中档题保分练8
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得＝1成立，则称函数f（x）为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A.f（x）＝ln x B.f（x）＝ex
C.f（x）＝esin x D.f（x）＝cos x
解析：B 对于A，f（x）＝ln x，由＝＝1 ln x1ln x2＝1，当x1＝1时，则不存在x2满足情况，故A不是正积函数；对于B，f（x）＝ex，由＝＝1 ＝1 x1＋x2＝0，则任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2满足x1＋x2＝0，故B是正积函数；对于C，f（x）＝esin x，由＝＝1 ＝1 ＝1，得sin x1＋sin x2＝0，当x1＝0时，则sin x2＝0，x2＝kπ，k∈Z，则x2不唯一，故C不是正积函数；对于D，f（x）＝cos x，由＝＝1 cos x1cos x2＝1，当cos x1∈[0，1）时，则不存在x2满足情况，故D不是正积函数.故选B.
2.在△ABC与△A1B1C1中，已知AB＝A1B1＝x，BC＝B1C1＝，C＝C1＝，若△ABC≌△A1B1C1，则（ ）
A.x∈（0，］ B.x∈（0，）
C.x∈[，＋∞） D.x∈[，＋∞）∪
解析：D 由题意可知：△ABC有唯一解，且A∈（0，），由正弦定理＝，可得sin A＝＝，所以关于A的方程sin A＝，A∈（0，）有唯一解，可知曲线y＝sin A，A∈（0，）和直线y＝必须有唯一的交点，则0＜≤或＝1，解得x≥或x＝.故选D.
3.已知向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝2，对任意的λ＞0，｜a－λb｜的最小值为，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 因为向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝2，所以向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1.设a与b的夹角为θ（0≤θ≤π），所以｜a－λb｜＝＝＝，因为任意的λ＞0，｜a－λb｜的最小值为，所以λ2－4cos θ·λ＋4≥3恒成立，配方后可得（λ－2cos θ）2－4cos2θ＋4≥3恒成立，所以当λ＝2cos θ时，λ2－4cos θ·λ＋4取得最小值3，此时4－4cos2θ＝3，解得cos θ＝±.又因为λ＝2cos θ＞0，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.
4.已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，如果关于x的实系数方程1 003x2－S1 003x＋T1 003＝0有实数解，那么以下1 003个方程x2－aix＋bi＝0（i＝1，2，…，1 003）中，有实数解的方程至少有（ ）
A.499个 B.500个
C.501个 D.502个
解析：D 由题意得：－4×1 003T1 003≥0，其中S1 003＝＝1 003a502，T1 003＝＝1 003b502，代入上式得：－4b502≥0.方程x2－aix＋bi＝0（i＝1，2，3，…，1 003）有实数解，则－4bi≥0，显然第502个方程有解.设方程x2－a1x＋b1＝0与方程x2－a1 003x＋b1 003＝0的判别式分别为Δ1，Δ1 003，则Δ1＋Δ1 003＝（－4b1）＋（－4b1 003）＝＋－4（b1＋b1 003）≥－4×2b502＝－8b502＝2（－4b502）≥0，等号成立的条件是a1＝a1 003，所以Δ1≥0，Δ1 003≥0至少一个成立，同理可证：Δ2≥0，Δ1 002≥0至少一个成立，…Δ501≥0，Δ503≥0至少一个成立，且Δ502≥0，综上，在所给的1 003个方程中，有实数根的方程至少有502个，故选D.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.下列结论正确的有（ ）
A.若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.77，则P（ξ≤－2）＝0.23
B.若随机变量X～B（10，），则D（3X－1）＝19
C.已知经验回归方程为＝x＋10.8，且＝4，＝50，则＝9.8
D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
解析：AC 对于A，P（ξ≤－2）＝P（ξ≥4）＝1－0.77＝0.23，故A正确；对于B，D（X）＝10××＝，所以D（3X－1）＝×32＝20，故B不正确；对于C，经验回归直线经过点（，），将＝4，＝50代入求得＝9.8，故C正确；对于D，设丢失的数据为x，则这组数据的平均数为，众数为3，当x≤3时，中位数为3，此时＋3＝6，解得x＝－10；当3＜x＜5时，中位数为x，此时＋3＝2x，解得x＝4；当x≥5时，中位数为5，此时＋3＝10，解得x＝18.所以x的所有可能值的和为－10＋4＋18＝12，故D不正确.故选A、C.
