，且g（x）＞0，所以当x＝0时，g（0）g（－0）＝1，即g（0）＝1，故A正确；对于B，由g（x）·g（－x）＝1，即g（－x）＝，g（－x）随g（x）的增大而减小，若g（x）max＝g（4）＝4，则g（x）min＝g（－4）＝成立，故B正确；对于C，由g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（－x）＝在x∈（0，＋∞）上单调递减，设t＝－x∈（－∞，0），所以g（t）在t∈（－∞，0）上单调递增，即g（x）在x∈（－∞，0）上单调递增，故C错误；对于D，由g（x）·g（－x）＝1，h（x）h（－x）＝1，所以G（x）G（－x）＝g（x）g（－x）h（x）h（－x）＝1，所以函数G（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”，所以D正确.故选A、B、D.
5.解：（1）f'（x）＝＋1，f″（x）＝－，
所以K1＝＝＝，
g'（x）＝，g″（x）＝－，
所以K2＝＝＝，
所以K1＜K2.
（2）h'（x）＝cos x，h″（x）＝－sin x，
所以K＝，K2＝＝，
令t＝2－sin2x，则t∈[1，2]，
K2＝.
设p（t）＝，则p'（t）＝＝.
显然当t∈[1，2]时，p'（t）＜0，p（t）单调递减，
所以p（t）max＝p（1）＝1，K2的最大值为1，
所以正弦曲线h（x）＝sin x（x∈R）曲率的最大值为1.
6.解：（1）对任意0＜x1＜x2，有＝＝2（x1＋x2），且4x1＜2（x1＋x2）＜4x2，
∴函数y＝4x是函数y＝2x2（x＞0）的一个控制函数.
（2）证明：∵0＜a＜b，∴＝＝，
∴－＝－，－＝－.
设y＝ln x－x＋1，x＞0，当x＞1时，y'＝－1＜0，当0＜x＜1时，y'＝－1＞0，
则y＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，ymax＝ln 1－1＋1＝0.
∵0＜a＜b，∴＞1，0＜＜1，
∴ln－＋1＜0，ln－＋1＜0，
则ln－＜0，∵b－a＞0，
∴－＜0，即＜.
同理，ln－＜0，∵a－b＜0，
∴－＞0，即＞.
综上，＜＜，f'（x）＝在区间（a，b）上的值域为（，），
则＝f'（x）在区间（a，b）上有实数解.
（3）f（x）＝xln x时，类比（2）可证明对任意x1，x2∈（0，＋∞），存在c∈（x1，x2）使得f'（c）＝，
又f'（x）＝1＋ln x单调递增，所以f'（x1）＜f'（c）＜f'（x2），即对任意x1，x2∈（0，＋∞），
f'（x1）＜＜f'（x2）.
故f'（x）＝1＋ln x是y＝f（x）的一个控制函数.
7.解：（1）证明：由f（x）＝（）x∈A，根据性质①可得f－1（x）＝lox∈A，
又g（x）＝2x－3∈A，且g（x）为定义在R上的一次函数，根据性质③可得h（x）＝lo（2x－3）＝f－1（g（x））∈A，问题得证.
（2）由性质②可知，令＝x（x≥1），化简整理得a＝x，则a＝x在x∈[1，＋∞）上有解，所以a≥1.
f（x）＝＝＝x＋1＋－2（x∈[1，＋∞））.
当＞2，即a＞3时，f（x）在[1，＋∞）上先单调递减，再单调递增，
此时f（x）没有反函数，不满足性质①.
当≤2，即1≤a≤3时，f（x）在[1，＋∞）上单调递增，此时f（x）有反函数，满足性质①.
显然f（x）满足性质②.
综上，a∈[1，3].
（3）证明：任取f1（x）＝ax＋b，f2（x）＝cx＋d∈A，ac≠0，不妨设a，c≠1，
由性质③得函数p（x）＝f1（f2（x））＝acx＋（ad＋b）∈A，q（x）＝f2（f1（x））＝acx＋（bc＋d）∈A，
由性质①得q－1（x）＝∈A，
由性质③得q－1（p（x））＝
＝x＋∈A，
由性质②得方程x＋＝x有解，所以ad＋b＝bc＋d，即＝.
由f1（x）＝x，可得ax＋b＝x，则x＝，
由f2（x）＝x，可得cx＋d＝x，
则x＝.
当f（x）＝x时，对任意的x∈R，
均有f（x）＝x.
由此可知，对于任意两个函数f1（x），f2（x）∈A，存在相同的x0满足f1（x0）＝x0＝f2（x0），
所以存在一个实数x0，使得对任意f（x）∈A，均有f（x0）＝x0.
1 / 2培优点1 抽象函数与嵌套函数
1.已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），若x∈（－∞，0）时，f（x）＞0，且f（1）＝－，则当x∈[－3，1]时，f（x）的最大值为（ ）
A.0 B.
C.1 D.2
2.已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1，则x的取值范围为（ ）
A.[3，4） B.[4，5）
C.（3，4] D.（4，5]
3.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋1）是偶函数，f（x－1）是奇函数，则（ ）
A.f（0）＝0 B.f（）＝0
C.f（1）＝0 D.f（3）＝0
4.已知函数f（x）＝若f（f（t））＋3≥0，则实数t的取值范围是（ ）
A.[3，＋∞） B.（－∞，－2]
C.（－∞，3] D.[－2，＋∞）
5.已知f（x）＝则函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点个数是（ ）
A.3 B.5 C.7 D.8
6.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2），则下列结论一定正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数
B.f（x）是周期函数
C.存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x）
D.对任意m∈R，存在x0∈R，使得f（x0）＝m
7.已知函数f（x）＝g（x）＝x－3，方程f（g（x））＝－3－g（x）有2个不同的根，分别是x1，x2，则x1＋x2＝（ ）
A.0 B.3 C.6 D.9
8.（多选）（2024·新乡第三次模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x＋6）＝f（－2x），且f（x－1）＋f（x＋1）＝f（－2），若f（ ）＝1，则（ ）
A.f（2 024）＝1
B.f（x）的图象关于直线x＝－3对称
C.f（x）是周期函数
D.（－1）kkf（ k－）＝2 025
9.已知f（x）＝则满足2f（f（m））＋1＝2f（m）＋1的实数m的取值范围为 .
10.已知函数f（x）与g（x）的定义域均为R，f（x＋1）为偶函数，g（x）的图象关于点（1，0）中心对称，若f（x）＋g（x）＝x2－1，则f（2）g（2）＝ .
2 / 2
