基础题满分练5
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若命题p： x≥0，ex＋x－2≥0，则命题p的否定为（ ）
A. x＜0，ex＋x－2＜0 B. x≥0，ex＋x－2≥0
C. x≥0，ex＋x－2＜0 D. x＜0，ex＋x－2≥0
解析：C 由全称量词命题的否定规则知，命题p的否定为 x≥0，ex＋x－2＜0，故选C.
2.下列命题中，真命题是（ ）
A.若a＞b，则ac＞bc
B.若a＞b，则a2＞b2
C.若ac2≥bc2，则a≥b
D.若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4
解析：D 对于A，由a＞b，c＝0可得ac＝bc，故A错误；对于B，由a＞0，b＜0，｜a｜＜｜b｜，可得a2＜b2，故B错误；对于C，若ac2≥bc2，且当c＝0时，可得a，b为任意值，故C错误；对于D，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立，即2a＋4b≥4，故D正确.故选D.
3.（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（ ）
A.－50 B.－10 C.10 D.50
解析：A （x－1）5展开式的通项为Tr＋1＝x5－r（－1）r，则T3＝10x3，T4＝－10x2，故（2x－3）（x－1）5展开式中x3的系数为2×（－10）＋（－3）×10＝－50.故选A.
4.已知函数f（x）＝ln x＋x2－ax＋1，则“a＜2”是“f（x）在（0，＋∞）上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A 函数f（x）＝ln x＋x2－ax＋1的定义域为（0，＋∞），则f'（x）＝＋x－a，若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，即a≤＋x在（0，＋∞）上恒成立，又＋x≥2＝2，当且仅当＝x，即x＝1时取等号，所以a≤2，因为（－∞，2） （－∞，2]，所以“a＜2”是“f（x）在（0，＋∞）上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
5.已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
解析：C 由题意可知，圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝r＝3，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则＝3，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故选C.
6.记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，若a1＝1，an＋1＝Sn，则满足Tn＞1 000的n的最小值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
解析：B 由an＋1＝Sn可得Sn＋1－Sn＝Sn Sn＋1＝2Sn，S1＝1≠0，故{Sn}为公比为2的等比数列，故Sn＝2n－1，所以an＋1＝Sn＝2n－1，故n≥2时，an＝2n－2，因此an＝故Tn＝a1a2a3…an＝1×20×21×…×2n－2＝，要使Tn＞1 000，则＞1 000，当n＝6时，210＞1 000，n＝5时，26＜1 000，且在n≥5时，随着正整数n的增大而增大，故n的最小值为6，故选B.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A.图1的平均数＝中位数＝众数
B.图2的平均数＜众数＜中位数
C.图2的众数＜中位数＜平均数
D.图3的平均数＜中位数＜众数
解析：ACD 图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图2众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；图3左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选A、C、D.
8.已知函数f（x）＝sin 2x＋sin（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）是奇函数
B.函数f（x＋）是偶函数
C.f（x）的最大值是
D.f（x）在区间（，）上单调递减
解析：BD 由f（x）＝sin 2x＋sin（2x＋）＝sin 2x＋（－sin 2x＋cos 2x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋），对于A，g（x）＝f（x－）＝sin［2（x－）＋］＝sin（2x－），因为g（－x）＝sin（－2x－）＝－sin（2x＋）≠－g（x），故A错误；对于B，y＝f（x＋）＝sin［2（x＋）＋］＝sin（2x＋）＝cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f（x）＝sin（2x＋），得最大值为1，故C错误；对于D，＜x＜，则＜2x＋＜，由正弦函数的单调性知，函数f（x）＝sin（2x＋）在（，）上单调递减，故D正确.故选B、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知圆台O1O2的体积为14π，其上底面圆O1半径为1，下底面圆O2半径为4，则该圆台的母线长为.
解析：圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h，则该圆台的体积为V＝π×（12＋42＋1×4）h＝7πh＝14π，则h＝2，作出圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为M，下底面圆心为N，MD＝1，NC＝4，过D作DE⊥NC，则EC＝4－1＝3，又DE＝h＝2，所以圆台的母线长为DC＝＝＝.
10.若函数f（x）＝kx2－ex在区间（0，＋∞）上单调递减，则k的取值范围是（－∞，］.