6.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是面积为16的正方形，点A1在平面ABCD上的射影为点A，DD1＝，A1B1＝2，则（ ）
A.平面ACC1A1⊥平面ADD1A1
B.四边形BDD1B1为等腰梯形
C.四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为14
D.直线CC1，BD的夹角为45°
解析：BC 因为底面ABCD是面积为16的正方形，点A1在平面ABCD上的射影为点A，对A，因为A1A⊥平面ABCD，AC，AD 平面ABCD，所以A1A⊥AC，A1A⊥AD，∠CAD为平面ACC1A1与平面ADD1A1所成角，∠CAD＝45°，故A错误；对B，由题可知四边形ABB1A1和四边形ADD1A1为全等的直角梯形，故BB1＝DD1，又B1D1∥BD，故四边形BDD1B1为等腰梯形，B正确；对C，因为AD＝4，DD1＝，A1D1＝2，故A1A＝＝，则四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝×（4＋16＋8）×＝14，故C正确；对D，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为A1A⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩AC＝A，A1A，AC 平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1，故D错误.故选B、C.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.设a，b为实数，函数f（x）＝ax＋b满足：对任意的x∈[0，1]，有｜f（x）｜≤1.则ab的最大值为.
解析：易知a＝f（1）－f（0），b＝f（0），则ab＝f（0）·（f（1）－f（0））＝－（f（0）－f（1））2＋f2（1）≤f2（1）≤.当2f（0）＝f（1）＝±1，即a＝b＝±时，ab取最大值.
8.如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知该多面体为正八面体，四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为1.
解析：连接AO，AE.由已知得OE为△PCQ的中位线，所以OE＝1，EB为正三角形CBQ的中线，所以EB＝，又OB＝，所以EB2＝OB2＋OE2，所以△OBE为直角三角形，所以S△OEB＝OE·OB＝.因为QE＝CE，所以E到平面AOB的距离为OQ＝·＝，设A到平面OEB的距离为d，因为VA-OEB＝VE-OAB，所以S△OBE·d＝S△OAB·，所以·d＝·，所以d＝1.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E（X）；
（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3（n≥4），求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
解：（1）由题可知，X的取值为－1，0，1，
P（X＝－1）＝（1－）×（1－）＝；
P（X＝0）＝×（1－）＋（1－）×＝；
P（X＝1）＝×＝.
故X的分布列如下：
X －1 0 1
P（X）
则E（X）＝－1×＋0×＋1×＝.
（2）由题可知，P1＝1，P2＝1，P3＝1－（）3＝，P4＝1－3×（）4＝.
连续答题n轮，没有出现连续三轮每轮得1分时，记第n轮没有得1分的概率为，则＝Pn－1；记第n轮得1分，且第n－1轮没有得1分的概率为，则＝Pn－2；
记第n轮得1分，且第n－1轮得1分，第n－2轮没有得1分的概率为，则＝Pn－3，
故Pn＝＋＋＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3（n≥4），故a＝，b＝，c＝.
因为Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3，所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1＋Pn－2，
故Pn＋1－Pn＝－Pn＋Pn－1＋Pn－2＝－（Pn－1＋Pn－2＋Pn－3）＋Pn－1＋Pn－2＝－Pn－3＜0，
故Pn＋1＜Pn（n≥4），且P1＝P2＞P3＞P4，
则P1＝P2＞P3＞P4＞P5＞…，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
10.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x＋1与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相切.
（1）求p的值；
（2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且x1x2＋y1y2＝－4，过A，B分别作直线x＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，求四边形AA1B1B面积的最小值.
解：（1）因为直线y＝x＋1与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相切，
所以方程组有唯一解，所以x2＋2（1－p）x＋1＝0有唯一解，
所以Δ＝[2（1－p）]2－4＝0，且p＞0，解得p＝2.
（2）设直线AB的方程为x＝ay＋t，A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A，B在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，
联立方程消去x得y2－4ay－4t＝0，
则Δ＝16a2＋4×4t＞0，可得
因为x1x2＋y1y2＝－4，即（ay1＋t）（ay2＋t）＋y1y2＝－4，
整理得（a2＋1）y1y2＋at（y1＋y2）＋t2＝－4，
即（a2＋1）（－4t）＋at·4a＋t2＝－4，解得t＝2，
故直线AB的方程为x＝ay＋2，y1y2＝－4t＜0，Δ＞0，符合题意，
则四边形AA1B1B的面积为（｜AA1｜＋｜BB1｜）·（y1－y2）＝（x1＋x2＋2）·（y1－y2）
＝[a（y1＋y2）＋2t＋2]·＝（4a2＋2t＋2）·
＝4（2a2＋3）·＝4.
