第3讲 小题研透——平面向量
1.（2024·贵阳摸底）如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝（ ）
A.－＋ B.－＋
C.＋ D.－
2.已知平面向量a＝（1，m－1），b＝（m，m＋3），若a·b＝｜a｜｜b｜，则实数m＝（ ）
A.3或－1 B.3
C.1或－3 D.－3
3.（2024·湖北十一名校第二次联考）已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a·（a＋b）＝（ ）
A.a2 B.b2
C.（a＋b）2 D.（a－b）2
4.设向量＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.9
5.（2024·淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于x轴对称，向量a＝（0，1），若满足＋a·＝0的点A的轨迹为E，则（ ）
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
6.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
7.圆的内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝（ ）
A.12 B.－12
C.20 D.－20
8.（2024·福建适应性练习卷）已知O是△ABC所在平面内一点，且｜｜＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9.（多选）（2024·武汉调研）已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（ ）
A.若a∥b，则tan θ＝－
B.若a⊥b，则sin θ＝
C.｜a－b｜的最大值为6
D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2
10.（多选）（2024·丹东阶段测试）设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，则（ ）
A.a·b＋b·c＋c·a＝－
B.＜a，b＞＝120°
C.｜a－c｜＝
D.cos＜a－c，b－c＞＝
11.（多选）对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a b＝，已知非零向量m，n满足｜m｜＞3｜n｜且向量m，n的夹角θ∈（，），若4（m n）和4（n m）都是整数，则m n的值可能是（ ）
A.2 B.
C.3 D.4
12.（2024·嘉兴调研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1，），b＝（，－1），c是非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可以为 .（只需写出一个符合要求的答案）
13.已知向量，满足｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2，设＝2＋，则｜｜的取值范围为 .
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝，半径为1的☉A分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一个动点，则·的取值范围是 .
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专题一 基础知识
第1讲 小题研透——集合、复数与常用逻辑用语
1.C 由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.
2.B 因为z＝1－＝1－＝＋i，z的实部与虚部相等，所以3－a＝1－2a，得a＝－2，故选B.
3.B 由题意知，α，β∈[0，π），所以若tan α＝tan β，则α＝β；若α＝β＝，则不存在tan α，tan β，就不可能得到tan α＝tan β.所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的必要不充分条件.故选B.
4.D 当a＝0时，A＝ ，满足A B；当a≠0时，A＝，又A B，所以＝1或＝－1，所以a＝1或a＝－1.故满足题意的a的所有取值组成的集合是{－1，0，1}.故选D.
5.B 当x＝，y＝时，满足x＞0，y＞0，x＋y＝2，但xy＝＜1，故充分性不成立；若x＞0，y＞0，xy≥1，则x＋y≥2≥2，当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B.
6.C 由题，z＝－1－1＋1＝－1；z＝－1＋0＋1＝0；z＝－1＋1＋1＝1；z＝0－1＋1＝0；z＝0＋0＋1＝1；z＝0＋1＋1＝2；z＝1－1＋1＝1；z＝1＋0＋1＝2；z＝1＋1＋1＝3.故B＝{－1，0，1，2，3}，其真子集的个数为25－1＝31.故选C.
7.C 1－i＝2（－i）＝2［cos（－）＋isin（－）］，∴（1－i）2 025＝22 025［cos（－ π）＋isin（－π）］＝－22 025.故选C.
8.B M＝{x｜x2－2x≥0}＝{x｜x≤0或x≥2}，N＝{x｜y＝log2（1－x）}＝{x｜x＜1}，对于A选项，M∪N＝{x｜x＜1或x≥2}≠{x｜x＜2}，∴A选项错误；对于B选项，N∪（ UM）＝{x｜x＜1}∪{x｜0＜x＜2}＝{x｜x＜2}，∴B选项正确；对于C选项，M∪（ UN）＝{x｜x≤0或x≥2}∪{x｜x≥1}＝{x｜x≤0或x≥1}≠{x｜x＜2}，∴C选项错误；对于D选项，∵M∩N＝{x｜x≤0或x≥2}∩{x｜x＜1}＝{x｜x≤0}，∴ U（M∩N）＝{x｜x＞0}≠{x｜x＜2}，∴D选项错误.故选B.
