基础题满分练1
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若z＝－2＋i，则＝（ ）
A.－1＋i B.1＋i
C.1－i D.－1－i
解析：A 因为z＝－2＋i，所以＝＝＝－1＋i.故选A.
2.自然数22 024的位数为（参考数据：lg 2≈0.301）（ ）
A.607 B.608
C.609 D.610
解析：D lg 22 024＝2 024lg 2≈2 024×0.301＝609.224，∴22 024的位数为610.故选D.
3.已知tan α＝，则cos 2α＝（ ）
A.－ B. C. D.－
解析：B 因为＝，所以4sin2α＋11sin α－3＝0，解得sin α＝或sin α＝－3（舍去），所以cos 2α＝1－2sin2α＝.故选B.
4.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A.84% B.85%
C.86% D.87%
解析：C 设A为甲厂产品，B为乙厂产品，C表示合格产品，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，P（C｜A）＝0.9，P（C｜B）＝0.8，所以P（C）＝P（A）·P（C｜A）＋P（B）·P（C｜B）＝0.6×0.9＋0.4×0.8＝0.86，故选C.
5.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且在第一象限，PA是∠F1PF2的角平分线，过点F2作PA的垂线，垂足为B，若｜PF2｜＝m，｜OB｜＝b－m，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 如图，延长F2B交PF1于点E，可知｜PF2｜＝｜PE｜＝m，｜EF1｜＝2a－2m，所以｜OB｜＝a－m＝b－m，a＝b，所以e＝＝＝.故选B.
6.已知函数f（x）＝ex－lg｜x｜，则f（x）的图象大致为（ ）
解析：A 函数f（x）＝ex－lg｜x｜的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），当x＜0时，f（x）＝ex－lg（－x），因为函数y＝ex在（－∞，0）上单调递增，函数y＝lg（－x）在（－∞，0）上单调递减，因此函数f（x）＝ex－lg（－x）在（－∞，0）上单调递增，B、D错误；当x＞0时，f（x）＝ex－lg x，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，C错误.故选A.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
解析：BC 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是＝72.5%，所以A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均数显然大于85%，所以B正确；对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C正确；对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是100%－80%＝20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B、C.
8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，M为棱DD1上一点，且MD＝1，P为底面ABCD内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A.若PM与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为
B.若点A到平面PDM的距离为，则三棱锥M-PAD体积的最大值为
C.若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D.经过B，C，M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
解析：AD 如图，对于A，可知P的轨迹是以D为圆心，半径为1的圆，所以点P的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为×1＝，所以A正确；对于B，可知点P在线段BD上，所以当点P与点B重合时，三棱锥M-PAD体积最大，且最大值为××2××1＝，所以B错误；对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为×13××＝，所以C错误；对于D，经过B，C，M三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形BCMN，其中AN＝1.设MN的中点为Q，AD的中点为O，连接QO，OB，QB，可得BC⊥平面BOQ，所以BC⊥BQ，求得BQ＝2，所以S四边形BCMN＝BC·BQ＝2×2＝4，所以D正确.故选A、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知向量a，b的夹角的余弦值为，｜a｜＝1，且（2a－b）·b＝－14，则｜b｜＝4.
解析：向量a，b的夹角的余弦值为，｜a｜＝1，则a·b＝｜b｜，由（2a－b）·b＝2a·b－b2＝｜b｜－｜b｜2＝－14，解得｜b｜＝4（负值舍去）.
10.设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线l：2x－2y－1＝0交C于A，B两点，则｜FA｜＋｜FB｜＝5.
解析：由题意可知：抛物线C：x2＝4y的准线为y＝－1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消去x得y2－3y＋＝0，则Δ＝9－4×＝8＞0，可得y1＋y2＝3，所以｜FA｜＋｜FB｜＝（y1＋1）＋（y2＋1）＝y1＋y2＋2＝5.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a－c）cos B－bcos C＝0.
（1）求B；
（2）已知b＝，求a＋2c的最大值.
解：（1）∵（2a－c）cos B－bcos C＝0，
由正弦定理得（2sin A－sin C）cos B－sin Bcos C＝0，
2cos Bsin A－cos Bsin C－sin Bcos C＝0，
即2cos Bsin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴2cos Bsin A＝sin（B＋C）＝sin A，
∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴cos B＝，
∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）由正弦定理，得＝＝＝＝2，
∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin（－A）＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin（A＋φ），
又∵0＜A＜，φ为锐角，∴sin（A＋φ）最大值为，
∴a＋2c的最大值为.
12.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝exsin x－ax.
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，求实数a的值；
（2）若a＝，求函数f（x）在区间［0，］上的最大值.
解：（1）因为f（x）＝exsin x－ax，所以f'（x）＝ex（sin x＋cos x）－a，
所以f'（0）＝1－a，
因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，切线的斜率为－1，
所以f'（0）＝－1，即1－a＝－1，解得a＝2.
（2）当a＝时，令h（x）＝f'（x）＝ex（sin x＋cos x）－，
h'（x）＝ex（sin x＋cos x＋cos x－sin x）＝2excos x，
当x∈［0，］时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，
又h（0）＝1－＝－＜0，h（）＝－＞e－＞0，
所以存在唯一的实数x0∈（0，），使得h（x0）＝0.
当x∈[0，x0）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x0，］时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
又f（0）＝0，f（）＝－＞e－＝e－2.5＞0，
所以f（x）max＝f（）＝－.
4 / 4基础题满分练1
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若z＝－2＋i，则＝（ ）
A.－1＋i B.1＋i
C.1－i D.－1－i
2.自然数22 024的位数为（参考数据：lg 2≈0.301）（ ）
A.607 B.608 C.609 D.610
3.已知tan α＝，则cos 2α＝（ ）
A.－ B. C. D.－
4.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60％，乙厂产品占40％，甲厂产品的合格率是90％，乙厂产品的合格率是80％.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A.84％ B.85％
C.86％ D.87％
5.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且在第一象限，PA是∠F1PF2的角平分线，过点F2作PA的垂线，垂足为B，若｜PF2｜＝m，｜OB｜＝b－m，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数f（x）＝ex－lg｜x｜，则f（x）的图象大致为（ ）
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（ ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，M为棱DD1上一点，且MD＝1，P为底面ABCD内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A.若PM与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为
B.若点A到平面PDM的距离为，则三棱锥M-PAD体积的最大值为
C.若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D.经过B，C，M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知向量a，b的夹角的余弦值为，｜a｜＝1，且（2a－b）·b＝－14，则｜b｜＝ .
10.设F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线l：2x－2y－1＝0交C于A，B两点，则｜FA｜＋｜FB｜＝ .
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a－c）cos B－bcos C＝0.
（1）求B；
（2）已知b＝，求a＋2c的最大值.
12.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝exsin x－ax.
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，求实数a的值；
（2）若a＝，求函数f（x）在区间［0，］上的最大值.
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