基础题满分练3
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数z满足z（1－i）＝i，则的虚部为（ ）
A.i B.－i
C. D.－
2.已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－1），且a⊥b，则a＋b在a上的投影向量为（ ）
A. B.5
C.（1，2） D.（2，－1）
3.已知二项式（x－）n展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A.n＝5
B.n＝8
C.（x－）n展开式的常数项为－20
D.（x－）n的展开式中各项系数的和为1
4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同.已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球.下列说法正确的为（ ）
A.丙参加了铅球 B.乙参加了铅球
C.丙参加了标枪 D.甲参加了标枪
5.已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的解集为（ ）
A.（，＋∞） B.（－∞，）
C.（，1） D.（－1，）
6.如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面的半径分别为3和4，且球心O在圆台内部，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（ ）
A. B.75π
C. D.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B.经验回归直线＝x＋一定过样本点中心（，）
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
8.在公差不为零的等差数列{an}中，已知其前n项和为Sn，S9＝81，且a2，a5，a14为等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A.an＝2n＋1
B.（－1）1a1＋（－1）2a2＋…＋（－1）100a100＝100
C.Sn＝n2
D.设数列{2n·an＋1}的前n项和为Tn，则Tn＝n·2n＋1＋2
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.函数f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则φ＝ .
10.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝2DC，则AD＝ .
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）某城市地铁将于2024年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
月收入（单 位：百元） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]
赞成定价 者人数 1 2 3 5 3 4
认为价格偏 高者人数 4 8 12 5 2 1
（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（结果保留2位小数）；
（2）由以上统计数据列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
12.（本小题满分15分）已知椭圆C：＋y2＝1，右焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点.
（1）若直线l的倾斜角为，求｜AB｜；
（2）记线段AB的垂直平分线交直线x＝－1于点M，当∠AMB最大时，求直线l的方程.
2 / 2基础题满分练3
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数z满足z（1－i）＝i，则的虚部为（ ）
A.i B.－i C. D.－
解析：D z＝＝＝＝－＋i，则＝－－i，则其虚部为－，故选D.
2.已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－1），且a⊥b，则a＋b在a上的投影向量为（ ）
A. B.5
C.（1，2） D.（2，－1）
解析：C 由a⊥b，则有a·b＝2x－2＝0，即x＝1，则a＋b＝（3，1），故·＝·＝a＝（1，2）.故选C.
3.已知二项式（x－）n展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A.n＝5
B.n＝8
C.（x－）n展开式的常数项为－20
D.（x－）n的展开式中各项系数的和为1
解析：D 由题可知，2n＝64，则n＝6，则A、B错误；（x－）6展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝x6－k（－）k＝（－1）k2kx6－2k.令6－2k＝0，得k＝3，则T4＝（－1）3×23×x6－6＝－160，故C错误；令x＝1得（1－）6＝1，则（x－）6的展开式中各项系数的和为1，故选D.
4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同.已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球.下列说法正确的为（ ）
A.丙参加了铅球 B.乙参加了铅球
C.丙参加了标枪 D.甲参加了标枪
解析：A 由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球.故选A.
5.已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的解集为（ ）
A.（，＋∞） B.（－∞，）
C.（，1） D.（－1，）
解析：A 由f（x）＝x｜x｜＝故f（x）在R上单调递增，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞1－x，即x＞.故选A.
6.如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上、下底面的半径分别为3和4，且球心O在圆台内部，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（ ）
A. B.75π
C. D.
解析：D 因为圆台外接球的表面积S＝4πr2＝100π，所以球的半径r＝5，设圆台的上、下底面圆心分别为O2，O1，轴截面ABCD是圆内接等腰梯形，则O1为下底直径BC中点，O2为上底直径AD中点，O1O2⊥BC，O1O2⊥AD，依题意球心O在圆台两底面之间，即O在O1O2上，连接OA，OB，如图，因为圆台上、下底面的半径分别为3和4，所以O1B＝4，O2A＝3，OA＝OB＝5，所以｜OO1｜＝＝3，｜OO2｜＝＝4，所以｜O1O2｜＝7，所以圆台体积V＝×（9π＋16π＋12π）×7＝，故选D.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B.经验回归直线＝x＋一定过样本点中心（，）
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
解析：ABD 由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；由＝－，故经验回归直线＝x＋一定过样本点中心（，），故B正确；线性相关系数｜r｜越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D正确.故选A、B、D.