9.AC 命题“三角形的内角和为180°”可写为：所有的三角形的内角和都是180°，是全称量词命题，A正确；x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，不是必要条件，应是充分不必要条件，B错误；对于任意x∈R，x2＋2x－a＞0为真命题，则Δ＝4＋4a＜0，a＜－1，C正确；命题p： x≥0，2x＝3的否定是 x≥0，2x≠3，D错误.故选A、C.
10.BCD 对于A，除非b＝d＝0，否则两个复数不能比较大小，故A错误；对于B，设z1＝a＋bi（a，b∈R），所以＝a－bi，由＝z2，所以z2＝a－bi，即＝a＋bi，所以｜z1｜＝｜｜，故B正确；对于C，设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜a＋bi－i｜＝｜a＋bi＋i｜，所以a2＋（b－1）2＝a2＋（b＋1）2，化简得b＝0，所以z在复平面内对应的点的轨迹为x轴，故C正确；对于D，z＝＝1－i，（cos－isin）＝（－i·）＝1－i，故D正确.综上，选B、C、D.
11.AC 因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x B或x∈B时，x A，所以A，B间的关系为B＝ RA或A＝ RB，故选A、C.
12.2 解析：法一 设z＝1＋bi（b∈R且b≠0），则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋＋（b－）i，因为m∈R，所以b－＝0，得b2＝1，所以m＝1＋＝2.
法二 由z＋＝m得z2－mz＋2＝0，解得z＝，依题意得＝1，解得m＝2.
13.（1，2] 解析：因为p是q的必要不充分条件，所以集合（2，4]是[a，4a）的真子集，则解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
14.5 解析：由A∩B＝A可知B≠ ，所以m≥0.由｜x－3｜≤m可得－m≤x－3≤m，即3－m≤x≤3＋m，故B＝[3－m，3＋m]，因为A∩B＝A，所以A B，所以解得m≥5，所以m的最小值为5.
第2讲 小题研透——不等式
1.D 由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小.因为－1＜b＜0，所以b＜b2＜1.又因为a＜0，所以ab＞ab2＞a.故选D.
2.B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋（a－1）x－1＝0的两个根，所以－1×（－）＝－，解得a＝－2.故选B.
3.A 由＞0，得（x－5）（2－x）＞0，得（x－5）（x－2）＜0，解得2＜x＜5；由｜x－1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x＜5.因为（2，5） （－3，5），所以“＞0”是“｜x－1｜＜4”的充分不必要条件，故选A.
4.A 设f（x）＝x2＋（a－1）x＋a＋2，因为x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根为x1，x2，且－1＜x1＜1，1＜x2＜2，f（－1）＝4＞0，所以即解得－＜a＜－1，故选A.
5.B 当x＝0时，不等式1≥0恒成立；当x＞0时，由题意可得－2a≤x＋恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以－2a≤2，解得a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，＋∞）.故选B.
6.D 由题可知，a≠0，b≠0，c≠0，A中，若a＞b＞c＞0，则＜，故A错误；B中，若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，故ab＜bc，故B错误；C中，若a＞0＞b＞c，则＞，故C错误；D中，ab＋bc＞ac＋b2 ab－ac＞b2－bc a（b－c）＞b（b－c），因为a＞b＞c，abc≠0，所以b－c＞0，则ab＋bc＞ac＋b2，故D正确.
7.B 因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＝＋＝（＋）（a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，则≤.故选B.
