中档题保分练5
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若向量a，b满足a＝（－4，3），b＝（5，12），则向量b在向量a上的投影向量为（ ）
A.（－，） B.（－，）
C.（，－） D.（，－）
2.若α∈（－，），tan α＝，则sin（2α－）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
3.若（x＋）（x－）5的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
4.若已知函数f（x）＝ex＋a，g（x）＝ln x＋ka， a∈（0，＋∞），若函数F（x）＝f（x）－g（x）存在零点，则k的取值范围的一个充分不必要条件为（ ）
A.（e0.7，e1.3） B.[1，e0.7）
C.[e2.2，e3.1） D.（e1.3，e2.2）
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是（ ）
A.若b＜a＜0，则bc2＜ac2
B.若b＞a＞0＞c，则＜
C.若c＞b＞a＞0，则＞
D.若a＞b＞c＞0，则＞
6.设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和.已知2Sn＝3－an，bn＝，则（ ）
A.{an}是等比数列 B.{bn}是递增数列
C.＝ D.＞2
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 .
8.若在圆C：x2＋y2＝r2（r＞0）上存在一点P，使得过点P作圆M：（x－2）2＋y2＝1的切线长为，则r的取值范围为 .
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为C的焦点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直时，｜HI｜＝4.
（1）求C的方程；
（2）证明：｜FI｜·｜FH｜＝｜FT｜2.
10.（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A，D分别为RB，RC的中点，BC＝BR＝4，将△RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD.
（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为，求线段BE的长.
11.（本小题满分15分）如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径OA，OB上.
（1）若四边形PMON为矩形，求其面积最大值；
（2）若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.
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（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若向量a，b满足a＝（－4，3），b＝（5，12），则向量b在向量a上的投影向量为（ ）
A.（－，） B.（－，）
C.（，－） D.（，－）
解析：B 设向量a与b的夹角为θ，｜a｜＝5，｜b｜＝13，则cos θ＝＝＝，则b在a上的投影向量为a＝（－，）.故选B.
2.若α∈（－，），tan α＝，则sin（2α－）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：D 由条件等式可知，＝，整理为3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，则sin α＝，又α∈（－，），cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sin（2α－）＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝.故选D.
3.若（x＋）（x－）5的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：D （x＋）（x－）5＝x（x－）5＋（x－）5，（x－）5的展开式的通项公式为Tk＋1＝x5－k（－）k＝（－1）kx5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则x（x－）5的展开式的常数项为－＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则（x－）5的展开式的常数项为m＝10m，因为（x＋）（x－）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2.
4.若已知函数f（x）＝ex＋a，g（x）＝ln x＋ka， a∈（0，＋∞），若函数F（x）＝f（x）－g（x）存在零点，则k的取值范围的一个充分不必要条件为（ ）
A.（e0.7，e1.3） B.[1，e0.7）
C.[e2.2，e3.1） D.（e1.3，e2.2）
解析：C ∵当a＝0时，f（x）＝ex＋a的图象恒在g（x）＝ln x＋ka上方，∴若满足f（1）≤g（1），即e1＋a≤ln 1＋ka，k≥，则f（x）与g（x）的图象必有交点，即F（x）＝f（x）－g（x）存在零点.令h（x）＝（x＞0），h'（x）＝，∴当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增.∴h（x）≥h（1）＝e2.即当k≥e2，一定存在a＝1∈（0，＋∞），满足f（1）≤g（1），即F（x）＝f（x）－g（x）存在零点，因此k∈[e2，＋∞）是满足题意k的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有[e2.2，e3.1）是[e2，＋∞）的子集，∴[e2.2，e3.1）是k的取值范围的一个充分不必要条件.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是（ ）
A.若b＜a＜0，则bc2＜ac2
B.若b＞a＞0＞c，则＜
C.若c＞b＞a＞0，则＞
D.若a＞b＞c＞0，则＞
解析：BD 对于A项，ac2－bc2＝c2（a－b），因为b＜a＜0，所以a－b＞0，又c2≥0，所以c2（a－b）≥0，即bc2≤ac2，故A项错误；对于B项，－＝，因为b＞a＞0＞c，所以c（b－a）＜0，ab＞0，所以－＝＜0，即＜，故B项正确；对于C项，－＝，因为c＞b＞a＞0，所以c－a＞0，c－b＞0，a－b＜0，所以－＝＜0，即＜，故C项错误；对于D项，因为－＝＝，又因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，b＋c＞0，所以＞0，即＞，故D项正确，故选B、D.
6.设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和.已知2Sn＝3－an，bn＝，则（ ）
A.{an}是等比数列 B.{bn}是递增数列
C.＝ D.＞2
解析：ACD 由2Sn＝3－an，当n＝1时，2S1＝3－a1，即a1＝1，又2Sn＋1＝3－an＋1，∴2Sn＋1－2Sn＝an－an＋1，即3an＋1＝an，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，故an＝（）n－1，A正确；由bn＝＝，则bn＋1－bn＝－＝＜0，即{bn}是递减数列，B错误；又Sn＝＝（1－），则＝，C正确；Tn＝＋＋…＋＋①，Tn＝＋＋…＋＋②，①－②得：Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝（1－）－，∴Tn＝（1－）－＞0，则2Tn－Sn＝（1－）－－（1－）＝－＜0，∴＞2，D正确.故选A、C、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为.
