基础题满分练2
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U＝{x∈N｜0＜x≤6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则 U（A∪B）＝（ ）
A.{6} B.{1，6}
C.{2，4，5，6} D.{1，2，4，5，6}
2.某地区5 000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布X～N（90，σ2），且成绩在[90，100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A.200 B.700
C.1 400 D.2 500
3.若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2－＝1，则E的共轭双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.2
4.已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为弧AC上的一点，且∠PBC＝，则·＝（ ）
A.4－ B.4＋
C.4－2 D.4＋2
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A.12π B.6π
C.16π D.8π
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则（ ）
A.f（x）在区间（，）上单调递减
B.f（x）在区间（－，）上有两个极值点
C.直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D.直线y＝x＋是曲线y＝f（x）在x＝0处的切线
8.已知a＝log23，b＝log32，则（ ）
A.ab＝1 B.＋＞2
C.＋＞2 D.a＋ln b＜1
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若FQ＝6，则C的准线方程为 .
10.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得AB＝20 m，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，60°，在点B处测得点D的仰角为30°，则塔高CD为 m.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有25个是3分线外侧投入，25个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.
（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望.
12.（本小题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，Q，D，E分别是线段PA，QC，AC的中点，AB＝BC，BD＝，PA＝4，AC＝2，BE＝1.
（1）求证：DE⊥平面ABC；
（2）求二面角Q-BD-A的正弦值.
2 / 2基础题满分练2
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U＝{x∈N｜0＜x≤6}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则 U（A∪B）＝（ ）
A.{6} B.{1，6}
C.{2，4，5，6} D.{1，2，4，5，6}
解析：A 由题意知U＝{1，2，3，4，5，6}，A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以 U（A∪B）＝{6}，故选A.
2.某地区5 000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布X～N（90，σ2），且成绩在[90，100]的学生人数约为1 800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A.200 B.700
C.1 400 D.2 500
解析：B 5 000名学生的数学成绩X服从正态分布，数学成绩关于x＝90对称，由题意得P（90≤x≤100）≈＝0.36，所以P（x＞100）≈0.5－P（90≤x≤100）＝0.5－0.36＝0.14，所以估计成绩在100分以上的学生人数约为5 000×0.14＝700.故选B.
3.若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2－＝1，则E的共轭双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
解析：A 由题意可知，双曲线E的标准方程为x2－＝1，所以共轭双曲线为－x2＝1，所以共轭双曲线的离心率为e＝＝＝＝.故选A.
4.已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：D 由题意可得an＋1－an＝a1＋2n，则可得a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4，…，a10－a9＝a1＋18，将以上等式左右两边分别相加得，a10－a1＝9a1＋＝9a1＋90，即a10＝10a1＋90，又a10＝130，所以a1＝4.故选D.
5.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝2，P为弧AC上的一点，且∠PBC＝，则·＝（ ）
A.4－ B.4＋
C.4－2 D.4＋2
解析：C 如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（0，0），C（2，0），由∠PBC＝，得P（，1），所以＝（，1），＝（－2，1），所以·＝×（－2）＋1×1＝4－2.故选C.
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A.12π B.6π
C.16π D.8π
解析：A 设直三棱柱的高为h，外接球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，则3×r2sinh＝3，所以r2h＝4，又R2＝r2＋＝＋，令f（h）＝＋，则f'（h）＝－＝，易知f（h）的最小值为f（2）＝3，此时R2＝3，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为12π.故选A.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则（ ）
A.f（x）在区间（，）上单调递减
B.f（x）在区间（－，）上有两个极值点
C.直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D.直线y＝x＋是曲线y＝f（x）在x＝0处的切线
解析：ABD 由题意可得，sin（＋φ）＝0，则＋φ＝kπ，k∈Z，因0＜φ＜π，则φ＝，于是f（x）＝sin（2x＋）.对于A，令z＝2x＋，由x∈（，）可得z∈（，），因y＝sin z在（，）上单调递减，故f（x）在区间（，）上单调递减，故A正确；对于B，令z＝2x＋，由x∈（－，）可得z∈（0，），因y＝sin z在（0，）上有两个极值点，故B正确；对于C，当x＝时，z＝2x＋＝2π，因sin z＝sin 2π＝0，故直线x＝不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C错误；对于D，由f（x）＝sin（2x＋）求导得，f'（x）＝2cos（2x＋），则k切＝f'（0）＝1，又f（0）＝sin＝，故曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y－＝x－0，即y＝x＋，故D正确.故选A、B、D.