解析：函数f（x）＝kx2－ex，求导得f'（x）＝2kx－ex，由f（x）在（0，＋∞）上单调递减，得 x∈（0，＋∞），f'（x）≤0 2kx－ex≤0，即2k≤，令g（x）＝，x＞0，求导得g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，因此函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，g（x）min＝g（1）＝e，则2k≤e，解得k≤，所以k的取值范围是（－∞，］.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
（1）求sin C的值；
（2）若△ABC的面积S＝5，且c＝（a－b），求△ABC的周长.
解：（1）由正弦定理可得，＝，即3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C.
所以3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin（A＋C）.
又sin（A＋C）＝sin（π－B）＝sin B，且sin B≠0，所以cos C＝.
由sin C＞0，故sin C＝＝.
（2）S＝absin C＝5，所以ab＝15.
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－10.
又c2＝6（a－b）2＝6（a2＋b2）－180.
联立得：a2＋b2＝34，c＝2.所以a＋b＝＝8.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2.
12.（本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB＝BB1＝2，AC＝2，∠B1BA＝60°，点D是棱A1B1的中点，＝4，DE⊥BC.
（1）证明：AC⊥BB1；
（2）求直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值.
解：（1）证明：连接DA，EA，DA1＝1，AA1＝2，∠DA1A＝60°，
由余弦定理可得DA＝＝.
满足DA2＋D＝A，所以DA⊥DA1，即DA⊥AB.
因为平面ABB1A1⊥平面ABC，且交线为AB，由DA⊥AB，DA 平面ABB1A1，得DA⊥平面ABC.
由BC，AC 平面ABC，得DA⊥BC，DA⊥AC.
因为DE⊥BC，DA∩DE＝D，且DA，DE 平面DAE，
所以BC⊥平面DAE.由AE 平面DAE，得BC⊥AE.
设BE＝t，CE＝3t，有BA2－t2＝AC2－（3t）2，解得t＝1，即BE＝1.
所以BC＝4，满足BA2＋AC2＝BC2，即AC⊥AB.
又因为DA⊥AC，DA∩AB＝A，且DA，AB 平面ABB1A1，
所以AC⊥平面ABB1A1.
由BB1 平面ABB1A1，得AC⊥BB1.
（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则D（0，0，），E（，，0），A1（－1，0，），
＝（－1，0，0），＝（－，－，）.
设平面DEA1的法向量n＝（x，y，z），
由即
取z＝1，得到平面DEA1的一个法向量n＝（0，2，1）.
又＝＝（－1，0，），
设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为θ，
则sin θ＝｜cos〈n，〉｜＝＝＝.
所以直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值为.
5 / 5基础题满分练5
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若命题p： x≥0，ex＋x－2≥0，则命题p的否定为（ ）
A. x＜0，ex＋x－2＜0
B. x≥0，ex＋x－2≥0
C. x≥0，ex＋x－2＜0
D. x＜0，ex＋x－2≥0
2.下列命题中，真命题是（ ）
A.若a＞b，则ac＞bc
B.若a＞b，则a2＞b2
C.若ac2≥bc2，则a≥b
D.若a＋2b＝2，则2a＋4b≥4
3.（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（ ）
A.－50 B.－10
C.10 D.50
4.已知函数f（x）＝ln x＋x2－ax＋1，则“a＜2”是“f（x）在（0，＋∞）上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
6.记Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{an}的前n项积，若a1＝1，an＋1＝Sn，则满足Tn＞1 000的n的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A.图1的平均数＝中位数＝众数
B.图2的平均数＜众数＜中位数
C.图2的众数＜中位数＜平均数
D.图3的平均数＜中位数＜众数
8.已知函数f（x）＝sin 2x＋sin（2x＋），则（ ）
A.函数f（x－）是奇函数
B.函数f（x＋）是偶函数
C.f（x）的最大值是
D.f（x）在区间（，）上单调递减
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知圆台O1O2的体积为14π，其上底面圆O1半径为1，下底面圆O2半径为4，则该圆台的母线长为 .
10.若函数f（x）＝kx2－ex在区间（0，＋∞）上单调递减，则k的取值范围是 .
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
（1）求sin C的值；
（2）若△ABC的面积S＝5，且c＝（a－b），求△ABC的周长.
12.（本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB＝BB1＝2，AC＝2，∠B1BA＝60°，点D是棱A1B1的中点，＝4，DE⊥BC.
（1）证明：AC⊥BB1；
（2）求直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值.
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