8.C 因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以∈［，1］，∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，所以m≥（）2－.令t＝，则t∈[1，3]，原问题等价于 t∈[1，3]，m≥t2－t，即m≥（t2－t）max（t∈[1，3]）.又t2－t＝（t－）2－，则当t＝3时，t2－t取得最大值，为9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）.故选C.
9.AC 因为a＞b，a＋b＝1＞0，所以a＞0，b的符号不确定，由不等式的性质知a2＞ab成立，但ab＞b2不一定成立，故A正确，B错误；因为ab＝a（1－a）＝－（ a－）2＋≤，故C正确；因为a＞b，所以a2＋b2＞2ab，所以a2＋b2＞＝，故D错误.故选A、C.
10.ABD 因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515.对于A，由log315＞log515，得a＞b，又根据对数函数的性质可知，lg a＞lg b，故A正确；对于B，易知a＞0，b＞0，所以＝log153，＝log155，所以＋＝log153＋log155＝log15（3×5）＝1，所以＝1，即a＋b＝ab，故B正确；对于C，由y＝（）x是减函数，由a＞b，得（）a＜（）b，故C错误；对于D，由a＋b＞2，又a＋b＝ab，所以ab＞2，解得ab＞4，即a＋b＞4，故D正确.故选A、B、D.
11.ABD 令y－x＝t，则y＝x＋t，代入（x＋y）2－xy＝2可得：x2＋tx＋（t2－2）＝0.所以Δ＝t2－3（t2－2）≥0，解得－≤t≤，所以A、B正确；（x＋y）2－xy＝2可变形为x2＋y2＝xy＋2，因为－≤xy≤，将x2＋y2＝xy＋2代入上式可得：－－1≤xy≤＋1，解得－≤xy≤，所以C不正确，D正确.故选A、B、D.
12.－1，1（答案不唯一） 解析：由＞，a＜0，可得＜.①当x，y同号时，可得x＞y；②当x，y异号时，可得y＞0＞x.故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，y＝1.
13.－5 解析：不等式f（x）≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x｜x1≤x≤x2}，则x2－x1＝6，∵又∵（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝36，∴4－4（m－3）＝36，即m＝－5.
14.［，4） 解析：因为不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，且需满足即解得所以a＋b＋c＝a－2a－3a＋2≥0 a≤，所以a∈（0，］，所以3a＋b＋2c＝3a－2a－6a＋4＝4－5a∈［，4）.
第3讲 小题研透——平面向量
1.A 因为D为线段BC的中点，则＝＋，因为点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝＝（＋）＝＋，因此，＝－＝＋－＝－＋.故选A.
2.B 由a·b＝｜a｜｜b｜可知a与b同向共线.令1×（m＋3）＝（m－1）×m，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，a＝（1，2），b＝（3，6），符合题意；当m＝－1时，a＝（1，－2），b＝（－1，2），不符合题意.故选B.
3.C 由题知｜a｜2＝｜b｜2＝｜a－b｜2，所以｜b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2a·b，即a·b＝｜a｜2，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝｜a｜2，而（a＋b）2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝｜a｜2，故选C.
4.C 由题意得，＝－＝（a－1，1），＝－＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，则可得2a＋b＝1，∴＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为8.
5.B 设A（x，y），则＝（x，y），＝（x，－y），则＝－＝（0，－2y），所以＋a·＝x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1，所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆.故选B.
6.D 由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（＋）·＝0，∴角A的角平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.
7.B 如图，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，所以·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜·｜｜·cos∠BDA－｜｜｜｜·cos∠BDC＝｜｜2－｜｜2＝4－16＝－12.故选B.
8.B 法一（数形结合法） 由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图1，固定AB，则AC可绕着点A旋转，C的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（除去直线AB与圆A的交点），显然当直线BC与圆A相切时，∠ABC取得最大值，此时AC⊥BC，根据勾股定理得｜BC｜＝＝，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝，故选B.
法二（利用余弦定理求解） 由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图2，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝2，b＝，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝＝＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，又∠ABC∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减，cos＝，所以0＜∠ABC≤，故选B.