8.在公差不为零的等差数列{an}中，已知其前n项和为Sn，S9＝81，且a2，a5，a14为等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A.an＝2n＋1
B.（－1）1a1＋（－1）2a2＋…＋（－1）100a100＝100
C.Sn＝n2
D.设数列{2n·an＋1}的前n项和为Tn，则Tn＝n·2n＋1＋2
解析：BC 对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S9＝81得9a1＋d＝81①，由a2，a5，a14为等比数列得（a5）2＝a2a14，（a1＋4d）2＝（a1＋d）（a1＋13d）②，由①②解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，故A错误；对于B，（－1）1a1＋（－1）2a2＋…＋（－1）100a100＝－1＋3－5＋7－9＋11－13＋…＋199＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋（－9＋11）＋…＋（－197＋199）＝2×50＝100，故B正确；对于C，Sn＝·n＝n2，故C正确；对于D，2n·an＋1＝2n·（2n＋1），所以Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋（2n－1）·2n－1＋（2n＋1）·2n③，2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋（2n－1）·2n＋（2n＋1）·2n＋1④.③－④得，－Tn＝3·21＋2（22＋23＋…＋2n）－（2n＋1）·2n＋1，则Tn＝（2n－1）·2n＋1＋2，故D错误.故选B、C.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.函数f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1（｜φ｜＜π）的部分图象如图所示，则φ＝.
解析：令f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1＝0，则sin（2x＋φ）＝－，根据图象得x＝－为函数零点，零点左右函数图象为上升趋势，则2×（－）＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为｜φ｜＜π，则k＝0，φ＝.
10.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝2DC，则AD＝2.
解析：由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝62＋32－2×6×3×cos 60°＝27，则有AB2＝AC2＋BC2，即△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝3，由BD＝2DC，得DC＝，所以AD＝＝＝2.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）某城市地铁将于2024年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
月收入（单 位：百元） [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75]
赞成定价 者人数 1 2 3 5 3 4
认为价格偏 高者人数 4 8 12 5 2 1
（1）若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（结果保留2位小数）；
（2）由以上统计数据列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
解：（1）“赞成定价者”的月平均收入为x1＝
≈50.56（百元）.
“认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝
＝38.75（百元），
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81（百元）.
（2）根据条件可得2×2列联表如下：
对地铁定价的态度 人均月收入 合计
不低于55百元的人数 低于55百元的人数
认为价格偏高者 3 29 32
赞成定价者 7 11 18
合计 10 40 50
零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异.
χ2＝≈6.27＜6.635＝x0.01，
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”.
12.（本小题满分15分）已知椭圆C：＋y2＝1，右焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点.
（1）若直线l的倾斜角为，求｜AB｜；
（2）记线段AB的垂直平分线交直线x＝－1于点M，当∠AMB最大时，求直线l的方程.
解：（1）由题意可得F（1，0），
因为直线l的倾斜角为，所以k＝tan＝1，
因此，l的方程为y＝x－1，联立方程消去y得3x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝，不妨设A（0，－1），B（，），
因此｜AB｜＝＝.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得，直线l的斜率不为0，故设l的方程为x＝my＋1，
联立方程消去x得，（m2＋2）y2＋2my－1＝0，Δ＞0，
因此y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以｜AB｜＝＝＝，
设线段AB的中点为G，
则yG＝＝－，xG＝myG＋1＝，
所以｜MG｜＝｜－1－｜＝，
所以tan＝＝，
设t＝，则tan＝＝＝≤，
当且仅当t＝，即m＝±时等号成立，
当最大时，∠AMB也最大，此时直线l的方程为x＝±y＋1，
即x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
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