令a2＋2＝u≥2，v＝（a2＋2），
所以v＝（a2＋2）＝（2u－1）2u，
因为u∈[2，＋∞），则（2u－1）2＞0，u＞0，且y＝（2u－1）2与y＝u在[2，＋∞）上单调递增，
可知v＝（2u－1）2u在[2，＋∞）上单调递增，
当且仅当u＝2，即a＝0时，vmin＝18，
所以四边形AA1B1B面积的最小值为12.
11.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－.
（1）讨论f（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数g（x）＝；若方程f（x）＝f（g（x））在x∈（0，）上存在实根，试比较f（a2）与ln的大小.
解：（1）函数f（x）＝ln x－的定义域为（0，＋∞），
又f'（x）＝＋＝，
当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无极值；
当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝－a，
所以当x∈（0，－a）时f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（－a，＋∞）时f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＝－a时，f（x）取到极小值f（－a）＝ln（－a）＋1，无极大值，
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无极值；
当a＜0时，f（x）在（0，－a）上单调递减，在（－a，＋∞）上单调递增，极小值为ln（－a）＋1，无极大值.
（2）因为g（x）＝，0＜x＜，
则g'（x）＝＝＝，
令g'（x）＝0，解得x＝2或0（舍），
所以当x∈（0，）时g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（0）＜g（x）＜g（），即0＜g（x）＜，
令t＝g（x），0＜x＜，则0＜t＜，
若方程f（x）＝f（g（x））在x∈（0，）上存在实根，
则方程f（x）＝f（t）在x∈（0，），t∈（0，）上存在实根，
当a≥0时f（x）在（0，）上单调，则x＝g（x）在（0，）上有解，
即x＝应该在（0，）上有解，但是2x2－x＝0在（0，）上无解，不合题意，
所以f（x）在（0，）上不单调，即a＜0，
且0＜－a＜，即－＜a＜0，
所以f（a2）＝ln a2－＝2ln（－a）－，－＜a＜0，
令m（a）＝2ln（－a）－，－＜a＜0，
则m'（a）＝－＋＝＞0，
所以m（a）在（－，0）上单调递增，
所以m（a）＞m（－）＝2ln＋2＝ln，
所以f（a2）＞ln.
4 / 6中档题保分练8
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.定义：对于f（x）定义域内的任意一个自变量的值x1，都存在唯一一个x2使得＝1成立，则称函数f（x）为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A.f（x）＝ln x B.f（x）＝ex
C.f（x）＝esin x D.f（x）＝cos x
2.在△ABC与△A1B1C1中，已知AB＝A1B1＝x，BC＝B1C1＝，C＝C1＝，若△ABC≌△A1B1C1，则（ ）
A.x∈（0，］ B.x∈（0，）
C.x∈[，＋∞） D.x∈[，＋∞）∪
3.已知向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝2，对任意的λ＞0，｜a－λb｜的最小值为，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，如果关于x的实系数方程1 003x2－S1 003x＋T1 003＝0有实数解，那么以下1 003个方程x2－aix＋bi＝0（i＝1，2，…，1 003）中，有实数解的方程至少有（ ）
A.499个 B.500个
C.501个 D.502个
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.下列结论正确的有（ ）
A.若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.77，则P（ξ≤－2）＝0.23
B.若随机变量X～B（10，），则D（3X－1）＝19
C.已知经验回归方程为＝x＋10.8，且＝4，＝50，则＝9.8
D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
6.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是面积为16的正方形，点A1在平面ABCD上的射影为点A，DD1＝，A1B1＝2，则（ ）
A.平面ACC1A1⊥平面ADD1A1
B.四边形BDD1B1为等腰梯形
C.四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为14
D.直线CC1，BD的夹角为45°
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.设a，b为实数，函数f（x）＝ax＋b满足：对任意的x∈[0，1]，有｜f（x）｜≤1.则ab的最大值为 .
8.如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知该多面体为正八面体，四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为 .
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E（X）；
（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn＝aPn－1＋bPn－2＋cPn－3（n≥4），求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
10.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x＋1与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相切.
（1）求p的值；
（2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且x1x2＋y1y2＝－4，过A，B分别作直线x＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，求四边形AA1B1B面积的最小值.
11.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x－.
（1）讨论f（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数g（x）＝；若方程f（x）＝f（g（x））在x∈（0，）上存在实根，试比较f（a2）与ln的大小.
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