9.ACD 若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D.
10.ACD 将a＋b＋c＝0两边平方得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝0，由a2＝b2＝1，c2＝3，得a·b＋b·c＋c·a＝－，故A正确；将a＋b＝－c两边平方得（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝c2，则a·b＝，所以＜a，b＞＝60°，故B错误；因为a＋c＝－b，所以｜a＋c｜＝｜b｜＝1，1＝｜a＋c｜2＝4＋2c·a，所以c·a＝－，所以｜a－c｜2＝4－2c·a＝7，即｜a－c｜＝，故C正确；由C的分析得b＋c＝－a，与C同理可得b·c＝－，｜b－c｜＝，所以（a－c）·（b－c）＝a·b－b·c－a·c＋c2＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝，故D正确.故选A、C、D.
11.BC 由题意得n m＝＝（k∈Z），因为｜m｜＞3｜n｜＞0，所以0＜＜，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，所以0＜sin θ＜，即0＜＜，解得0＜k＜，因为k∈Z，所以k＝1，所以n m＝＝，则＝，故m n＝＝4sin2θ，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，因为0＜＜，所以0＜＜，所以＜sin θ＜1，所以＜sin2θ＜1，则＜4sin2θ＜4，即m n∈（，4）.结合选项知选B、C.
12.（1，1）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且不为0即可） 解析：设c＝（x，y），由c与a，b的夹角相等，得＝，∴＝，则x＝y，即c的坐标满足x＝y≠0即可.
13.［，］ 解析：由｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2可得·＝1，则｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋2·＝6，即｜＋｜＝，｜－｜＝｜｜＝，因为＝2＋＝（＋）＋（－），所以｜｜＋｜－｜－｜｜≤｜｜≤｜＋｜＋｜－｜，即≤｜｜≤.所以｜｜的取值范围为［，］.
14.[－11，－9] 解析：法一（坐标法） 如图，以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B（2，－2），C（2，2），设P（cos θ，sin θ），其中θ∈［－，］.所以·＝（2－cos θ，－2－sin θ）·（2－cos θ，2－sin θ）＝（2－cos θ）2＋sin2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈［，1］，所以·∈[－11，－9].
法二（几何法） 如图，取BC的中点M，连接PM，则两个动向量，均可用一个动向量和一个定向量表示.·＝（－）·（＋）＝－.因为MC为定值，所以·的变化可由的变化确定.连接AM，易得AM＝2，MC＝2，当P为劣弧EF与AM的交点时，PM取得最小值，为AM－1＝1；连接EM，PM的最大值为EM＝＝.所以－的取值范围是[－11，－9]，即·∈[－11，－9].
培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心
1.B 由极化恒等式得·＝－＝－1＝－.
2.A 根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2（＋）＋4（＋）＝0，整理得＝＋.故选A.
3.B 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝－＝｜｜2－，所以当P与A（B）重合时，｜｜＝最大，从而（·）max＝2.
4.B ∵－＝，∴＝λ（ ＋），令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵＝λ，∴，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
5.C cos A＝＝＝，又A∈（0，π），∴A＝，∴S△ABC＝×6×8×sin ＝12，又G为△ABC的重心，∴＋＋＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝S△ABC＝4.
6.B 取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·（＋）＝2·＝2（｜｜2－｜｜2）＝2［｜｜2－（）2］≥2×（0－）＝－，当且仅当｜｜＝0时，取等号，∴·（＋）的最小值为－.
7.AC 由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以2＋2＋＝0，＝＝.由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以＝＝，＝.
8.AD 如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有·＝－，·＝－.又·≥·，所以｜｜≥｜｜，A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以·≠0，C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确.
9. 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2＋2＋3＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝（a＋b＋c）·r，∴×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cos C＝－，sin C＝，又2R＝＝ R＝＝，∴外接圆面积S＝πR2＝.
10. 解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝.
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