8.已知a＝log23，b＝log32，则（ ）
A.ab＝1 B.＋＞2
C.＋＞2 D.a＋ln b＜1
解析：ABC 对于A，ab＝log23×log32＝×＝1，故A正确；对于B，＋＝≥＝2，又a≠b，所以＋＞2，故B正确；对于C，（＋）＝ab（＋）＝b＋3a≥2＝2，又b≠3a，所以＋＞2，故C正确；对于D，a＋ln b＝a＋ln＝a－ln a，而a＝log23＞1，定义f（x）＝x－ln x（x＞1），则f'（x）＝1－＝＞0，从而f（x）＝x－ln x（x＞1）单调递增，所以f（x）＞f（1）＝1，所以f（a）＝a－ln a＝a＋ln b＞1，故D错误.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若FQ＝6，则C的准线方程为x＝－.
解析：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）得焦点F为（，0），PF与x轴垂直，不妨设P在x轴上方，点P的横坐标为，代入抛物线方程得y2＝p2，则y＝p，即P（，p），PQ⊥OP，则直线PQ的方程为y＝－（x－）＋p，令y＝0，得Q（p，0），则FQ＝2p＝6，即p＝3.故C的准线方程为x＝－.
10.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得AB＝20 m，在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，60°，在点B处测得点D的仰角为30°，则塔高CD为20m.
解析：在△ACD中，延长DC与BA的延长线交于点E，如图所示.由题意可知，∠CAE＝30°，∠DAE＝60°，∠DBA＝30°，所以∠DAC＝30°，∠DCA＝120°，∠ADC＝30°，∠BDA＝30°，所以△ACD，△BAD为等腰三角形，即CD＝CA，AD＝AB.设CD＝x，即CA＝x，∠DCA＝120°，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CD2＋CA2－2CD·CAcos∠DCA，即AD2＝x2＋x2－2x·x·（－），AD＝x，所以AB＝x，又因为AB＝20，所以x＝20.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有25个是3分线外侧投入，25个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.
（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
（2）求该生两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望.
解：（1）设A，B，C分别表示“得3分”“得2分”“得0分”，用频率估计概率，
可得P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝.
则在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率P＝4·（P（A））3（1－P（A））＝4××＝.
（2）两次投篮后得分ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6.
P（ξ＝0）＝P（C）P（C）＝；
P（ξ＝2）＝2P（B）P（C）＝；
P（ξ＝3）＝2P（A）P（C）＝；
P（ξ＝4）＝P（B）P（B）＝；
P（ξ＝5）＝2P（A）P（B）＝；
P（ξ＝6）＝P（A）P（A）＝.故ξ的分布列为
ξ 0 2 3 4 5 6
P
数学期望E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
12.（本小题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，Q，D，E分别是线段PA，QC，AC的中点，AB＝BC，BD＝，PA＝4，AC＝2，BE＝1.
（1）求证：DE⊥平面ABC；
（2）求二面角Q-BD-A的正弦值.
解：（1）证明：由题意，D，E分别是QC，AC的中点，故DE∥QA，且DE＝QA＝PA＝1，而DE2＋BE2＝1＋1＝2＝BD2，所以BE⊥DE.
由DE∥QA，知DE∥PA，而PA⊥AC，故DE⊥AC.
又AC，BE在平面ABC内交于点E，故DE⊥平面ABC.
（2）由（1）知，DE⊥平面ABC，又E是AC中点，AB＝BC，所以BE⊥AC，
故以E为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图.
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），且由AQ＝AP＝2知Q（1，0，2）.
设n1＝（p，q，r），n2＝（u，v，w）分别是平面QBD和BDA的法向量，
则由可知
故可取n1＝（－1，1，1），n2＝（1，1，1），得cos＜n1，n2＞＝＝.
所以二面角Q-BD-A的正弦值是.
4 / 4