解析：设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi，所以解得P1＝.
8.若在圆C：x2＋y2＝r2（r＞0）上存在一点P，使得过点P作圆M：（x－2）2＋y2＝1的切线长为，则r的取值范围为[2－，2＋].
解析：设点P（rcos θ，rsin θ），过点P作圆M：（x－2）2＋y2＝1的切线，切点为Q，由题意可知｜PM｜2＝｜MQ｜2＋｜PQ｜2＝1＋2＝3，因为点M（2，0），所以（rcos θ－2）2＋（rsin θ）2＝3，化简整理可得r2－4rcos θ＋1＝0，所以cos θ＝，因为cos θ∈[－1，1]，r＞0，所以解得2－≤r≤2＋，所以r的取值范围为[2－，2＋].
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为C的焦点，过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直时，｜HI｜＝4.
（1）求C的方程；
（2）证明：｜FI｜·｜FH｜＝｜FT｜2.
解：（1）由题意知F（0，），将y＝代入x2＝2py，解得x＝±p，所以当l与y轴垂直时，｜HI｜＝2p＝4，所以p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）证明：根据题意知，直线l的斜率存在，F（0，1），设直线l的方程为y＝kx＋1，
H（x1，y1），I（x2，y2），
联立得x2－4kx－4＝0，
所以Δ＝（－4k）2＋16＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
对y＝x2，求导，得y'＝x，
由得
所以T（2k，－1）.
因为｜FH｜2＝＋（y1－1）2＝4y1＋（y1－1）2＝（y1＋1）2，｜FI｜2＝＋（y2－1）2＝4y2＋（y2－1）2＝（y2＋1）2，
所以｜FH｜2·｜FI｜2＝（y1＋1）2·（y2＋1）2＝（y1y2＋y1＋y2＋1）2＝［＋＋1］2＝（4k2＋4）2.
又｜FT｜2＝4k2＋4，所以｜FI｜·｜FH｜＝｜FT｜2.
10.（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A，D分别为RB，RC的中点，BC＝BR＝4，将△RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD.
（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为，求线段BE的长.
解：（1）证明：取PB中点N，连接AN，MN，由M为PC的中点，得MN∥BC，且MN＝BC，
由A，D分别为RB，RC的中点，得AD∥BC，且AD＝BC，
则AD∥MN且AD＝MN，于是四边形ADMN为平行四边形，
因此DM∥AN，又AN 平面PAB，DM 平面PAB，
所以DM∥平面PAB.
（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，
得AB⊥平面PAD，又PA⊥AD，则直线AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设BE＝t，则P（0，0，2），D（0，2，0），E（2，t，0），＝（0，2，－2），＝（2，t－2，0），
设n＝（x，y，z）为平面PDE的法向量，则令y＝2，得n＝（2－t，2，2），
显然平面ABED的法向量为m＝（0，0，1），设平面PDE与平面ABED的夹角为θ，
则cos θ＝｜cos＜n，m＞｜＝＝＝，解得t＝1或t＝3，
所以线段BE的长为1或3.
11.（本小题满分15分）如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径OA，OB上.
（1）若四边形PMON为矩形，求其面积最大值；
（2）若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.
解：（1）连接OP，如图，令∠AOP＝θ（0＜θ＜），因四边形PMON为矩形，则OM＝OPcos θ＝4cos θ，PM＝OPsin θ＝4sin θ，
于是得矩形PMON的面积S矩形PMON＝OM·PM＝4cos θ·4sin θ＝8sin 2θ，而0＜2θ＜π，
则当2θ＝，即θ＝时，sin 2θ取最大值1，即有（S矩形PMON）max＝8，
所以矩形PMON面积最大值为8.
（2）由（1）知，PN＝OM＝4cos θ，ON＝PM＝4sin θ，则BN＝4－4sin θ，AM＝4－4cos θ，
Rt△PBN和Rt△PMA的面积和S＝S△PBN＋S△PMA＝PN·BN＋PM·AM＝×4cos θ×（4－4sin θ）＋×4sin θ×（4－4cos θ）＝8（sin θ＋cos θ）－16sin θcos θ，
令sin θ＋cos θ＝t，即t＝sin（θ＋），而＜θ＋＜，则1＜t≤，
2sin θcos θ＝（sin θ＋cos θ）2－（sin2θ＋cos2θ）＝t2－1，
则S＝f（t）＝8t－8（t2－1）＝－8t2＋8t＋8＝－8（t－）2＋10，显然f（t）在（1，]上单调递减，
当t＝，即θ＝时，f（t）min＝f（）＝8－8，而f（1）＝8，因此，8－8≤S＜8，
所以Rt△PBN和Rt△PMA的面积和的取值范围是[8－8，8）.
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