数学湘教版必修1：指数与指数函数

课件12张PPT。指数与指数函数一、整数指数幂的运算性质二、根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*), 那么这个数叫
做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n>1
且 n∈N*. (1)am·an=am+n (m, n∈Z); (2)am÷an=am-n (a?0, m, n∈Z); (3)(am)n=amn (m, n∈Z); (4)(ab)n=anbn (n∈Z). 三、根式的性质5.负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零.五、有理数指数幂的运算性质四、分数指数幂的意义注: 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义. 函数 y=ax(a>0, 且a?1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.六、指数函数(1)ar·as=ar+s (a>0, r, s∈Q); (2)ar÷as=ar-s (a>0, r, s∈Q); (3)(ar)s=ars (a>0, r, s∈Q); (4)(ab)r=arbr (a>0, b>0, r∈Q). (1) 定义域: R (2) 值 域: (0, +∞) (3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1. (4) 在 R 上是增函数. (4) 在 R 上是减函数. 七、指数函数的图象和性质课堂练习CADDC典型例题1.化简下列各式:　=xy. ∴a-1<0. 2.已知 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x. 解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-2?2x · 2-x (2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-3?2x · 2-x(2x+2-x) =25-2=23; =125-15=110. 3.已知 2a · 5b=2c · 5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).证: 由已知 2a · 5b=10=2 · 5, 2c · 5d=10=2 · 5, ∴ 2a-1 · 5b-1=1, 2c-1 · 5d-1=1. ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1) =1. ∴ 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1). ∴ (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). ∴ 2(a-1)(d-1) · 5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) · 5(d-1)(b-1). 4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的值并求方程其余的根. t2-2xt+1=0, 解法二: 将已知式整理得: 以下同上.　 6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.∴f(a+2)=3a+2=18. 解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴3a=2. ∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x. 即 g(x)=2x-4x. (2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x?[0, 1], 则 t?[1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减, g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, 证明如下: ∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.　 对于任意的 x1, x2?[0, 1], 且 x1g(x2). 故函数 g(x) 在 [0, 1] 上单调递减. =(2x1-4x1)-(2x2-4x2) =(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2) =(2x1-2x2)(1-2x1-2x2) =(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0. ∴ x?[0, 1] 时有: 解: (3)∵g(x) 在 [0, 1] 上单调递减, g(1)≤g(x)≤g(0). ∵g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0, ∴ -2≤g(x)≤0 . 故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0]. 6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, ∴a2=1. ∵a>0, ∴a=1. (2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, x?R, f(x)?R. ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数. ∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数. 又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数. ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数. 综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.　此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数. ∴a=1 即为所求.